第5章弹性静力学小位移变形理论的变分原理(16K).doc

1、- 53 -第 5 章 弹性静力学小位移变形理论的变分原理对连续体来说，其数学上的处理方法是利用给定的边界条件下的微分方程（或偏微分方程） ，并在一定的边界条件下求得其解，这种解析方法，实际做起来往往遇到很大的困难，使许多工程实际问题的计算模型很难建立，满足不了实际需要。自从五十年代直刚法问世以来，利用离散化的方法，将一个连续体划分为有限数量及具有一定几何形状的单元体，即有限单元，再按照一定的过程进行计算，这就使得过去许多工程计算感到困难的问题得到解决，这种方法不受结构特殊几何形状的限制，因此，它的适应范围是相当广泛的。有限元素法的提出和应用，是工程分析方法上的一次重大的变革，随着理论探讨上的

2、深入及计算机性能的不断提高，使得解的精确性不断地得到改进，以至使得有限元素法成为当前计算领域方面的一个强有力的工具，无论对结构问题（如静力学、动力学） 、非结构问题（如流体力学、光学、电磁学）以及许多边缘学科等都得到广泛的应用。有限元素法的解题过程和步骤在一般的有关有限元法教课书和著作中均有详细讨论，本章不再赘述。变分原理是有限元素法的基础，要很好地理解有限元素法，则应该对能量变分原理有一个较系统地了解。本章的目的是尽可能地对这些能量变分原理作系统性的介绍，从一般常用的最小位能原理和最小余能原理，引深到引用拉格朗日乘子法（Lagrange Multiple Method）的完全及不完全广义变分

3、原理和为分区集合体的分区（Sub-region）广义变分原理，这将涉及到以混合（Mixed）模型和杂交（Hybrid）模型为基础的变分原理。在此基础上，针对不同变分原理，进一步说明了有限元素法中的元素的刚度特性和推导元素刚度矩阵的一般过程及表达显式，以及变分原理在结构分析中的若干应用实例，使读者能比较清晰地了解各类变分原理与建立有限元模型之间的关系。5.1 小位移弹性理论的最小位能原理与最小余能原理设在卡氏直角坐标系中，坐标参数为 ，体积为 的弹性体中任意一点的位)3,21(ixV移参数为 、应力分量为 以及应变分量为 。由线弹性力学理论，)3,21(iuij)3,21,(ji我们可以得到如下

4、的用于描述一个弹性静力学小位移变形问题的基本方程式。（1）力的平衡方程（在 内） （5-1 ）0,ijiF式中 表示体力， 表示应力分量 对坐标分量 的偏导数（以下相同） 。iFji,jx（2）应变位移关系式（几何关系）（在 内） （5-2 ）)(21,ijjiijuV（3）应力应变关系式（物理关系）（5-3 ）klijija（5-3 ）b式中 为弹性模量系数， 为劲度系数， 和 都具有对称性。ijklaijklbijklijl（4）在弹性体的边界上，表面 S 可划分为两部分：外力已知的边界 及位移为已知的S边界 ，前者称为力的边界，后者称为位移边界，即uS- 54 -（5-4 ）uS在力的边

5、界 上，S（5-5 ）ijiTn式中 为已知边界力， 为 的边界外法线向量与坐标轴夹角的方向余弦。iTjn在位移边界 上，u（5-6 ）iiu式中 为已知边界位移。 （5-5）式和（5-6 ）式统称为“边界条件 ”。i上述的诸方程共有 15 个，即 3 个平衡方程，6 个应变位移关系方程，6 个物理关系方程。而未知变量也共计 15 个：6 个应力分量 ，6 个应变分量 和 3 个位移分量 。因此该问ijijiu题是可以求解的。小位移变形弹性体的应变能泛函（或应变能密度） 和余应变能泛函（余应变能密度）A可表示为B（5-9 ）klijlijaA21)(（5-10 ）lijlijbB不难看出， 和

