解三角形全章总结.doc

1、【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 正弦定理和余弦定理应用举例2. 解三角形全章总结教学目的：1. 能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。2. 通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。二. 重点、难点：重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。知识分析：一. 正弦定理和余弦定理应用举例1. 解三角形应用题的基本思路（1）建模思想解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边角的大小，从

2、而得出实际问题的解。这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：（2）解三角形应用题的基本思路： 画 图 解 三 角 形 检 验 、 结 论实 际 问 题 数 学 问 题 （ 解 三 角 形 ） 数 学 问 题 的 解 实 际 问 题 的 解2. 解三角形应用题常见的几种情况：（1）实际问题经抽象概括，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然

3、后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解。（3）实际问题抽象概括后，涉及到的三角形只有一个，但由已知条件解三角形需选择使用正弦定理或余弦定理去求问题的解。注意：解三角形应用题中，由于具体问题中给出的数据通常均为有效近似值，故运算过程一般较为复杂，可以借助于计算器进行运算，当然还应注意达到算法简练、算式工整、计算准确等要求。如果将正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话，那么解三角形应用题的实质就是把已知量按方程的思想进行处理，解题时应根据已知量与未知量，合理选择一个比较容易解的方程，从而使解题过程简洁。3. 实际应用问题中有关的名称、术语在解决

4、与三角形有关的实际问题时，经常出现一些有关的名词、术语，如仰角、俯角、方位角、方向角、铅直平面等。（1）铅直平面是指与海平面垂直的平面。（2）仰角与俯角在同一铅直平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角（如图所示）。（3）方位角：从标准方向的北端起,顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角。方位角的取值范围为 0360。如：方位角是 60的图形如图。（4）方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）度。4. 解三角形应用题的一般步骤：解三角形在实际中应

5、用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确。其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出； （3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答。5. 熟悉三角形中有关公式解三角形主要应用正弦定理和余弦定理，有时也会用到周长公式和面积公式，比如：Pabc()为 三 角 形 的 周 长 ；Sh12表 示 边 上 的 高；SabCcBbcA1212sinsisin；cR4（可用正弦定理推得

6、）；Srab12()（r 为内切圆半径）。6. 常见问题及解决办法：（1）测量一个底部不能到达的建筑物的高度的步骤：关键点：怎样克服 B 点不能到达带来的测量不变？ C D B A m 方法一：（忽略测量仪器的高度）S1 在地面上任取 C、D 两点，连接 CD，AC ，AD；S2 测出ACD=、ADC= 的大小及在 C 点测点 A 的仰角 和 CD 的长 m；S3 在ACD 中，利用正弦定理求得sin()S4 在 RtABC 中，得 ABsi方法二：（忽略测量仪器的高度） A B C D m S1 在地面上取点 C、D，使 C、D 与 AB 在同一个平面内（这样可以保证 B、C、D 三点共线）

7、；S2 在 C、D 两点分别测得 A 点的仰角 、 及 CD 的长 m；S3 设 AB=x，则由xmtan得x1tan，即为 AB 的长。（2）测量底面上两个不能到达的地方之间的距离的步骤：A B M N m S1 在可到达之地取两点 M、N，连接 MN, MA, MB, NA, NB；S2 测出ANB=，BNM=，AMN=，AMB=，及 MN 的长 m；S3 在AMN 中，利用正弦定理求得：msinANi()在BMN 中，利用正弦定理求得：si()BnS4 在ABN 中，利用余弦定理求得：2ANABNcos二. 全章知识总结1. 知识网络2. 解三角形常见类型及解法在三角形的 6 个元素中要

8、知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法见下表：已 知 条 件 应 用 定 理 一 般 解 法 一 边 和 二 角 （ 如 a， B， C） 正 弦 定 理 由 A+BC 180， 求 角 A； 由 正 弦 定 理 求 出 b与 c。 Sa2sin在 有 解 时 只 有 一 解 两 边 和 夹 角 （ 如 a， b， C） 余 弦 定 理 由 余 弦 定 理 求 第 三 边 c； 由 正 弦 定 理 求 出 小 边 所对 的 角 ； 再 由 A+BC 180求 出 另 一 角 。 b1si在 有 解 时 只 有 一 解 三 边 （ a， b， c） 余 弦 定 理 由 余 弦 定 理 求

