1、XXX 学校毕 业 论 文 （ 设 计 ） 对角化矩阵的应用学生姓名 学 院 专 业 班 级 学 号 指导教师 2015 年 4 月 25 日毕业论文（设计）承诺书本人郑重承诺：1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相关文献，进行分析研究，独立撰写而成的.2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料均是真实的.3、本论文（设计）中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果.4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况，一切后果自负.学生（签名）： 2015 年 4 月 25 日对角化矩阵的应用摘 要矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题.本文借助矩阵可对角化条件
2、，可对角化矩阵性质和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用，包括求方阵的高次幂，反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的特征值，在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵，运用线性变换把矩阵变为对角矩阵，求数列通项公式与极限，求行列式的值.【关键词】对角化；特征值；特征向量；矩阵相似；线性变换Application of diagonalization matrixAbstractMatrix diagonalization problem is the key issue in the matrix theory. In this paper, by using matrix diagonaliz
3、ation conditions, diagonalization matrix properties and matrix diagonalization method we study some applications of diagonalization matrix, including for high-order exponent of matrix, finding the inverse matrix, matrix to determine whether it is similar, the eigenvalue of special matrix, in the vec
4、tor space that matrix similar to a diagonal matrix, using linear transformation matrix is a diagonal matrix, for the series of general term formula and limit, the determinant of value.Key words The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation 目 录引 言 .11 矩阵对角化 .11.1 矩阵对
5、角化的几个条件 .11.2 对角化矩阵的性质 .31.3 矩阵对角化的方法 .52 对角化矩阵的应用 .52.1 求方阵的高次幂 .52.2 反求矩阵 .62.3 判断矩阵是否相似 .72.4 求特殊矩阵的特征值 .72.5 在向量空间中应用 .72.6 在线性变换中应用 .72.7 求数列通项公式与极限 .82.8 求行列式的值 .112.9 对角化矩阵在其他方面的应用 .12参考文献 .14致 谢 .15第 0 页 共 16 页引 言现如今，我们所提到的矩阵对角化其实质指的就是矩阵和对角阵存在相似的地方,其中我们学过的线性变换也是可对角化的,其原理是指在某一组基的作用下这个线性变换可以变为
6、对角阵（或者可以说是在某一组基的作用下这个线性变换的矩阵是可对角化的）,当然刚刚提到的这个问题其实我们可以把它归类到矩阵是否可对角化的问题中去，因为其两者本身就是相辅相成的.当然本篇文章我们主要是研究和探索判定矩阵可对角化的诸多条件，以及我们如何去运用矩阵对角化的有关性质，来把将矩阵化为对角形的问题进行解决.与此同时，我们也在研究和探索中发现了它在其他方面一些重要的运用.1 矩阵对角化我们所涉及的矩阵都是可以对角化的，其原理是指通过矩阵的一系列初等变换（指：行、列变换）后,就能够得到一个特殊的矩阵,其特殊性在于只有在其主对角线的数上不全为零，然而其他位置的数则是全部为零（那么这个特殊的矩阵就可