6、 有以下关系，)(ijA)ij（5-11 ）)(ijijij并且容易证明（5-12 ）ijij（5-13 ）ijijA)(（一）虚功原理与总位能原理这里用 和 分别表示应变变分和位移变分，在虚功原理中可视为虚应变和虚位移。ijiu则由虚功原理可写出虚功方程为（5-14 ）0dSdVdi SiVij uTuF(5-14)式成立是有条件的，要求 和 在弹性体内部满足应变位移关系和在位移边界上满iji足给定位移边界条件，即（在 V 内） （5-15a ）)(21,ijjiij（在 上） （5-15b ）0iuuS虚功原理表明，如果弹性体在给定的体力和边界力作用下处于平衡状态，则对于为位移边界条件所容

7、许的任意虚位移， （5-14）式成立。反过来，如果（5-14 ）式对于为位移边界条件所容许的任意虚位移成立，则弹性体处于平衡状态。值得提出的是，不管材料的应力应变关系是线性还是非线性，虚功原理都成立。如果用下面泛函表示弹性体的总位能 ，P- 55 -（5-16 ）SiViij uTVuFAd)(p对（5-16）式取驻值，即一阶变分等于零，（5-17 ）Siiij 0dP将（5-14）式与（5-17）式比较，显然， （5-17）式就是（5-14）式。所以，可以把总位能原理理解为虚功原理的另一种表达形式。由于（5-18 ） VjijijjiVijVij uudd)(21d ,利用格林公式，上式等号

8、右边积分可变换为 ijiSijijij nu,并引用（5-15b）式，则（5-17）式可化为 0d)(d)(, SijiiViji SuTF因为 为独立量，则由总位能驻值条件可导出：平衡方程（5-1）即 （在 Viu ,ijiF内）及力的边界条件（5-5）即 （在 上） 。ijin（5-16）式表达了弹性体的最小位能原理：在满足应变位移关系（5-2 ）和位移边界条件（5-6）的所有容许的 中，实际的 使弹性体的总位能取最小值。iiu（二）余虚功原理与总余能原理余虚功原理中，可取 表示弹性体内的应力变分，即虚应力。另外， 表示弹性体ij iT指定位移边界上的表面边界力的变分。与虚功方程相类似的余

9、虚功方程可表示为（5-19 ）0dduSiVijT余虚功原理是在满足平衡方程（5-1）式及力的边界条件（5-5 ）式的条件下成立，即满足（5-1 ）式和（5-5）式的变分形式的条件为（在 V 内） （5-20 ）0,ji（在 上） （5-21 ）T现在定义下面的泛函为弹性体的总余能 c（5-22 ）uSiVijTBd)(c现在对（5-22）式取驻值，即 ，则有0(5-23)0d)(c uSiij利用格林公式，上式中的体积分项可化为 VjiSijiVijiijVVij unB ddd)( ,考虑到（5-21）式后， （5-23）式可写成(5-24)0d)( ,VjiSjiii unuu再考虑到

10、应满足（5-20）式，且 为独立量，则由 的驻值条件可以导出位移边界ijijc上的协调条件为uS- 56 -（5-25 ）0iiu（5-22）式表达了弹性体的最小余能原理：在满足平衡方程（5-1 ）和力的边界条件（5-5）的所有容许的应力 中，实际 的应力 使弹性体的总余能取最小 值。ijij上面所讨论的变分原理，所提出的泛函是受一定条件约束的，如最小位能原理的泛函 应满足的条件是（5-2）式和（ 5-6）式，而最小余能原理的泛函 应满足的条件是（5-P c1）式和（5-5）式。这种变分原理称为不完全变分原理，或称为带约束条件的变分原理。5.2 小位移弹性理论的完全及不完全广义变分原理5.2.

