1、习题二1化下列矩阵为 Smith 标准型：（1） ;2（2） ;22200(1)（3） ;22334541 (4) .06200113 解：（1）对矩阵作初等变换 13 312 2 200(1)c r ，2 3213 1()0(0(1)cc r 则该矩阵为 Smith 标准型为；)1(（2）矩阵的各阶行列式因子为,424321()1),(),(),(DDD 从而不变因子为 22341234123()()()(), ), 1), 1)DDDddd故该矩阵的 Smith 标准型为；200()(1)() （3）对矩阵作初等变换 13221321322 24232()()114543765011crc
2、 122 13142323232()32(5) 24001150001()c rrr c 1故该矩阵的 Smith 标准型为;)1(12(4)对矩阵作初等变换152323000146 201132010c 12 213 3010 21000c rc 2143 145 25200 0010rc c 在最后的形式中，可求得行列式因子,3254321()1),(1),()(DD于是不变因子为 2541234 53 4()()()(), ), )ddd故该矩阵的 Smith 标准形为.2100(1)00()2.求下列 矩阵的不变因子：（1） ；2102（2） ；100（3） ；105432（4） .1
3、0120解：（1）该 矩阵的右上角的 2 阶子式为 1，故1(),D而，33()2)所以该 矩阵的不变因子为;2123()1,()dd（2）当 时，由于0， ，4243(),()D1()D故不变因子为，12()1d2234(),()dd当 时，由于0，24()D且该 矩阵中右上角的 3 阶子式为且 ，2(),4(),(1则 ，故 ，所以该 矩阵的不变因子为3()1D21()D;3(),dd24()（3）该 矩阵的右上角的 3 阶子式为 ，故1123()(),而，4324()45D所以该 矩阵的不变因子为;123()()1,dd4324()45（4）该 矩阵的行列式因子为,123()(),D44
4、()D所以该 矩阵的不变因子为.123()()1,dd44()2)3求下列 矩阵的初等因子：（1） ；3322 （2） .3221解：(1)该 矩阵的行列式因子为，212(),()1()D故初等因子为 ；2,(2) 该 矩阵的行列式因子为，212(),()1()故不变因子为 12(),()(),d因此，初等因子为 .1,4求下列矩阵的 Jordan 标准形：（1） ；（2） ；（3） ；3657845217325410（4） ；（5） ；（6） .132082143201解：（1）设该矩阵为 ，则A，201()3E故 的初等因子为A，2()则 的 Jordan 标准形为；301（2）设该矩阵为
5、 ，则A，301()E故 的初等因子为A，3()从而 的 Jordan 标准形为；10（3）设该矩阵为 ，则A,210()1E故 的初等因子为A1,i从而 的 Jordan 标准形为;0i（4）设该矩阵为 ，则A,210E故 的初等因子为A，2,从而 的 Jordan 标准形为;01（5）设该矩阵为 ，则A,201()E故 的初等因子为A，2,()从而 的 Jordan 标准形为;01（6）设该矩阵为 ，则A，23401201E该 矩阵的各阶行列式因子为，123()(),D44()D则不变因子为，123()()1,dd44()1故初等因子为，4()则 的 Jordan 标准形为A.105设矩阵
6、，14203A求 .5A解：矩阵 的特征多项式为，2()(1)5AfI故 的特征值为 , .1235属于特征值 的特征向量为 ,1(0)T属于 的特征向量为 .23523(,1)(,21)TT设, ,123,01P05则 .,故1A.44513105A6.设矩阵，21求 的 Jordan 标准形 ，并求相似变换矩阵 ，使得 .AJP1AJ解:(1) 求 的 Jordan 标准形 .,221012()I故其初等因子为，21,()故 的 Jordan 标准形A.01J(2)求相似变换矩阵 .P考虑方程组即()0,IAX12320,1x解之,得.120,1X其通解为= ,12k12k其中 为任意常数
7、.21,k考虑方程组 1122312,xk,1 12 201kk故当 时,方程组有解.120k取 ,解此方程组,得.301X则相似变换矩阵.1230,1P7.设矩阵，102A试计算 .854223AI解: 矩阵 的特征多项式为,3()21AfI由于,854232023()(437)f 其中 .3()914f且,32AIO故= .854223AI23482643710951I8.证明：任意可逆矩阵 的逆矩阵 可以表示为 的多项式.AA证明:设矩阵 的特征多项式为,121()nnA nfIaa则,121nnnaAIO即,1231( )nnnnnAaI 因为 可逆,故 ,则)0na11231( )n
8、nnnaAaI9.设矩阵，213A试计算 .4321(568)AI解: 矩阵 的特征多项式为,2()57AfI则,27IO而,43222568(5)(1故.143211()()23AAII10.已知 3 阶矩阵 的三个特征值为 1，1，2，试将 表示为 的二次式.nA解: 矩阵 的特征多项式为,()()()AfI则设,22()nfgabc由 得(1)0,(),0,fff21,4.ncab解之，得,2211(),0(4)33nnc因此.2 22()()n nnAabIAI11.求下列矩阵的最小多项式：（1） ；（2） ；31042576（3） 阶单位阵 ；（4） 阶方阵 ，其元素均为 1；nnIA（5） .01232301aaB解:(1) 设 ,则1A,23100201()I故该矩阵的最小多项式为 .2()(2) 设 ,则4576A,2()51)IA故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为 2(51)(3) 阶单位阵 的最小多项式为 .nnI()m(4) 因为,1()nIA又 ,即 ,故该矩阵的最小多项式为 .2An2On(5)因为,222013()IBaa而 是 的因子,经检验知 是矩220123()()maIB()m阵 的最小多项式.B
