1、公约数、公倍数、完全平方数知识点的掌握：概念、求解方法（即短除和分解质因数，是否能灵活应用） 、约数与倍数运算的技巧简单1（）写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个因数的数2（）从 1 到 2011 中有几个有偶数个因数的整数？2（）试求出一个最小的整数，它正好有 14 个约数【详解】14=2*7，26*31=1922（）试求出一个最小的正整数，它正好有 12 个约数要求求出一个最小的正整数，使之有给定的约数个数并非都很简单【详解】12=2*6=3*4=2*2*32*6，25*31=963*4，23*32=722*2*3，22*31*51=603（）求 1007，10017 ，1001
2、17 ，1001117 和 10011117 的最大公约数？【详解】辗转相除法，求最大公约数1007 与 10017 的最大公约数是 53，类似地，10017 与 100117，100117 与 1001117，1001117 与 10011117 的最大公约数都是 53，那么这 5 个数的最大公约数也是 534（）一个偶数，它的约数里最大的两个之和是 120，求该数是多少？【详解】设这个数是 2a，那么它最大的两个约数显然是 2a 和a； 2a+a=120，a=40； 所以 2a=24080 所以这个数是 805 （）四个连续奇数的最小公倍数是 6435，这四个数中最大的一个数是多少？【详解
3、】6435=3351113四个连续奇数是 9，11，13，15，其中最大的是 15；三个连续奇数必两两互质，而在四个连续奇数中，第一个奇数与第四个奇数相差 6，它们的最大公约数只能是 1 或 3，因此这四个连续奇数的乘积是6435 或 64353；6（） （02 四川五年级初赛）n 是一个整数，如果 nn 的十位数字是 7，那么nn 的个位数字是什么？【详解】奇数的完全平方数的十位数一定是偶数，所以 n 是偶数，nn 能被 4整除；从 7079 能被 4 整除的有 72、76，个位数是 2 的不是完全平方数6（）从 1 到 2008 的所有自然数中，乘以 72 后是完全平方数的数共有多少个？
4、【详解】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现 72=2332，所以满足条件的数必为某个完全平方数的 2 倍；23131=1922200823232=2048，所以212、222、22 31都满足题意，即所求的满足条件的数共有 31 个7（）一个数减去 100 是一个平方数，减去 63 也是一个平方数，问这个数是多少？【详解】设这个数减去 63 为 A2，减去 100 为 B2A2-B2=（A+B） （A-B ）=100-63=37 ， A+B=37，A-B=1 所以 A=19，B=18这个数为 182+100=4248（）能否找到这么一个数，它加上 24，和减去 30 所得的两个数都是完全平
5、方数？【详解】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为 A2、B2，A2-B=（A+B ） （A-B ）=54=227（A+B）与（A-B ）的奇偶性质相同，所以（ A+B） （A-B）不是 4 的倍数，就是奇数，54 不是 4 的倍数，那么题中所说的数是找不到的（） （02 河北香河）有两个两位数，它们的差是 56，它们的平方数末两位数字相同，这两个两位数分别是什么？【详解】设这两个两位数分别是 a 和 b，有a2-b2= =100cc00（a+b） （a-b）=100ca-b=56=87，a、b 同奇偶性，a+b 必须是 50 的倍数，a100，所以 b44，a+b144，a+b=100a=
6、78，b=22（） （97 六预）一个四位数的数码都是由非零的偶数码构成，它又恰好是某个偶数码组成的数的平方，则这个四位数是什么？【详解】设两位数为 ，四位数是ab cdef考察 442=1936，a=4， a 为 4、6 或 8为偶数，则 能被 4 整除； 只能是 24、44、64 或 84ab cdef efb 为 2 或 8可能是 48、62、68 、82 或 88ab仅有 682=4624 满足题意9（） （05 浙江五年级决赛）一个两位数 ab 加上它的反序数 ba，再加上这个两位数的数字之和，得到的和是一个平方数，这样的两位数有几个？【详解】依题意有下式10a+b+10b+a+a+
7、b=12（a+b）=2 23（a+b）是完全平方数a+b=3、a+b=3 22 满足条件（） （02 甘肃冬令营）有一个自然数，它与 168 的和恰好等于某个数的平方；它与 100 的和恰好等于另一个数的平方，这个数是什么？【详解】设该自然数为 a100+a=m2168+a=n2=100+a+68=m2+68n2-m2=68，n、m 同奇偶（n+m ） （n-m）=68=2217n+m=34，n-m=2n=18，m=16a=162-100=15610（） （03 江苏吴江）一个四位数是完全平方数，它的前两位数字相同，后两位数字也相同，这个四位数是什么？【详解】设该 4 位数为 ，有下式aabb
8、1000a+100a+10b+b=1100a+11b=11（100a+b）是完全平方数即 100a+b=100a+b= =11n2，n 为自然数a0ba+b=11（a+b 是 11 的倍数）末两位数字相同的完全平方数只能是 00 或 44，所以 b=4，a=7这个四位数是 7744（）甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲 3 天去一次，乙 4 天去一次，丙 5 天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？【详解】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4 、5 的最小公倍数。因为 3、4、5 的最小公倍数是 60
9、，所以至少再过 60 天他们三人又在图书馆相会；（）一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用 65 瓶，平均每 2 个人饮用一瓶 A 饮料，每 3 人饮用一瓶 B 饮料，每 4 人饮用一瓶 C 饮料，请问参加会餐的有多少人？【详解】2、3、4 的最小公倍数是 12，12 人需要饮料是 12/2+12/3+12/4=13 瓶。65=135，一共有 125=60 人（）五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐 6 个，如果减少一条船，正好每船坐 9 人，这个班有多少人？【详解】有 5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值是多少？