11、1 完全广义变分原理现在，让我们利用拉格朗日乘子法，导出小位移弹性理论的无条件的广义变分原理。在5.1 节的讨论中，不论是总位能原理或总余能原理，其能量泛函的提出是附带一定条件的即在满足一定条件下提出的。如果我们利用拉格朗日乘子法，将泛函提出的条件作为约束方程引入到泛函中去，则问题的性质就发生了变化，即将带有约束条件的泛函转化为不带任何约束条件的泛函。于是形成了下面的完全广义变分原理。（1） 基于总位能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理现在，让我们将总位能原理的初始满足条件即应变位移关系式（5-2）和位移边界条件（5-6） ，分别乘以定义在体积 内的和位移边界 上的拉格朗日乘子 和 ，并与

12、总位VuSijj能泛函 相加组成新的泛函 ，pGpVijjiijViij VuFAd)(21d)( ,Gp（5-26 ）uSiiSi ST)(式中经受变分的独立量是 ， ， 及 ，而不需要附加任何条件。对这些独立量进行ijiiji变分，有 SiSiiii ViVijjiij ijijjiijijijij uTuFVuAu d)(d21 d)(21)(, ,Gp引用（5-18）式及格林公式，上式第三个积分可化为 SVijiijiVjijVijjiij unddd)(21 ,将上式代入 式中，得Gp SijiS iiiijiiV ijiijijjiijijijij SuTnunFu d)(d)()

13、( 21 ,由 可以导出以下各式0Gp- 57 -， ， （在 V 内） （5-27a,b,c ）ijij)(21,ijjiiju0,ijiF， (在 上) （5-27d,e ）jiinii uS（在 上） （5-27f ）0jT显然， （5-27c ）式表示平衡方程， （5-27b ）式表示应变与位移的关系式，将（5-27a）式代入（5-27d）式中，则得 ，将（5-27a ）式带入（5-27f）式得 ，表示力边jiin jinT界上的给定条件。从以上的推导中，清楚地看到完全广义变分原理可导出平衡关系（5-1） 、应变位移关系（5-2） 、力的边界上的给定表面力（5-5 ）式及位移边界上的指

14、定位移（ 5-6）式。将乘子 、 分别用 、 代替，则泛函 可写成下列形式ijjijji GpV iijjjiijij VuFuAd)(21)(,Gp（5-28 ）uSiijiSi SndT该式中经受变分的独立量是三类共 15 个，即 、 和 ，而没有约束条件。ijiij于是， （5-28）式表示的完全广义变分原理可叙述为： 满足（5-1 ）式 （5-6）式的解 、iu、 ，必使得泛函 有 驻值。ijijGp（5-26）式和（5-28）式表示的广义原理，也称为胡海昌 -鹫津原理。现在再讨论另一种形式的完全广义变分原理，即 Hellinger-Reissner 变分原理，同属于无约束条件的广义变

15、分。Hellinger-Reissner 泛函由下式定义， uSiiSiViijji SdTVuFBu d)()(,R式中经受变分的独立量是 、 和拉格朗日乘子 ，而没有约束条件。iji i对上式泛函取一阶变分，由驻值条件，可得 ViVijijVji Fudd)(d,R（5-29 ）0 uu SiSiSiT上式等号右边第一个积分，可以进一步用分部积分展开，可得（5-30 ） V VijiiVjiSijijinu dddd , 将（5-30）式代回（5-29）式，经过整理后，可得下式V ijVijjiijiji uBF)(21)()( ,R0d(dd uu SiiiSSiiji SnTn从上式中

16、可以导出以下条件（在 V 内） 平衡方程0iij（在 上） 力边界条件（在 上） 位移边界条件iiuuS并且可以得到拉格朗日乘子的涵意，- 58 -jiii nT如果引入关系式（5-12） ，即 ，则还可以得到jjijB)(（在 V 内） 应变位移关系0(21,ijjiiju从而验证了在泛函 极值条件下，导出了弹性力学各类基本方程。R将乘子 用 代替，泛函 可以写为下列形式ijinRViijjiFBd)(, uSjiiSi SnTd)(（5-31 ）式中经受变分的独立量共 9 个，即 和 ，而没有约束条件。从泛函 中不难看出，此ijiuR种广义变分属于二类自变量的广义变分， 和 是独立假设的。

