1、 本科学年论文论文题目： 定积分的计算与几何应用 学生姓名： 学 号： 专 业： 数学与应用数学 班 级： 指导教师： 完成日期： 定积分的计算与几何应用内容摘要定积分计算的方法和技巧是非常丰富的，除用定积分性质、基本公式，换元法与分部积分法外，简单的还有定积分的几何意义，函数奇偶性及查积分表等。定积分在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用。本文主要列举了一些定积分计算的方法与技巧以及定积分在几何学中的一些应用，供大家参考。关键词：定积分 计算方法 几何应用目录序言 .11、按照定义计算定积分 12、用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 13、利用分部积分法计算定积分 24、利用
2、换元积分法计算定积分 25、几种特殊类型定积分的计算方法 35.1 对称区间上的定积分的计算方法 35.2 利用函数的周期性简化计算 35.3 分段函数定积分的计算 .45.4 含有绝对值的函数的定积分的计算 4第二章 定积分的几何应用 51、求平面曲线的弧长 52、求平面图形的面积 73、求空间几何体的体积 .12参考文献： .14- 1 -序言在产品生产、科学技术研究和现实生活中，许多实际问题如求路程、求面积、求体积等都可以归结为求某种和的极限，利用定积分的概念就可以使这些问题迎刃而解。第一章 定积分的计算1、按照定义计算定积分定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法，即求积分和的极限:
3、 nkkTlba xfdxf10)()(im例 1 :求由抛物线 ， ，及 所围平面图形的面积。2y1,0y解 根据定积分的几何意义，就是要计算定积分 .显然，这个定积分是存在的。102dx取分割 T 为 等份，并取 ， 。则所求面积为：nkn1n,316)2(1lim)1(li)(lim32321102 nkdxS nnnkn2、用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分若函数 在 上连续，且存在原函数 ，即 ，xa,b,则)(xf,ba)(xF)(xf在 上可积，且 这称为牛顿莱布尼茨公式，它也)(xf,aabdxf)(常写成 babaxFdf)()(有了牛顿莱布尼茨公式后，计算定积分关键就是找 的一
4、个原函数 。这就)(xf)(xF转化为不定积分的问题了。- 2 -例 2求 102xd解：已知 Carctn 40arctn111002 x3、利用分部积分法计算定积分设函数 、 在区间 a， b上连续可微函数，则有定积分分部积分公式：)(xuV babababa dxvuxvudxvxudvxv )()()()()(例 3：求 210rcsin解:123121ariari 212121 000 xdxxxd4、利用换元积分法计算定积分若函数 在 上连续， 在 上连续可微，且满足)(xf,ba)(x,， ， ， ，bbta)(,t则有定积分的换元积分公式 。 )()()( tdtfdttfdx
5、fba应用定积分的换元积分公式计算定积分时，要注意积分上、下限的变化。例 4：计算 10ex解：先用变量代换方法：令 ，则 ， 。tx2ttdx于是 1010edet再用分部积分法计算上式右端的积分。- 3 -设 ，tudtev则 ，d于是 1010ttt 1)(e从而 原式 2xe5、几种特殊类型定积分的计算方法5.1 对称区间上的定积分的计算方法对于对称区间关于原点对称的定积分，用奇偶函数积分的“特性”作处理。若 在 上连续并且为偶函数，则有)(xf,a， （ 是偶函数）adxfd0)(2)(xf若 在 上连续并且为奇函数，则有)(f,， （ 是奇函数）ax)(xf例 5：计算 adx2解
6、：原式 aa dx22右边第一个积分的被积函数是偶函数，第二个积分的被积函数是奇函数，积分区间对称于原点，从而原式 axadxa002rcsin例 6：计算 d134 1oi95解：原式 10dx5.2 利用函数的周期性简化计算设 是以 T 为周期的连续函数，则有)(xfTadxf0)(（ n 为整数）nTaf)(- 4 -例 7：计算 2102sinxdtg解：因为被积分函数以 为周期，所以原式 2422sinsi xdxt 3in804d5.3 分段函数定积分的计算对于分段函数的积分首先要弄清积分上下限是常数还是变量，如是常数，就要找分段函数的分段点，然后依据分段函数的分段点将积分区间分为
7、许多个小区间，在每个小区间上求定积分的和；如果是变量，就将变量分情况讨论；当被积函数是给定函数与某一简单函数复合而成的函数时，要通过变量代换将其化为给定函数的形式。例 8：设 求oxxfe,10,)( 20)1(dxf解：令（x-1）=t,则 x=t+1,dx=dt 2lne1)(-)1ln()(001 1021 dxxdefxfx5.4 含有绝对值的函数的定积分的计算对于含绝对值的函数，一般用使得绝对值等于 0 的点把积分区间分成 n 个小区间，使得每个小区间的绝对值内的函数恒正或恒负。例 9：计算 dx31解：原式 dx31 4)()(1 x例 10：计算 053sini解： ，xxxco
8、sin)si1(sin232353- 5 -在 上， ，2,0xcos在 上， ，于是,原式 23203 )cos(sincosindxxd 54si5si5220第二章 定积分的几何应用1、求平面曲线的弧长1.1、在平面直角坐标系下，求曲线 上 一段的弧长 （如图 1）.yfx,abBA图 1在区间 上的任意点 对应的 点处，作曲线 的切线 ，取其对应自,abxMyfxT变量增量为 的一段 作为曲线弧 的近似值（“直代曲” ） ，即 .dxsN dsNM称为弧长微元，s221dxydx对其积分，则得所求弧长 1bas例 11 ： 求曲线 上 一段的弧长.32yx0,- 6 -解 32yx1d
