1、1对蠕虫与橡皮绳悖论的评论【摘要】蠕虫与橡皮绳的是一个有趣的问题，但是从网上看到一些文章，对此问题的讨论都是建立在橡皮绳的长度是跳越性改变的前提下的。本文从运动的连续性入手，用新的方法更加详细的分析了此问题。并对连续性增长的橡皮绳和跳越性增长的做出了比较。【关键词】蠕虫与橡皮绳、悖论、调和级数、微分方程、运动的连续性【正文】原文：问个问题先：有一天，我们看到一条蠕虫，它在正在一根橡皮绳的一端。橡皮绳长一公里（好长啊） 。蠕虫以每秒 1 厘米的稳定速度沿橡皮绳爬行。在 1 秒钟之后，橡皮绳就像橡皮筋一样拉长为 2 公里（虫：欺负我啊！） 。再过一秒钟后，它又拉长为 3 公里，如此下去。蠕虫最后究
2、竟会不会达到终点呢？不要贸然回答啊，想想看。 （答案在下面）答案是：会。根据直觉你会说：蠕虫绝不能爬到终点。可是，它爬到了。试试看，你是否能算出蠕虫要爬多远？理解这个问题的关键是橡皮绳的伸长是均匀的。这意味着蠕虫随着拉伸也向前挪了。1 公里有 100,000 厘米，所以在第一秒末，蠕虫爬行了橡皮绳长度的 1/100000。在第二秒钟内，蠕虫又在长度为 2 公里的橡皮绳上爬了它的 1/200000，在第三秒内，它又爬了3 公里长的皮筋的 1/300000，如此继续，蠕虫的进程表示为整条橡皮绳的分数就是：1/100000*(1+1/2+1/3+1/4+.)现在的问题是，这个数可能达到甚至超过 1
3、吗？咳这是可能的。1+1/2+1/3+1/4+.就是传说中的调和级数，事实上，它不收敛，它的部分和我们要它有多大，就可以有多大。只要这个和超过 100,000，上面的表达式就超过 1。这就是说，蠕虫已经到达终点。此时调和级数该部分和的项数 n 就是蠕虫爬行的秒数。也是皮筋最后长度的公里数。在 1350 年左右，N. Oresme（约 13231382）证明了调和级数发散。当时，他本人用了一种非常难懂的方法，很多大学课本里也有一些很严密的算法，但是，我现在来介绍一个简单又好懂的2高中生的方法：放缩。把 1+1/2+1/3+1/4+.每次将 1/(2(n-1)+1)到 1/(2n)的项合并，原式可
4、化为：1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10+.+1/16)+. 1+1/2+(1/4)*2+(1/8)*4+(1/16)*8+.= 1+1/2+1/2+1/2+1/2.由于 1+1/2+1/2+1/2+1/2.显然趋近于无穷大，所以 1+1/2+1/3+1/4+.趋近于无穷大。其实呢，直观上我们可以这样理解，当 1/n 中的 n 很大时，n 的点点增加相对于 1/n的减少几乎是没有作用的（你去看看 f(x)=1/x 的图像，到最后那条线几乎和 x 轴平行了） ，所以这时 S 的增加可以看成是匀速的，趋近于等差增加。函数 1/x 图像的一部分我们
5、知道，一个数列的前 n 项和 S(n)当 n 趋近于无穷大时，如果我们知道 S(n)趋近于一个常数，那么我们可以判断 Lima(n),n-=0，但是，反过来却并不成立，也就是说：当 n 逐渐增大时，一个数列的通项 a(n)趋近于 0，并不代表它的前 n 项和 S(n)在 n 逐渐增大时趋近于一个常数。虽然这很难想象，但上面的调和级数却给了我们一个很好的例子。对于我们一开始讨论的蠕虫问题，我们可以得到一个完美的解答：会到终点的，但是很慢，有多慢呢，大约是 e100000 秒（也就是 2.8*104335 年） ，吓死你。精确的公式及其推导方法，参见美国数学月刊1971 年第 78 卷十月号，第
6、864870 页，博斯和伦奇的文章“调和级数的部分和” （我怎么知道的？在网上看到的） 。结果证明，橡皮绳其长无比，比已知的宇宙直径（156 亿光年）还长得多，同时蠕虫要爬到终点的时间也无比漫长，它比已知的宇宙年龄（1.40*1010 年左右）还要远久得多（得多得多得多） 。自然，这个问题说的是一条理想的蠕虫，它可以表示为在一条理想的橡皮绳上的一个点。若是条真的蠕虫，那末在还没有怎么开始这段旅程就早已死了，同时，若也是真的橡皮绳则需把它拉得细到它只能由分隔的分子连成这样难以想象的程度。3不管这个问题的参数，即橡皮绳的长度，蠕虫爬行的速度、以及这根橡皮绳每单位时间拉长多少，蠕虫总是能在有限的时间