17、Hellinger-Reissener 泛函在ji构造弯曲板有限元模型得到广泛的应用（参阅本书第六章6.3 节） 。实际上，将物理关系引入（5-28）式消去应变分量 ，也可以得到（ 5-31）式。ij通过分部积分，泛函（5-31）也可以写成另一形式如下： Vijiij VuFBd)(),*R uSijiSiji ndTnd)(（5-31 ）（2） 基于总余能原理的小位移弹性理论的完全广义变分原理现在我们从总余能泛函 出发，将弹性体内的平衡条件（5-1）及力的边界条件（5-c5）分别用定义在 V 内和 上的拉格朗日乘子 和 引入，并形成下面的泛函Sii uSijiSijijiijij nTnVF

18、A dd)(d)(),Gc式中 、 、 和 均作为独立变量。对上式进行一阶变分，得ijijii VFa iijiV ijjiijijklijij )()()( ,cS ijiiiiji nTnd（5-32 ）uijii Sd)(上式中（5-33 ） )(,VijjiijVijijjiij Vd)(21,将（5-33）式代入（5-32）式，则由（5-32）式可以得到以下驻值条件：， ， (在 V 内) （5-34a,b,c ）klijija)(21,ijjiiju0,ijiF， (在 上) （5-34d,e ）jiinTiiS(在 上) （5-34f ）u u如果将上式得到的 和 代入 式，则泛

19、函 可以写为下列形式iiGcGc uSijiSijiV ijjij nTnVuFA ddd)(),Gc（5-35 ）- 59 -式中经受变分的独立量是三类共 15 个，即 、 和 ，而没有约束条件。ijiuij于是， （5-35）式表示的完全广义变分原理可叙述为： 满足（5-1 ）式 （5-6）式的解 、iu、 ，必使得泛函 有 驻值。ijijGc如果将平衡条件（5-1）及力的边界条件（ 5-5）分别用定义在 V 内和 上的拉格朗日S乘子 和 引入总余能泛函 ，并形成下面的泛函iic SijiSijiVijiij TnunVFBu d)(dd)(),Gc1式中经受独立变分的量是 、 和 。可以

20、证明，上述的泛函与（5-31）式的泛函是相同ijii的，即 Vijiij )(),Gc1 uSijiSijiT)(（5-36 ）这是一个属于二类自变量的广义变分，其中的 和 是独立假设的。ijiu实际上，将物理关系引入（5-35）式消去应变分量 ，也可以得到（ 5-36）式。j下面我们将进一步证明（5-28）式与（5-35 ）式的等价性。将（ 5-28）式与（5-35）式相加，得到 uSijiSijiVijijjji nnVuu ddd)(21,Gcp利用分部积分， SSijiijiVijijijijjji unnVdd)()( ,从而得，或 （5-37 ）0GcpGcp(5-37)式证明了两

21、种泛函的等价性。所以，完全变分原理的两种泛函即 与 是等Gpc价的，只是有正、负之差，但这对取驻值没有关系。从物理意义上也比较易于理解，由于小位移线性弹性系统的完全变分原理，在泛函中全部地概括了所有的条件，因此而构成其等价性。而对于一般总位能泛函 与总余能泛函 ，这一等价性并不成立，读者可以自行验pc证。5.2.2 有条件的不完全广义变分原理在5.2.1 节中，我们讨论了不附带任何条件的完全变分原理，对泛函取驻值，导出了所有的需要满足的条件。但实际情况也并非如此，譬如我们可以不要求完全变分原理的泛函，而只是在满足部分的条件（即放松提出泛函的某些条件的要求） ，再引用拉格朗日乘子法，组成不完全变

22、分原理的泛函。不完全变分原理较多用于有限元素法中，如混合模型、基于位能原理的位移杂交模型或基于余能原理的应力杂交模型等。对于基于总位能原理的不完全广义变分原理列举几例，概述如下。（1）在满足位移边界条件（5-6）的所有允许变量 、 、 中，只有当 、 、ijijiuijij为真实解时，使下面的泛函为驻值，iu（5-38 ）d )(21)(,mp1 SiV iijjjiijij TVFuA- 60 -式中 、 、 均为独立变量。当对（5-38 ）式取驻值，有ijijiu V ijijjiijijijij uA)21()( ,mp1（5-39 ）uSiij TFu0dd-i,利用格林公式，并引入