9、出 角 A、 B； 再 利 用 A+BC 180， 求 出 角 C Sa2sin在 有 解 时 只 有 一 解 。 两 边 和 其 中 一 边 的 对 角 （ 如 a， b， A） 正 弦 定 理 由 正 弦 定 理 求 出 角 B； 由 A+BC 180， 求 出角 C； 再 利 用 正 弦 定 理 求 出 c边 ， Sab2sin可 有 两 解 ， 一 解 或 无 解 。 3. 三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解，两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理。（1）利用正

10、弦定理讨论：若已知 a 、 b 、 A ，由正弦定理 siniabAB得sinibABa。若 ，无解；若 sinB1，一解；若 sinB1，两解。（2）利用余弦定理讨论：已知 a、b、A ，由余弦定理 22cosabA，这可以看作关于 c 的一元二次方程。若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解。4. 三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如：2sinaRA， 223cosabaC等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系。如：

11、sinAsinB AB ; sin（AB ） 0AB；sin2Asin2B AB 或 A+B 2等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如2sin,cos2abcaR等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。5. 解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决，其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等），然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中（目的是发现已知量与未知量之间的关系），最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答。解题时还要注意近似计算的要求。【典型例题】例 1. 在ABC 中，已知

12、3,2,45,abB求边 c。解析：解法 1（用正弦定理）aAbBsinisin34523又 baA， ， 或601当 A60时，C75cBsinsi27542当 A120时，C15cbsinsi1562解法二： acB22os34即 c2610解之，得2点评：此类问题求解需要注意解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法 2 较简单。例 2. 在ABC 中，若 B60，2bac ，试判断ABC 的形状。解析：解法一由正弦定理，得 2sinisinACB60，A+C120A120C，代入上式，得2601sini()si展开，整理得：321sincosCi()0309，C60，故 A60ABC 为正

13、三角形解法二由余弦定理，得 bacB22osB60，()csac22602整理，得 a，从而 abcABC 为正三角形点评：在边角混合条件下判断三角形形状时，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断。例 3. 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC ，AB5，AC9，BCA30，ADB45，求 BD 的长。解析：在ABC 中，AB5，AC9，BCA 30由正弦定理，得ABCsinsinsinBA93051AD/BC，BAD180ABC于是sinsiDC0同理，在ABD 中，AB5，sinBAD91ADB45解得BD92故 BD 的长为点评：求解三角形中的几何计算问题时，

14、要首先确定与未知量之间相关联的量，把所要求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。例 4. 如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a 上点 A 处有一个水声监测点，另两个监测点 B、C 分别在 A 的正东方 20km 处和 54km 处。某时刻，监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波，8s 后监测点 A，20s 后监测点 C 相继收到这一信号。在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是 1.5km/s。（1）设 A 到 P 的距离为 xkm，用 x 表示 B、C 到 P 的距离，并求 x 的值；（2）求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离。（结果精确到 0.0lkm）解析

15、：（1）依题意，PAPB1.5812kmPCPB 1.52030km因此 PBxkmPCxkm()()1218，在PAB 中，AB20kmcos () ABAxx22220135同理，PCx73由于 coscsB即325xx解得km17（2）作 PDa，垂足为 D，在 RtPDA 中PDAPABxkmcoscos.325312751故静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离约为 17.71km。点评：由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路。如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题，进行解答，之后再还原成实际问题，即实 际 问 题 解 三 角 形 问 题 三 角 形 问 题 的 解

