1、4-2逆函数和复合函数,f：A到B 的函数,f ：A 到B 的关系,f c：B 到A 的关系,f c：B 到A 的函数,例：A=a,b,c,B=1,2,3,f=,f c =, f c不是函数,定理1 设f：X Y 是一双射函数，那么f c 是Y X的双射函数。,分析 ：,证明见书P152,(1)证明f c 是函数 (2)证明f c 是双射,定义1 设f：X Y 是一双射函数，称 YX 的双射函 数f c为f 的逆函数，记作f -1 。,注意：当且仅当f 是双射函数时逆函数才有意义。,定义2 设函数f:XY,g:WZ,若 f(X)W 则g o f = | xXzZ(y)(yY y = f(x)z
2、 =g(y)称g在函数f 的左边可复合。,定理2 两个函数的复合是一个函数。,分析 ：,g o f：X Z (1)证明每一个x有z与之对应。 (2)证明每一个x有唯一的z与之对应。,证明见书P153,注意写法与关系的复合不同。,假如没有f(X)W则g o f为空,说明： 在定义2中，当WY时，则函数f:XY,g:YZ g o f = | xXzZ(y)(yY y = f(x) z =g(y)称为复合函数或g对f的左复合。,根据复合函数的定义有： gof (x) g (f (x),例: 设集合A=1,2,3,A上的两个函数:f=, g=,，求函数复合：,fog gof= fof= fofof=,
3、例: 设g：0,1,2 N，定义为g(x)= x+1, f:N N，定义为f(x)= 3x+2，则：,fog (x) f(g (x) 3g(x)23(x+1)+23x5,定理3：令gof是一个复合函数，则 (1)若g 和f 是满射的,则 gof 是满射的；(2)若g 和f 是入射的,则 gof 是入射的；(3)若g 和f 是双射的,则 gof 是双射的。,分析 ：,f：X Y g ：Y Z,证明见书P153,gof ：X Z,(1)证明每一个z有x与之对应。 (2)证明不同的x有不同的z与之对应。 (3)由(1) (2)可得。,每一部分的逆都不真,例： 设R为实数集合,对xR有f(x)x2，g
4、(x)x1，h(x)3x。求gof、hog、ho(gof)与(hog)of。,定理4*：令gof是复合函数，则 (1)若gof 是满射的,则g是满射的； (2)若gof 是入射的,则f是入射的； (3)若gof 是双射的,则g是满射的，f是入射的。,gof hog ho(gof) (hog)of ,|xR,|xR,|xR,|xR,定义3 函数f:XY叫做常函数，如果存在某个y0Y，对于每个xX都有f(x)= y0，即f(X)=y0。,定义4 如果IX|xX则称IX：XX为恒等函数。,函数的复合是可结合的,定理5: 设函数f:XY，则ffoIXIYof。,定理6: 设函数f:XY有逆函数f1:YX，则f1ofIX 且 fof1IY,分析,f1of 和 IX都是函数，只要证明它们： (1)域相同； (2)对应规则相同。,证明见书P154,例： 令f:0,1,2a,b,c，其定义如下图所示：,f,f1,f1of,fof1,定理7 若f:XY是一一对应的函数（双射函数），则 （f1）1 f。,定理8 若f:XY，g:YZ均为双射函数，则(gof)1 f1 o g1,证明见书P155,证明见书P155,作业P156(3),