23、，可以得到ijij V VijiSijijij n,将上式代入（5-39）式，同时注意到泛函是在满足位移边界（5-6 ）的条件下提出的，故上式等号右边第一项中的表面 S 只包含力的边界， （5-39）式变为 V ijijjiijijijij u)21()( ,mp1（5-40 ）sijiiji STnuF0dd,因为 、 、 均为独立变量，由（5-40）式可导出ijijiu在体积 V 内， ， （5-41a,b,c ）ijij)(21,ijjiij,ijiF在力的边界 上S（5-41d ）jiinT将（5-41a ）式代入（5-41d）式中，得（5-41d ）jii将式（5-41a ）式代入（

24、5-38）式，则得泛函 为mp1(5-38) SiV iijjjiijij uTVuFuA d)(2)(,mp1（2）在满足应变位移关系式（5-2）的所有容许的变量中，只有真实解使下面的泛函取驻值（5-42 ）ViijVFd)(p2 SiTuSii)(现在对 取驻值，即 ，有m0mp2SiViijuAp2 0d)(uSiiii S（5-43 ）引入（5-13）式，再利用格林公式，上式等号右边第一个积分中的第一项可化为 VijiSijiVjijVij unuddd , 将上式代入（5-43）式，得 Sijiiji STF)()(,mp20 nuS iiiiji- 61 -因为 、 为独立变量，故

25、由上式可以导出以下条件，iui在体积 V 内： （5-44a ）0,ijiF在力的边界 上： （5-44b ）SjnT在位移 边界上： ， （5-44c,d ）u iiiiu现在将（5-44c）代入（5-42）式，可得泛函 为mp2（5-42 ）ViijVFAd)(mp2 SiuSiid)(（3）设位移边界条件为 。在满足其中一个位移边界条件如 的)3,1ii 1u所有容许的 、 、 中，只有当 、 、 为真实解时，使下面的泛函有驻值iuijijuijijV iijijjiijij VFd)(2)(,mp3（5-45 ）SiTduS jj Snun)(332这种不完全满足位移边界的泛函，可以只

26、满足其中一部分位移边界条件，如式（5-45）那样，也可以满足其中的两个位移边界条件，而形成相应的泛函。具体推导读者可自行完成。（4）在满足一个应变位移关系 的所有容许的位移 、应变 及应力01,iij中，真实的 、 、 必使下列泛函为驻值ijiuijij V iijjjiijij VuFuA d)()(2)( 1,1,mp4（5-46 ） SSjiiiuSnTdd基于总余能原理的不完全广义变分原理，其基本处理方法与上面类似，仍是利用拉格朗日乘子法，使一部分条件乘以拉格朗日乘子作为泛函的一部分，参与到泛函中去，而将另一部分条件作为泛函提出的条件。按泛函提出满足不同的条件，也可以划分为以下几种。（

27、1 /）在满足力的边界条件（5-5）的所有容许的位移 、应变 及应力 中，只有iuijij真实的 、 、 使下面的泛函有驻值iuijij(5-47) uSijiV ijiijij nVFAdd)(),mc1式中 ， 和拉格朗日乘子 均作为独立变量。在引用了（5-13 ）式和（5-3）式，即ijij iijklijijijij a)(及格林公式，使 VijiSijiVjinddd,后，对（5-47）式取驻值，可得到下式 uSijii iijiijjiijijklijijn VFa0d)( )()( ,mc1因为 、 、 都是独立变量，故由上式可导出以下驻值条件，ijij- 62 -在体积 V 内

28、：， （5-48a,b ）kLijija0,ijiF由 VVijiiijjiij Vud)(d)( ,可知，在体积 V 内，（5-48c ）ii而在位移边界 上，uS（5-48d ）iiu将（5-48c ）及(5-48d) 代入（5-47）式中，得（5-47 ） uSijiV ijiijij nVFAdd)(),mc1（2 /）在满足平衡方程式（5-1）的所有容许的 、 、 中，只有当 、 、 为iijij iijij真实解时，使下面泛函有驻值（5-49 ） uSijiSijiVijij Tn)(d)(c2式中应力 ，应变 ，乘子 是作为独立变量。对泛函（5-49 ）取驻值，ijiji uSi