10、【详解】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧，一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的。设中间数是 x，则它们的和为 5x， 中间三数的和为 3x，5x 是平方数有 5x=52a2，则 x=5a2，3x=15*a2 是立方数，所以 a2 至少含有 3 和 5 的质因数各 2 个， 即 a2 至少是 225，中间的数至少是 1125，那么这五个数中最小数的最小值为 1123（04 南京冬令营）记 S=（ 123n）+ （4k+3） ，这里 n3，当 k 在 1至 100 之间取整数值时，有（ ）个不同的 k，使得 S 是一个整数的平方（
11、05 浙江夏令营）袋子里共有 415 只小球，第一次从袋子里取出 1 只小球，第二次从袋子里取出 3 只小球，第三次从袋子里取出 5 只小球 依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。那么最后袋中留下几个球？（） （2000 浙江五年级决赛）小明妈妈买了 4 张体育彩票，第一张的末三位是 125；第二张的末位是 4，倒数第四位是 5；第三张的末位是 1，倒数第四位是 7；第四张的末三位是 280。妈妈说这中间有一张是中奖的，中奖号码是一个四位数，就是彩票中的最后四位与它相同便是中奖彩票，且这个四位数正好是个平方数。中奖号码是多少？（03 浙江夏令营）11.111111 的各位数字之
12、和是多少 ？（04 南京冬令营）将 1，2，3n（n 为大于 4 的整数）这 n 个数分成两组，使每组中任意两数之和都不是完全平方数，整数 n 可以取得的最大值是多少？并给出一种分组方法。已知 123n+3 是一个自然数的平方，n 是多少？2007 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数，则 a 的最小值是多少？两个完全平方数的差为 77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？（）证明：形如 11，111，1111，11111 ，的数中没有完全平方数（）有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为 0，试求满足上述条件的最小的正整数（）甲、乙两人合养了 n 头羊，而每头羊的卖价又恰为
13、n 元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？【详解】甲乙轮流，最后一次轮到乙，但不足 10 元，所以十位数是奇数，个位数是 6（）房间里有 100 盏灯，用 1、 2、100 编号，每盏灯连着一个开关，开始时所有的灯全都不亮。有 100 名同学依次进入房间，第一位进入房间的同学把编号为 1 的倍数的灯的开关揿动一次（这时所有的灯全亮着） ， 第二位进入房间的同学把编号为 2 的倍数的灯的开关揿动一次（这时编号为偶数的所有的灯全熄灭） ； 第三位进入房间 的同学把编号为 3 的倍数的灯的开关揿动
14、一次，如此下去,直到最后一位进入房间的同学把编号为 100 的倍数的灯的开关揿动一次。问：这时房间里哪些灯亮着？【详解】注意到一盏灯亮或不亮，与这盏灯的开关揿动的次数的奇偶性有关：原来不亮的灯，若开关揿动奇数次，则将变亮；开关揿动偶数次，则仍然不亮。而根据题意，一盏灯的开关揿动的次数，恰等于灯的编号所含因数的个数。（）有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列若在队列中再增加120 人或从队列中减去 120 人后，都能组成一个正方形队列问原长方形队列共有多少名战士？【详解】设有 8k 名战士，8k+120=n 2，8k-120=m 2（n+m） （n-m）=240=25*3*5, （n+m） 、
15、 （n-m）同奇偶n+m=120，n-m=2n+m=60，n-m=4n+m=40，n-m=6 n+m=30，n-m=8n+m=20，n-m=12将 4 个不同的数字排在一起，可以组成 24 个不同的四位数（4321=24） 。将这 24 个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是 5 的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被 4 整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在 3000-4000 之间。请求出这 24 个四位数中最大的一个【详解】设这 4 个数字分别是 abcd 那么从小到大的第 2 个就是 dcba,它是 5 的倍数，因此 b=0 或 5，注意到 bcd,所以 b=5；
16、 从大到小排列的第 2 个是 abdc,它是不能被 4 整除的偶数；所以 c 是偶数，c b=5，c=4 或 2； 从小到大的第二十个是 adbc,第五个是 dacb,它们的差在 3000-4000 之间，所以 a=d+4； 因为 ab,所以 a 至少是 6，那么 d 最小是 2，所以 c 就只能是 4。而如果 d=2，那么 abdc 的末 2 位是 24，它是 4 的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而 a=d+4=3+4=7。 这 24 个四位数中最大的一个是 abcd，a=7，b=5 ，c=4 ，d=3 所以这 24 个四位数中最大的一个是 7543已知=，其中、分别表示不同的数字，那么四位数是多少？【详解】因为 ，所以在题述等式的两边同时约去即得。作质因数分解得 ，由此可知该数分解为 3 个两位数乘积的方法仅有 。注意到两位的十位数字和个位数字分别和另外的两位数和中出现，所以=13 ， =37 ，=21 。即=7，=1，=3，=2，所求的四位数是 7132（97 六年级决）下式中的“香港” ， “中国”都代表一个两位自然数，那么，香港= （ ） ，中国 =（ ） 。（香港）+1997=（中国）+1949