16、 实 际 问 题 的 解抽 象 概 括 推 理 演 算 还 原 说 明 例 5. 为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在 A 处测得塔尖的仰角为 75.5，前进38.5m 后，到达 B 处测得塔尖的仰角为 80.0。试计算东方明珠塔的高度（精确到 lm）。解析：由于CAD75.5，CBD80.0，所以ACB4.5在ABC 中，由于ABCsinsiBCii38574CDBCsin80.05806.sin.i.()m故东方明珠塔的高度为 468m。点评：本例是计算高度的问题，由于塔高 CD 难以直接求解，因此放在直角三角形BCD 中求解，而 BC 长的求解利用正弦定理在ABC 中求解。例 6. 要

17、测量河对岸两地 A、B 之间的距离，在岸边选取相距 103米的 C、D 两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45（A、B、C、D 在同一平面内），求 A、B 两地的距离。解析：如图所示，在ACD 中CAD 180（120+30）30ACD103在BCD 中， B845760()由正弦定理得 602sinsin在ACB 中，由余弦定理，得AB2221037510375()(si)sico 411052coin) AB故 A、B 两地间的距离为 105米。点评：此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为简便。例 7. 某渔

18、轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45距离为 10n mile 的 C 处，并测得渔轮正沿方位角为 105的方向，以 9n mile/h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间。解析：设所需时间为 t h，则 AB21t ，CB 9t在ABC 中，根据余弦定理，则有ABCABcos22120可得，10819ttt整理得 3609102t53202tt， ()3或 1（舍去）舰艇须2h靠近渔轮此时 ABC221963，AB14，BC6由正弦定理：ABsinsin120siCA

19、B63214.8舰艇航行的方位角为 66.8。点评：熟悉各种术语对我们解应用题很有帮助。【模拟试题】一. 选择题（125 分60 分）1. 在ABC 中，若 sinA：sinB2：3，则边 b：a 等于（ ）A. 3：2 或 9：4 B. 2：3C. 9：4 D. 3：22. 在ABC 中， acb2，则角 C 为（ ）A. 60 B. 45 C. 120 D. 303. 在ABC 中， ()()()ab： ： ： ：456，则最大内角为（ ）A. 150 B. 135 C. 120 D. 904. 在ABC 中，已知 a4，b6，C120，则 sinA 的值是（ ）A. 5719B. 217

20、C. 38D. 23195. 在ABC 中，a2，A 30，C45，则ABC 的面积 S 的值是（ ）A. B. 31C. 23()D. 26. 在ABC 中，A：B ：C1：2：3，那么三边之比 a：b：c 等于（ ）A. 1：2：3 B. 3：2：1C. 1： 3：2 D. 2： 3：17. 在 200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为 30，60，则塔高为（ ）A. 403mB. 403mC. 203mD. 2038. ABC 中， abcabc2， ，则 sinA：sinB ：sinC（ ）A. 2：3：4 B. 3：4：5C. 4：5：8 D. 3：5：79. 如图，已知

21、B CDE90，且 ABCD3，BC4，DEEF2，则A、F 间的距离是（ ）A. 14 B. 63C. 82D. 1010. 要使斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（ ）A. 4B. C. 6D. 正弦值为13的锐角11. 钝角三角形三边长为 a、a+1、a+2，其最大角不超过 120，则 a 的取值范围是（ ）A. （0，3） B. )32，C. （2，3 D. )15，12. 海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 30的视角，则 B、C 间的距离是（ ）A. 103海里 B. 1063海里C.

22、 52海里 D. 5海里二. 填空题（4416 分）13. 在ABC 中，aCSABC321343， ，cos，则 b_。14. 在ABC 中，已知 ba4422()，则C_。15. 在ABC 中，A60，b1， SAB3，则aAsin_。16. 在ABC 中，B 60，C45，BC8，D 为 BC 上一点，且BDC32，则 AD 的长为 _。三. 解答题（74 分）17. （本小题满分 12 分）已知ABC 中，a8，b7，B60，求边 c 及 SABC 。18. （本小题满分 12 分）如图，已知梯形 ABCD 中，CD2， AC19，BAD60，求梯形的高。19. （12 分）（1）在A