29、jiiS ijiiiiji jiijklijij SnnuTnVa 0d)(d)()(,mc2推导上式，我们用了格林公式，使 VjiVijiVijiVij d ,由此可导出以下各式（在 V 内）0,klijjia， （在 上）nTiiuS（在 上） （5-50a,b,c,d ）iiuu现在将（5-50c）式代入（5-49 ）式中，可得出泛函 为mc2（5-49 ） uSijiSijiVijij nTnVAdd)(d)(mc2（3 /）在满足一个（譬如全部共有三个）给定力边界条件如 的所有容许的 、j1iu、 中，只有真实的 、 、 使下列泛函为驻值ijijiuijij uSijiV ijiij

30、ij VF)(),mc3（5-51 ） S jj TnuTnd( 3322同样，如果要求的泛函满足二个以上给定力边界条件时，可以参考（5-51）式，也不难求出其泛函表达式。读者可以自行推导。5.3 小位移弹性理论的分区变分原理传统变分原理采用整体插值，而有限元素法是把整体分割为有限个元素的集合体，采用的是分区插值。将分区概念引入变分原理，用分区插值代替整体插值，并且放松各个分区交- 63 -界面上的连续性要求，就得到所谓的分区变分原理。分区变分原理是变分原理与分区概念相结合的产物，为建立新型的有限元模型提供了坚实的理论基础。设一个连续的弹性体被划分为若干个分区或单元（如图 5-1 所示） ，其

31、体积分别为。任一分区 的体积力为 ，表面为 ， 一般由三部分组成：),32,1(NeVeeiFeS*ueSS其中， 为 中包含给定位移 的边界面， 为ueSi e中包含给定表面力 的边界面， 为 与相邻分区eiTe的交接面。在分区变分原理中，各个分区按需要可任意定为位能区（如图 5-1 中的分区（ , , ）或余能区（如p1V2p3图 5-1 中的分区 ） 。各个分区中独立变分的量c32c1,可以任意定为三类变量（位移 ，应力 ，应变 ）iuijij或两类变量（ 和 ）或一类变量（ 或 ） 。相邻分iuij区的交接面分为 、 、 三类， 表示其两侧都是位能区， 的两侧都是余能区，pScppSc

32、S的一侧是位能区，另一侧是余能区。各个分区的各类变量不仅可以独立变分，而且在边pcS界面上可以要求或不要求满足给定的位移或面力边界条件，在分区的交接面上也可以要求或不要求满足交接面上位移或面力的连接条件（即位移相容条件和力平衡条件） 。小位移弹性理论的分区变分原理的泛函一般可写成下面形式（5-52 ）pccpcp SSVH上式等式右边各项的涵义为，第一项为各位能区 的总位能 或广义的总位能 之和，Gp第二项为各余能区 的总余能 或广义的总余能 之和，第三、四、五项分别表示相邻cVcGc分区交接面处的附加能量之和，取决于交接面的类型。根据分区的性质，我们可以把分区变分原理归结为以下三类，（1）位

33、能分区变分原理。弹性体在整体上被分割成有限个位能区的集合体，并基于最小位能原理导出的修正变分原理。（2）余能分区变分原理，弹性体在整体上被分割成有限个余能区的集合体，并基于最小余能原理导出的修正变分原理。（3）混合分区变分原理，弹性体在整体上被分割成有限个位能区和余能区的集合体，是上述两类修正变分原理的混合。分区变分原理是基于传统变分原理的一种修正变分原理，与5.2 节的完全与不完全变分原理不同的是，后者可以看作是在单元水平上进行修正与混合，而分区变分原理则是在弹性体整体水平上进行修正与混合。下面我们将在传统变分原理的基础上，为有限元素的集合体进行分区变分原理的公式推导。5.3.1 位能分区变

