1、- 1 -二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 基础知识1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.cbaxy,(2)0ayx2.二次函数 的性质2ax（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.y y（2）函数 的图像与 的符号关系.2x当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；0a当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .y2axy）（ 03.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线.cbxay24.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 .2 khxay2 abckbh422，5.二次函数由特殊
2、到一般，可分为以下几种形式： ； ； ；2kaxy22hxy； .khxay2 cbxay26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；00a相等，抛物线的开口大小、形状相同.a平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxyx7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，a只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，顶点是 ，对称轴是直线 .abcxacbaxy4222 ），（ abc422abx2（2）配方法：运用配方的
3、方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直khxyhk线 .hx（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对- 2 -称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线 中， 的作用cbxay2a,（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.2axy（2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线cbxay2，故： 时，对称轴为 轴； （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧； （即abx00y0ab、 异号）时，对称轴在 轴
4、右侧.y（3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.ccbxa2y当 时， ，抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：0xcy2 c ，抛物线经过原点; ,与 轴交于正半轴； ,与 轴交于负半轴.c0cycy以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .0ab10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy（0,0）k（ 轴） (0, )k2hxyhx( ,0)hka( , )kcbxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 abx2( )abc422，11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上
5、三点或三对 、 的值，通常选择一般式.cbxay2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .x1x2 21xay12.直线与抛物线的交点（1） 轴与抛物线 得交点为(0, ).ycbay2c- 3 -（2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).yhxcbxay2 hcba2（3）抛物线与 轴的交点二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的cba2 1x2 02cbxa两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：x有两个交点 抛
6、物线与 轴相交；0x有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；0x没有交点 抛物线与 轴相离.（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点x同（3）一样可能有 0个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则k横坐标是 的两个实数根.kcba2（5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组 nxyl 02acbxyG的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; 方程组只有一组解时cbak2 l与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.lGlG（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、x cbxay
7、2 021， xBA1x是方程 的两个根，故202cbaaxx211, acbacbxxAB 442221212121第二部分 典型习题.抛物线 yx 22x2 的顶点坐标是 （ D ）A.（2，2） B.（1，2） C.（1，3） D.（1，3）.已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）cbxayab0，c0 ab0，c0 ab0，c0 ab0，c0CAE FB D第,题图 第 4题图- 4 -.二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）cbxay 2Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0.如图，已知 中，BC=8，BC 上的高
8、 ，D 为 BC上一点， ，交 AB于点 E，交 AC于点 F（EF 不过Ch4EFBC/A、B） ，设 E到 BC的距离为 ，则 的面积 关于 的函数的图象大致为（ ）xEFyxDO424 O424 O424 O424Ayx B C28,8EFxyx.抛物线 与 x轴分别交于 A、B 两点，则 AB的长为 4 32xy6.已知二次函数 与 x轴交点的横坐标为 、 （ ） ，则对于下列结论：当 x2 时，1)(k 1x221xy1；当 时，y0；方程 有两个不相等的实数根 、2x 0)(2 k 1； ， ； ，其中所有正确的结论是 （只需填写序号） 2x1 12 214x 7.已知直线 与 x
