1、1反三角函数知识点归纳y=arcsinx y=arccosx y=arctanx定义域 1，1 1，1 R值域 ,20， ,2单调性 增 减 增奇偶性或对称性arcsin（x）=arcsonx奇arccos（x）=arccosx非奇非偶arctan（x）=arctan（x）奇公式sin（ arcsinx）=x（1x1）arcsin（simx）=x（ ）2xcos（arccosx）=x（1x1）arcos（cosx）=x（0x） tan（arctanx）=x（xR ）arctan（tanx）=x（ ）2x图象例 4 求函数 的定义域与值域2()lgarcos84xfx解： 2arcos0.842
2、.解上述不等式，得 .x2的定义域为2()lgarcos84xfx(4,2).22 2111()()848x20arcosarcos.x所以函数 的值域为2()lgr84xf1(,lgarcos.8例 6 已知 求 的取值范围arcsinri(1).xx解：因为反正弦函数是增函数，由反三角函数的定义域可得不等式组解不等式组，得1,x1.2x例 7 计算： cos2artn63解：设 则 且t.t0.2742cos,sin.7则 2561,sin.7原式 123562cosi .331412关于 的方程 有两个不同的实数根，求函数t22517()084txtx的反函数。sinyx解： 22531
3、7(3)4084x3即， ，解得2680x24.x，,sin()si.y的反函数为sin(24)yxarcin,(si4,n2).x13设方程 的 2 个实根为 、 ，若 ， ，230x1x21arctx2arctx求 的值。解: 由 ，知1212,4xx12,0.x所以 0.因此 12tanttan() 3.1x0,.315已知 、 是 的 2 条直角边， 为斜边，且 求abRtABCc1arctnrsi.2b证： lgl.c解：由已知得 11arsinarcsin.2bsincioi.， ，即21ab21ab21.a是 得两条边， 为斜边,RtABCc，因此 ，22abc21ab.ablg
4、l.16求函数 的定义域，其中arcos()arcsin()yxx0.a4解：由题意 应满足 ，且 ，即x1xa1xa（ ）,0当 时，不等式组的解集为 ，所以此时函数的定义域为1a.当 时，不等式组的解集为 ，所以此时函数的定义域为00当 时，不等式组的解集为 ，所以此时函数的定义域为1,a1,.a17求证：当 时，,xarcos()arcos.xx解：由 ，0arcos得 ,0arcs().xxcs(ars)(oor()rc.xx18函数 在定义域内是否能为常数？并说明理由。1()arctnrtafxx解：由函数得表示式可知 ，所以 的定义域为()f(,1)(,).设 ， ，则有 ，arc
5、txarct1xtanxtax于是有 tnttn() 1.x（）当 时，(,1)x,.2424则有 ，根据 得3.（）当 时，(1,x,0,.25则有 ，根据 得34.4（）当 时，(1,),0.22则有 ，根据 得4.4综合可知， 在定义域内不是常数，而是定义域内的分段函数，即()fx3,(,1)14()arctnrta.,xxfx练习1填空 （1） （2 ）3arcsin_2arcsin1_（3） （4 ）iri_10 ro0（5） （6）arcos2tn(3)_2下列关系式中，正确的是（ ）A. B. arcsin32sin(arc2)C. D.13roarcsinrtrtan0333写
6、出下列函数的定义域（1） （2） （3）2arcsinyx2arcsin()yx2logarcs3xy4求函数 的反函数，并指出反函数的定义域和值域。o5画出函数 的图像。sin(arc)yx6下列关系式中正确的是（ ）6A. B. 2arcos3arctn2C. D. inri rsisiarcin447下列命题中，正确命题的个数是（ ）（1） 的反函数是arcsinyxsinyx（2） 的反函数是o,0arcos,1,x（3） 的反函数是tan,23yxtn,(,3)yA. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个8函数 的定义域是（ ）arcos(4)3yxA. B. C. D.
7、 7,52,73,2,59函数 的值域是（ ）1arctnarcsiyxA. B. C. D. (,),4(,)4,210设函数 的图像沿 轴正方向平移 2 个单位后所得的图像与图像 C 关于arctyx原点对称，那么图像 C 所对应的函数是（ ）A. B. arctn(2)yxarctn()yxC. D. 211使 成立的 的取值范围是（ ）arcsirosxxA. B. C. D. 2(0,(,1,)21,0)答案1 （1） （2 ） （3 ） （4） （5）3210332D73 （1） （2） （3）0,15,22,1)4 定义域为 值域为sinyx3,6D 7C 8C 9D 10C 11B