34、分原理为了以后方便，现在用 和 表示两个任意的相邻aVb元素，用 表示 和 的交接面，如图 5-2 所示。另外abSab引用两个符号 和 来区*baVS别交接面属于 的还是属于 的（这里 表示 的整图 5-1 分区示意图- 64 -个边界） 。（1）修正最小位能原理设每个元素的广义位移表示为， ， ， ， ； )(iu)2(i)(aiu)(bi)(Niu3,21i如果选择的每一个元素的位移函数满足下列要求：（）在元素内，是连续的和单值的；（）在元素的交接面上，满足位移相容条件，即在 上， （5-53 ）abS)()(biai（）如若元素的边界包含有 ，则该元素的位移函数应满足位移边界条件（5-

35、6） 。u则这些位移函数的集合可以作为最小位能原理泛函的容许位移函数，那么，元素集合体的最小位能原理的泛函就由下式给出（5-54 ）d)(pImp aa SiVii uTuFA式中经受变分的独立量是 ， 是由（5-16）式确定的元素 的总位能泛函。)(aiuV（2）修正位能原理如果我们放松元素交接面上的位移相容条件（5-53）式，将约束条件（5-53 ）利用定义在 上的拉格朗日乘子 引入到（ 5-54）式的泛函表达式中，则形成下面的泛函：abSi（5-55 ）abSibiiSud)()pImp1式中的 和 是经受变分的独立变量，并带有约束条件（5-6） 。)(iui对（5-55）式取驻值， )

36、(d)(,Imp1 aa SijiViji TnVuF* d)()( bb bibjiSiaji Sunaiiiu0)()由以上的驻值条件，可导出下列的关系式，（在 内） （5-56a ）,ijiFaV（在 上） （5-56b ）jnTS（在 上） ， （在 上） （5-56c ）)(aii*ab)(bjiin*baS（ 上） （5-56d ）0)(bau式中 与 分别表示沿 与 上外法线方向的方向余弦，对同一点来说，有)(ain)(bi *a)()(bjjn显然， （5-56a ）为平衡方程（5-1 ）式， （5-56b）为力的边界（5-5）式， （5-56c ）为乘子， （5-56d）为位

37、移相容条件。i令 和 分别等于 及 ，即有)(aiT)(bi )(aji)(bji， （5-57 ）ajnT)()(bjiinT（5-57）式指明了拉格朗日乘子 的物理意义，即 就等于 上的表面力 （注意iaS)(aiT是 的函数，和记作 ） 。)(ai)(iu)()(aiaiu图 5-2 、 、aVbaS- 65 -将 代入（5-55）式，得到)(aiiT（5-58 ）1pImp1H而或 （5-59 ）abSbiaii SuTHd)()1p abaiii SuTd)()（5-58）式给出的原理称为放松连续性要求的第一修正位能原理，因为在 中放松1Imp了（5-53 ）式的要求，每一个元素的位

38、移函数可以独立选择而不用考虑元素交接面上的位移相容条件的要求。这里要指出的是，这个修正原理不再是最小原理了，而仅仅保持其驻值性质。泛函 还可以作进一步的处理。若我们引进两个函数 与 ，它们分别定义在1Imp)(ai)(bi与 上，且服从下列关系式：*abS（A）0)()(biai由（A）式的条件，可见：， （B）)(ii )(bii现在将（B）式代入（5-55）式中，等号右边末项积分的被积函数就变为以下形式（C）)()(iaiu并附带约束条件（A） 。因此，可以引入一个定义在 上新的拉格朗日乘子 将约束条件bSi（A）加入到泛函（5-55）中，于是（5-55）式可改写为下面等价形式：（5-60

39、 ）2p2ImpH而 abS biaibiai SuHd)( ()()(2p（D）*d()(baSiiiiii（5-60）式称为放松连续性要求的第二修正位能原理，式中经受变分的独立量是 、)(aiu和 ，带有约束条件（5-6）式。其中，在元素 中的 及在 上的 与在元素)(aiiaV)(iu*abS中的 及在 上的 都可以独立选取，但必须在元素交接面 上有共同的 ，以bV)(bu*baS)(bi i保证交接面处位移的协调性。取（5-60）式的驻值，可得 d)(d)(,2Imp aa SijiViji SuTnuF* ()() bb biiiSaiiiT*( )()()() baa Siiiiu