9、轴交于点 A，与 y轴交于点 B；一抛物线的解析式为 .0bxy cxbxy102（1）若该抛物线过点 B，且它的顶点 P在直线 上，试确定这条抛物线的解析式；bx2（2）过点 B作直线 BCAB 交 x轴交于点 C，若抛物线的对称轴恰好过 C点，试确定直线 的解析式.xy2解：（1） 或102xy642y将 代入，得 .顶点坐标为 ，由题意得)b（ ， cb210610(,)4bb，解得 .210162412,（2） xy8.有一个运算装置，当输入值为 x时，其输出值为 ，且 是 x的二次函数，已知输入值为 ,0, 时, 相应的输出值y 21分别为 5, , 34（1）求此二次函数的解析式；
10、- 5 -第 9 题（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值 为正数时输入值 的取值范围. yx解：（1）设所求二次函数的解析式为 ,cbxay2则 ,即 ,解得4305)2()(2cba143bac321ca故所求的解析式为: .2xy（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值 为正数时，输入值 的取值范围是 或 x1x39.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同他们将一头骆驼前两 昼夜的体温变化情况绘制成下图请根据图象回答：第一天中，在什么时间范围内这头骆 驼的体温是上升的?它的体温
11、从最低上升到最高需要多少时间? 第三天 12时这头骆驼的体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中 10时 到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式解：第一天中，从 4时到 16时这头骆驼的体温是上升的 它的体温从最低上升到最高需要 12小时第三天 12时这头骆驼的体温是 39 2104216xxy10.已知抛物线 与 x轴交于 A、)3(aB两点，与 y轴交于点 C是否存在实数 a，使得ABC 为直角三角形若存在，请求出 a的值；若不存在，请说明理由解：依题意，得点 C的坐标为（0，4） 设点 A、B 的坐标分别为（ ，0） ， （ ，0） ，1x2yO x- 6 -由 ，解得 ， 04)3
12、(2xax 31xa42 点 A、B 的坐标分别为（-3，0） ， （ ，0） ， ，|3|a52OCA2CO24|3|a ，98169916|34| 222 aaAB， 5当 时，ACB9022C由 ，BA得 )169(25891622aa解得 4 当 时，点 B的坐标为（ ，0） ， ， ， 39625AB2C9402B于是 22CA 当 时，ABC 为直角三角形41a当 时，ABC9022B由 ，得 CA)169()8916(522aa解得 94a当 时， ，点 B（-3，0）与点 A重合，不合题意33当 时，BAC9022ACB由 ，得 )9816(591622aa解得 不合题意94a
13、综合 、 、 ，当 时，ABC 为直角三角形411.已知抛物线 yx 2mxm2. （1）若抛物线与 x轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB ，试求 m的值；5- 7 -（2）设 C为抛物线与 y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N，并且 MNC 的面积等于 27，试求 m的值.解: (1)（x 1，0）,B(x 2，0) . 则 x1 ，x 2是方程 x2mxm20 的两根.x 1 x2 m , x 1x2 =m 2 0 即 m2 ;又 ABx 1 x2 , 145（ +）m 24m3=0 . 解得：m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 . （2）M(a
14、，b)，则 N(a，b) .M、N 是抛物线上的两点, 2,.mba 得：2a 22m40 . a 2m2 .当 m2 时，才存在满足条件中的两点 M、N. .a这时 M、N 到 y轴的距离均为 , 2又点 C坐标为（0，2m）,而 SM N C = 27 ,2 （2m） =27 .1解得 m=7 . 12.已知：抛物线 与 x轴的一个交点为taxy 42 A（1，0） （1）求抛物线与 x轴的另一个交点 B的坐标；（2）D 是抛物线与 y轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB为 一底的梯形 ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到 x轴、y 轴的距离的比为 52
15、的点，如果 点 E在（2）中的抛物线上，且它与点 A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上 是否存在点 P，使APE 的周长最小?若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为 x2 抛物线与 x轴的一个交点为 A（1，0） ， 由抛物线的对称性，可得抛物线与 x轴的另一个交点 B的坐标为（3，0） （2） 抛物线 与 x轴的一个交点为 A（1， 0） ，tay 42NMCxyO- 8 - t3a 0)1(4)(2 a axy342 D（0，3a） 梯形 ABCD中，ABCD，且点 C在抛物线 上，2 C（4，3a） AB2，CD4 梯形 ABCD
16、的面积为 9， 9)(1ODAB93)4(21 a a1 所求抛物线的解析式为 或 342 xy2axy（3）设点 E坐标为（ ， ）.依题意， ， ，0x0 且 250xy0025y 设点 E在抛物线 上， 34 x 020 xy解方程组 得34,5020 xy； ， 1560yx ， 420 点 E与点 A在对称轴 x2 的同侧， 点 E坐标为（ ， ） 2145设在抛物线的对称轴 x2 上存在一点 P，使APE 的周长最小 AE 长为定值， 要使APE 的周长最小，只须 PAPE 最小 点 A关于对称轴 x2 的对称点是 B（3，0） ， 由几何知识可知，P 是直线 BE与对称轴 x2
17、的交点设过点 E、B 的直线的解析式为 ，nmy 解得.03,4521 nm.23,1n 直线 BE的解析式为 把 x2 代入上式，得 1 xy 21y 点 P坐标为（2， ） 2设点 E在抛物线 上， 34xy 34020xy- 9 -解方程组 消去 ，得 .34,2500xy 0y03x2 0 . 此方程无实数根综上，在抛物线的对称轴上存在点 P（2， ） ，使APE 的周长最小1解法二：（1） 抛物线 与 x轴的一个交点为 A（1，0） ，taxy 42 t3a 0)1()( axy342令 y0，即 解得 ， 32 x1 x32 抛物线与 x轴的另一个交点 B的坐标为（3，0） （2）