9、sd1x.333220010xx 41.2.用参数方程表示的函数的弧长计算，如曲线 上 一段的弧长.xty,这时 222dxdsxydtt即 22tt则曲线的弧长 .2std例 12 ： 求摆线 上 的一拱的弧长sin1coxaty0a,2t解： ，dttdit2221cosnsaat2sinadt20it204sintadcot8a1.3.在极坐标系下，求曲线 上 一段的弧长.r,- 7 -2dsxdy22cossinddrr22iicosrd2 22 2coscosiniinsicosdrdr drrd 2r即 2dsd则 r例 13 ： 求阿基米德螺线 上 一段的弧长解ra0,2rad2
10、221dsradad01d22ln10a= .2241l42、求平面图形的面积2.1.在平面直角坐标系下，求由 与 上下两条曲线在 区间上所yfxygx,xab围成的平面图形的面积 .A- 8 -图 2在 轴上 、 之间任取一点 ，过 点做 轴的垂线xabxx过垂线与上曲线的交点 和下曲线的交点 做 轴的平行线,f ,gx最后截得 宽的一个小矩形（如图 3 阴影部分）dx我们所要的面积微元 就是这个小矩形的面积A即 Afxgdx则 .ba其中，若 即下曲线退化成 轴，则所求面积0yxybaAfxd此即定积分的几何意义：曲边梯形的面积.例 14: 求由 与 围成的平面图形的面积.yx2解法一由
11、解得两交点 ， （如图 3）2yx0,4,2图 32xdAd40- 9 -32410x；4解法二 前面的积分是以 为积分变量的，下面我们再以 为积分变量试试（如图 4）xy图 42dAyd0231y.4对于这个例题两种解法差别不大，但对有些题差别可就大了.2.2.用参数方程表示的函数构成的平面图形面积. 例 15 求星形线 所形成的面积（如图 5）.3cosinxaty0,2a解图 5- 10 -dAyx33sincosatt242d0aAyx2421sincott20iiattd42601sn1sinat23534.8a可见，在平面直角坐标系下，面积微元是计算公式最简单的小矩形面积.进一步思
12、考，在极坐标系下呢？我们知道极坐标系下计算公式最简单的不是小矩形面积而是小扇形面积.2.3.在极坐标系下， 与 内外两条曲线在 之间形成的平面图1r2r,形的面积.图 6在以极点 为起点的射线 至 之间任取一角 做射线（如图 6）o射线 与内外两曲线分别相交于 、 两点1,r2,r分别过这两个交点作以极点 为圆心的圆弧线（ 轴的平行线）o最后截得一个圆心角为 的小扇形（阴影部分）d- 11 -此小扇形面积即为极坐标系下的面积微元 .dA即 2211dArdr21则 22r例 16 ： 求圆 与心脏线 所形成的月牙状图形的面积.a1cosra0a解 （如图 7）图 7221cosdAaad220
13、1cosad20421sinsi20a.24当内曲线 退化成极点时，得到曲线 在 之间形10rr2r,成的平面图形的面积微元 .dA即 2dAr则 .1- 12 -a bS(x0)xx yzoRxyzoR3、求空间几何体的体积对于一个空间立体，假设我们知道它在 x 处截面面积为 S(x)，可如果像切红薯片一样，把它切成薄片，则每个薄片可近似看作直柱体，其体积等于底面积乘高，所有薄片体积加在一起就近似等于该立体的体积。即 niiiixSV1)(由此可得 bad)(这里，体积的计算的关键是求截面面积 S(x) , 常用的方法先画出草图，分析图象求出 S(x)例 17: 求两圆柱222,azxayx
14、所围的立体体积 （） 先画出两圆柱的图象，图中看到的是所求立体的八分之一的图像, 该立体被平面（因为两圆柱半径相同）所截的截面, x是一个边长为 的正方2a形, 所以截面面积 ,考虑到2)(S是 8 个卦限，所以有 30216)(adxaV例 18: 求椭圆柱 1062yx与坐标面 , 斜面 , 所围部分的体积. 0z)(,z- 13 -xy10cm5cm8cm由图可以看出, 底面椭圆方程是： 4251010622xyx截面是与 yz 平面平行的三角形。截面 1（后）三角形面积等于 25；截面 2（前）三角形的底边平方 ；450xy因两三角形相似 16254)(,025)(2xyxS=02)(
15、dV例 19: 绕极0(,cos1aar轴旋转所得的体积 若对心脏线作如图所示的次分割, 则每个小扇形旋转可看作小球带锥, 其对应的球带宽度 球带半径为 从而所以球iriirsn带面积为 iiis2整个旋转体体积为 300333 8sin)co1(2sin)(1 adadrV 由分析和上面几个例题看出，只要知道了截面面积函数就可以用定积分来解决立体的体积计算问题。- 14 -参考文献： 华东师范大学数学系.数学分析上册M. 高等教育出版社,北京,2001 年 辛开远 .定积分计算中应当注意的几个问题DB/OL.百度文库 . 唐琦林，冯良豪.关于几种类型定积分的求法N. 现代企业教育,2008.8. 周德国，蔺小林.定积分几何应用的几个问题DB/OL.西北轻工学院 . 西安理工大学数学系.定积分的应用习题课DB/OL.西安理工大学. 豆丁文档.定积分习题DB/OL. 豆丁网 http ：.学年论文成绩表学生姓名 班 级 学 号二级学院 数学科学学院 专业 数学与应用数学论文题目 成绩指导教师评语指导教师签名： 年 月 日系意见 签字（盖章）： 年 月 日二级学院意见 签字（盖章）： 年 月 日