23、BC 中，已知 a：b：c2：3：4，求A。（2）在ABC 中，三边为 a、b、c，且这个三角形的面积为abc224，求C。20. （12 分）（2004全国高考文科卷）已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别是 AB2，BC 6，CDDA 4，求四边形ABCD 的面积。21. （12 分）如图在海岸 A 处，发现北偏东 45方向，距 A 为 ()31nmile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75方向，距 A 为 2n mile 的 C 处的缉私船奉命以 0mile/h 的速度追截走私船，此时走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向

24、能最快追上走私船，并求出所需要的时间？22. （14 分）在四边形 ABCD 中，A、B 为定点，C、D 是动点，AB3，BC CD AD1，ABD 与BCD 的面积分别为 S 与 T。（1）求 ST2的取值范围。（2）当 取得最大值时，求BCD 的值。【试题答案】一. 选择题1. D 2. A 3. C 4. A 5. B 6. C 7. A8. D 9. D 10. A 11. B 12. D二. 填空题13. 12314. 45或 13515. 916. 4（3 ）三. 解答题17. 解：由余弦定理，得 bac2260os49682c即 2150，解之，得 c3 或 c5当 c3 时，S

25、aBABC26sin当 c5 时，cAB103i18. 在ACD 中CDCD2212os150AD3（AD5 舍去）hAsin63219. 解：由已知条件，容易看出，该题可用余弦定理求解（1）a：b：c 2：3：4设 kck0， ， ()由余弦定理有cosAbac229164278kA28.96（2）三角形 ABC 的面积12abCsinbc224sinCabc2由余弦定理有osa22sinccosC0，tanC10C180，C4520. 解：如图连结 BD，则四边形 ABCD 的面积SABDBCABDC1212sinsin4sini又在圆内接四边形中 A+C180sinAsinCcoS16s

26、inA在ADB 中，由余弦定理BDA2242016coscos在CDB 中，由余弦定理C58s016548coAs20A180 ，A120sini103S68i21. 解：设缉私船追上走私船所需时间为 t h，则有 CDtBt10310，在ABC 中ABCBA312457120， ，根据余弦定理可得()()cos362 根据正弦定理可得sinsinABC12062ABC45易知 CB 方向与正北方向垂直，从而CBD90+30120在BCD 中，根据正弦定理可得sinsintanBCDB10231BCD30，BDC306则有101024517tth， min所以缉私船沿北偏东 60方向，需 14

27、.7min 才能追上走私船。22. 解：（1）如图所示，设 BD2x则32321xx，在CDB 中，过 C 作 CEBD 交 BD 于 ECDCB1DEBExCE22从而TBDxx2241()()又SA221(sin)(i)(cos)34122A341422()x1442STxx242378()当x24时， ST2取得最大值为13124782ST即 2的取值范围是(34，（2）当ST278时，xBD23，此时BCD120【励志故事】大海里的船在大海上航行的船没有不带伤的。英国劳埃德保险公司曾从拍卖市场买下一艘船，这艘船 1894 年下水，在大西洋上曾 138 次遭遇冰山，116 次触礁，13

28、次起火，207 次被风暴扭断桅杆，然而它从没有沉没过。劳埃德保险公司基于它不可思议的经历及在保费方面给带来的可观收益，最后决定把它从荷兰买回来捐给国家。现在这艘船就停泊在英国萨伦港的国家船舶博物馆里。不过，使这艘船名扬天下的却是一名来此观光的律师。当时，他刚打输了一场官司，委托人也于不久前自杀了。尽管这不是他的第一次失败辩护，也不是他遇到的第一例自杀事件，然而，每当遇到这样的事情，他总有一种负罪感。他不知该怎样安慰这些在生意场上遭受了不幸的人。当他在萨伦船舶博物馆看到这艘船时，忽然有一种想法，为什么不让他们来参观参观这艘船呢？于是，他就把这艘船的历史抄下来和这艘船的照片一起挂在他的律师事务所里，每当商界的委托人请他辩护，无论输赢，他都建议他们去看看这艘船。它使我们知道：在大海上航行的船没有不带伤的。温馨提示：虽然屡遭挫折，却能够坚强地百折不挠地挺住，这就是成功的秘密。