18、由 ，得 D（0，3a） ay42 梯形 ABCD中，ABCD，且点 C在抛物线上， xa32 C（4，3a） AB2，CD4 梯形 ABCD的面积为 9， 解得 OD39)(1 ODAB a13a 所求抛物线的解析式为 或 342 xy42 xy（3）同解法一得，P 是直线 BE与对称轴 x2 的交点 如图，过点 E作 EQx 轴于点 Q设对称轴与 x轴的交 点为 F由 PFEQ，可得 PFB 4521PF 21P 点 P坐标为（2， ） 21以下同解法一13.已知二次函数的图象如图所示（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M的坐标（2）若点 N为线段 BM上的一点，过点 N作 x轴的垂线，
19、垂足为点 Q当点 N在线段 BM上运动时（点 N不与点 B，点M重合） ，设 NQ的长为 l，四边形 NQAC的面积为 S，求 S与 t之间的函数关系式及自变量 t的取值范围； - 10 -（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将OAC 补成矩形，使OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个 顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要 计算过程） 解：（1）设抛物线的解析式 ，)2(1xay )2(1ay其顶点 M的坐标是 49，（2）设线段 BM所在的直线的解析式为
20、 ，点 N的坐标为 N（t，h） ，bkxy 解得 ， .21490bk， 23k 线段 BM所在的直线的解析式为 xy ，其中 32th21t ts)32(1124t s 与 t间的函数关系式是 ，自变量 t的取值范围是 43tS （3）存在符合条件的点 P，且坐标是 ， 1725， 452，P设点 P的坐标为 P ，则 )(nm， m， 22)1(A 5)(22ACC，分以下几种情况讨论：i）若PAC90，则 22P .5)1()(222nmn，解得： ， （舍去） 点 512 471，Pii）若PCA90，则 2ACP .5)()1(22nmn，- 11 -解得： （舍去） 点 0234
21、m， 4523， Piii）由图象观察得，当点 P在对称轴右侧时， ，所以边 AC的对角APC 不可能是直角AC（4）以点 O，点 A（或点 O，点 C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边 OA（或边 OC）的对边上，如图 a，此时未知顶点坐标是点 D（1，2） ，以点 A，点 C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC的对边上，如图 b，此时未知顶点坐标是 E，F 521， 84，图 a 图 b14.已知二次函数 的图象经过点（1，1） 求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与 x轴的交点的个2 axy数解：根据题意，得 a21. a1 这个二次函数解析式是 2xy因为这个二
22、次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，2） ，所以该函数图象与 x轴有两个交点15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 111000 的比例图上，跨度 AB5 cm，拱高 OC0.9 cm，线段 DE表示大桥拱内桥长，DEAB，如图（1） 在比例图上，以直线 AB为 x轴，抛物线的对称轴为 y轴，以 1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果 DE与 AB的距离 OM0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ，计算结果精确到 1米）4.12解：（1）由于顶点 C在 y轴上
23、，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为- 12 - 1092 axy因为点 A（ ，0） （或 B（ ，0） ）在抛物线上， 所以 ，得 525 109)25(0 a1258 a因此所求函数解析式为 )25(198xxy （2）因为点 D、E 的纵坐标为 ， 所以 ，得 0109824x所以点 D的坐标为（ ， ） ，点 E的坐标为（ ， ） 245 4所以 )( 因此卢浦大桥拱内实际桥长为 （米） 3852701.2516.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A、B 是 x轴正半轴上的两点，点 A在点 B的左侧，如图二次函数（a0）的图象经过点 A、B，与 y轴相交于点 Ccbxay
24、 2（1）a、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段 OC的长度是线段 OA、OB 长度的比例中项，试证a、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果 b4， ，求 a、c 的值34AB解:（1）a、c 同号 或当 a0 时，c0；当 a0 时，c0 （2）证明：设点 A的坐标为（ ，0） ，点 B的坐标为（ ，0） ，则 1x2x21x ， ， 1xO2BcOC据题意， 、 是方程 的两个根 )(abxa acx21由题意，得 ，即 2A 2c所以当线段 OC长是线段 OA、OB 长的比例中项时，a、c 互为倒数（3）当 时，由（2）知， ， a04b421 bx解法一：ABOBOA ，21
25、2)(x acacAB346)(42- 13 - ， 得 c2. 34AB342a1a解法二：由求根公式， ，ax 3466 ， ax321 a32 axOAB3212 ， ，得 c234 34a117.如图，直线 分别与 x轴、y 轴交于点 A、B，E 经过原点 O及 A、B 两点xy（1）C 是E 上一点，连结 BC交 OA于点 D，若CODCBO，求点 A、B、C 的坐标；（2）求经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长 BC到 P，使 DP2，连结 AP，试判断直线 PA与E 的位置关系，并说明理由解：（1）连结 EC交 x轴于点 N（如图） A、B 是直线 分别与 x轴、y 轴的交点 A（3，0） ，B 3y )3,0(又CODCBO CBOABC C 是 的中点 ECOA 2,231OBENO连结 OE C 点的坐标为（ ） 23ENC23,（2）设经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式为 xay C（ ） 23,)32(3a39 为所求xy89（3） ， BAO30，ABO503tanBAO- 14 -由（1）知OBDABD 30621ABOD ODOBtan301 DA2 ADCBDO60，PDAD2 ADP 是等边三角形 DAP60 BAPBAODAP306090即 PAAB即直线 PA是E 的切线