7、以被我们称为对角阵）,这一整个的变换过程就被我们称为矩阵的对角化.当然值得我们注意的是，我们所学过的矩阵并非都能对角化的，这个是有条件限制的.1.1 矩阵对角化的几个条件引理 设 ,且1 nPBA,2A,2BA则存在可逆矩阵 ,使 可同时对角化. 引理 如果 的 个对角元互不相同,矩阵 ,那2 nPdiag),(21 nPB么 当且仅当 本身就是对角阵 .BP因为任何一个幂等矩阵 一定相似于一个对角矩阵 ,所以任何)(2A0rE一个对角矩阵都是能够进行谱分解的,即 ,其中 是矩阵 的特征值,niiA1iA矩阵 为幂等矩阵，那么是否任意有限个幂等矩阵的线性组合都可以对角化呢？有iA如下结论：定理
8、 若31第 1 页 共 16 页,21nkkA是 个数, 是 个幂矩阵,并且他们两两可替换,nk,21 n， 21,)(jijji 则矩阵 可对角化.A证明 若 是 个幂矩阵,并且两两可换，则一定有一个可逆矩阵 ,使n， 21 1P得,n， 21可同时对角化.,nnPDP111 ， )(1是 对 角 矩 阵， n,由PDkkPkkkkA nn )()()( 21221 知是 对 角 矩 阵， nD nDkk21同样是对角矩阵,即矩阵 为对角化的矩阵.A定理 如果 , 是它两个不相同的特征值,那么矩阵 可对角化42nP21， A一定有幂等矩阵 ,满足.)(121E证明 必要性：如果 是一个对角化
9、的矩阵,那么就一定会有一个可逆的矩阵 ,满A P足 211EP是一个对角阵.,121212121121 000 PEPEPA 并且 相似于,21212120 EP第 2 页 共 16 页若 为幂矩阵,则一定有一个幂矩阵 满足.)(121EA充分性：若存在 使得,)(121因为 是幂矩阵,所以一定会有一个 ,满足 ,TTE20,TEEA 211212121 )(0 因此，,TTA211即矩阵 为可对角化的.A定理 设矩阵 存在 个不同的特征值,则对于矩阵 ,53nPnPB,BA当且仅当矩阵 同时可以对角化.B,证明 必要性 若矩阵 存在 个特征值,且这些特征值是互不相同的数，则矩阵An为对角化的
10、矩阵.设A,APT1其中 ,则),(21ndiagT,BAPB11 TBP)(11即 与 是可以进行交换的,因此得知 是对角矩阵,且矩阵 也是为对角P化的矩阵.充分性 如果矩阵 可以同时进行对角化,那么一定存在一个可逆阵 ,使得, (其中为 对阵),PDA1B2121D，,BAPPB 1221因此我们可以通过上述的一系列条件，来求出 的特征值，且这是两个相互不同的A数.从而我们得出了矩阵对角化的成立的条件：如果 这个条件成立，那么就认为矩阵 可对角化,否则就认为矩阵 不能可对角化,其中 .A )(/(21E1.2 对角化矩阵的性质定理 设 为数域 上的一个 阶的矩阵,且它为可对角化的，64Pn
11、是 的相互不同的特征根 ,则一定会有 阶的 满足t,21 ntA,21(1) ；tAA21第 3 页 共 16 页(2) 是单位矩阵；EAt,21(3) ；ii(4) ,其中 .jj,01TBii证明 （1）如果 可对角化,那么在数域 上一定会存在一个可逆矩阵 ,并且PT它的阶数为 阶，满足n,BATt00211其中 的重数为 ,由于矩阵iis, 10011 tB将它记为 ,因此，tB21,)()()( 1121 TBTBTA ttt 将其记为 ,其中 ,所以tA21 Ti.tA21(2)如果每个 为对角形的幂矩阵,那么 ,iBEt21,TBAtt 112121 故 .Et21(3)如果 ,那
12、么1Tii,iiiiiii ATBB 11211)(故 .iiA2(4)当 时,j,0)( 1111 TBTjijijiji为零矩阵,故 .0,0例1 在数域 上，若已知 的三个特征根分别是 ,则一定P678520A32会有一个 ,满足 ,其中 ,将矩阵2143TBT01134561T第 4 页 共 16 页,1031021B记 ,则321B ，321321)( ATBTA其中 ,于是1Tii,21,13469,2568031A并且满足：(1) ；321A(2) ；E(3) ；),(2ii(4) .jj,0可以通过一个比较具体的可对角化矩阵,很直观地反映上述所说的性质是成立的.1.3 矩阵对角
13、化的方法1.3.1 运用矩阵初等变换的方法在数域 上,一个 维空间 ,研究和探讨它能否可以找到一组基，并且在此基PnV的作用下，所有的矩阵都是对角化的矩阵；发现这种基存在时, 如何去探索它是一个线性代数学上相当重要的问题,可以利用矩阵的初等变换的方法来解决此问题.当发现矩阵 不能够实现对角化的时候,同样可以经过相近的一系列变换后，A化简出矩阵 ,并且能够判定它是否可以对角化.类似地,可有矩阵,做如下的初等变换,则可以将矩阵 化简为对角形矩阵 ,并且EQTs11 AB可以求得 或由 求 的一系列特征值.B1.3.2 求解齐次方程组 的方法设矩阵 是实对称矩阵,则求证交矩阵 使得 的问题,一AT),(211 ndiag般的解法为：(1)求其特征值；(2)求其对应的特征向量；(3)写出矩阵 及 .T),(211 ndiagA从而可以求出正交矩阵 ,可以避免了商的繁琐运算. 定理 设 是实对称矩阵,则有 , 对应于75 1(21重， n， 32