40、（E）d)()bSiii由此得到在 上的下列驻值条件：ab， （5-61a,b ）)()(aiiT)()(bii， （5-61c,d ）u及- 66 -（5-61e ）0)()(biai（5-61）式的物理意义十分明显。将（5-61a,b ）代入（5-61e） ，得（5-61f ）)()(iiT（5-61f）表示在交接面 上，力是平衡的。abS如果将驻值条件（5-61a,b）引入 中消去 和 ，就可以把 改写成另一形2abH)(ai)(bi2pH式如下（F） * d)d()()3p baab SiiiSiii SuTuT并得到（5-62 ）3pImp3这个原理称为放松连续性要求的第三修正位能原

41、理，式中经受变分的独立量是 和 ，带)(aiui有约束条件（5-6）式。在这些变分的量中， 内的 与 内的 都可以独立选择，但aV)(aiub)(bi是 对于 和 必须是共同的。i*abS（3）修正广义位能原理下面我们将从 出发，导出一种修正广义变分原理。即满足平衡方程（5-1） 、应变Imp2位移关系式（5-2） 、物理关系式（ 5-3） 、位移边界条件（ 5-5）及力的边界条件（5-6）及在元素交接面上满足位移协调条件和力平衡条件的解，使下列泛函有驻值： aV jijiijiij VuuFAd)(21)(,IGp1（5-63 ） 2pd)(dHSnSTuaa iijii式中经受变分的独立量

42、是 、 、 、 和 ，而不带约束条件。)(ij)(ij)(i)ii可以证明，在 上， 的驻值条件也给出（5-61a,b,c,d,e）式表示的方程。因此，abSmGp1我们可以把 写成另一等价形式如下：ImGp1 aV jijiijiij VuuFAd)(21)(,I2（5-64 ） 4pd)(dHSnSTuaa iijii式中（G） * d)()4p baab SibiiSiii SuTH（5-64）式中经受变分的独立量是 、 、 和 ，而不带约束条件。ij(aij)(ii（4）修正 Hellinger-Reissner 原理利用应变位移关系式（5-2） ，从泛函 中消去应变分量 就导致修正

43、Hellinger- ImGp2ijReissner 泛函： d)(d)(,ImR uaaa SiijiSiViijji SndTVuFBu（5-65 ）bS biibiiT)()(式中经受变分的独立量是 、 和 ，而不带约束条件。aij)(ii- 67 -利用分部积分，可以得到修正 Hellinger-Reissner 泛函的另一表达式如下： aa SijiVijiij dSuTnVuFB)(d)(),*ImR（5-66 ）abu SibiiSiji Tn)d(式中经受变分的独立量是 、 和 ，没有约束条件。)(ij)(ii5.3.2 余能分区变分原理我们也可以从最小余能原理出发，导出有限元

44、集合体的最小余能原理、修正余能原理以及修正广义变分原理等。用下列记号来表示每个元素中的应力：， ， ， ， ； )1(ij)2(ij)(aij)(bij)(Nij3,21ji，如果选择的每一个元素的应力函数满足下列要求：（）在元素中，是连续的和单值的，并且满足平衡方程（5-1） ；（）在元素的交接面上，满足平衡条件，即在 上， （5-67 ）abS0)()(biaiT式中 和 是由（5-57）式定义的；)(aiT)(bi（）如若元素的边界包含有 ，则该元素的应力函数应满足力边界条件（5-5） 。这些满足上述条件的应力函数的集合可以作为最小余能原理泛函的容许函数，那么，元素集合体的最小余能原理的泛函就可以由下式给出（5-68 ）dd)(cIc uaaSiVijTB式中经受变分的独立量是 ， 是由（5-22）式确定的元素 的总余能泛函。)(aij V如果我们放松元素交接面 上的平衡条件（5-67）式，将约束条件（5-67 ）利用定义bS在 上的拉格朗日乘子 引入到（5-68）式的泛函表达式中，则得到如下的修正余能原理abSi的泛函：（5-69 ）abSbiiSTd)()cImc1式中经受变分的独立量是 和 ，并带有约束条件（5-1）和（5-5 ） 。关于泛函 的原)(aii Imc1理称为放松连续性要求的修正余能原理，因为在 中放松了（）的要求，每