7、内到达终点。真正的问题是在改变橡皮绳拉长的方式时产生的。例如，如果橡皮绳按几何级数拉长，譬如每秒钟拉长一倍，会出现什么情况？这时，蠕虫就再也不能达到终点了。具体证明可以自己试试。评论：首先我们用不同于上面的一种方法解决这个问题。设蠕虫爬行的速度为 ，橡皮绳原长为 ，长度的增加速度为 。现在我们使蠕虫1v0L2v橡皮绳的一端 O 固定（如图所示） ，另一端 A 可伸长，则橡皮绳 A 端伸长的速度应为 。2vO B A设当前蠕虫位于 B 点，BO 段的长度为 x，则 B 点相对于 O 点的速度为 。20vLx蠕虫相对于 O 点的速度为 。201vL可见，蠕虫相对于 O 点并不是匀速运动的。在 内，
8、蠕虫向 A 端移动的距离为tvLx201即： dtxvdx021分离变量有： dtvxL102两边积分有：4CdtvxL102dtvxLdv102Ct102ln当 时， ，有：0txvL120ln所以有： 120102lnlnvLtvxLvt120102lltxLvln012t0201l02tLvex到此，我们找到了蠕虫的位移时间关系。而橡皮绳 A 端的位移时间关系为： tvLy20现在，蠕虫能不能爬到 A 端的问题转化为 能否大于零的问题。yxz容易看出，蠕虫的位移时间关系为指数函数；橡皮绳右端点 A 的位移时间关系为一次函数关系。指数函数要比一次函数增加的快得多，因此，蠕虫的位移可以等于甚
9、至超过 A点的位移。这就是说蠕虫可以爬到橡皮绳的另一端。5上面的讨论是建立在运动连续性的基础上的。 为了准确地求出到达的时间，我们把它们的速度代入上面得到了表达式。 ttvLy1020021ttex当 时有，y105tet解上面的方程就可以得到运动的时间 t。事实上，原文中的用调和级数处理的方法只适用于橡皮绳是跳越性增长的情况。对于连续增长的橡皮绳来说，并不适用。下面的表格说明了这个问题：如果把单位时间等分为10 份，则每份里面橡皮绳的跳越性增长量为 100m，蠕虫在每份时间里运动 0.001m。蠕虫在单位时间里的位移仍为 0.01m。而到这个单位时间结束时，橡皮绳的长度为 2000m。在这个
10、时候，不是上面所宣称的那样，蠕虫走过了橡皮绳的 ，而是橡皮绳的10。实际的数值比这个数值还要小。因为每份时间还可以再分成 10 份，然后再分1078.再分。分的越细致，蠕虫在单位时间里所走的位移占橡皮绳长度的比例就越小（这可以用数学归纳法来证明） 。分得无限细时，就得到了上面用微分方程求出来的解。时 间 蠕 虫 运 动 距 离 a橡 皮 绳 长 l a/l 累 计 a/l 累 计 a0-0.1 0.001 1000 0.0000010000 0.0000010000 0.0010.1-0.2 0.001 1100 0.0000009091 0.0000019091 0.0020.2-0.3 0
11、.001 1200 0.0000008333 0.0000027424 0.0030.3-0.4 0.001 1300 0.0000007692 0.0000035117 0.0040.4-0.5 0.001 1400 0.0000007143 0.0000042259 0.0050.5-0.6 0.001 1500 0.0000006667 0.0000048926 0.0060.6-0.7 0.001 1600 0.0000006250 0.0000055176 0.0070.7-0.8 0.001 1700 0.0000005882 0.0000061058 0.0080.8-0.9 0.001 1800 0.0000005556 0.0000066614 0.0090.9-1.0 0.001 1900 0.0000005263 0.0000071877 0.01二零一一年三月下旬
