1、一、全概率公式 在概率论中常常会遇到一些较复杂的事件。这就提出如下问题：复杂事件A的概率如何求？,1.6 全概率公式与Bayes公式,定义,设 为试验S的样本空间，B1,Bn为S的一组事件。若,（1）,B1,Bn互不相容，i=1,n,（2）,则称B1,Bn为完备事件组。,定理6.1,上式称为全概率公式 .,设 为试验S的样本空间， A 为S的事件，B1,Bn为完备事件组，且P(Bi)0, i=1, n, 则,注: 由全概率公式也可以证明抽签问题,见书p21例6.1.,例 6 有三个箱子，分别编号为1, 2, 3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中
2、任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.,解：记 A =取得红球,且 AB1、AB2、AB3 两两互斥,P(A)=P( AB1)+P(AB2)+P(AB3),运用加法公式得,1,2,3,Bi=球取自i 号箱,i=1, 2, 3;,对求和中的每一项 运用乘法公式得,代入数据计算得：P(A)=8/15,P(A)=P( AB1)+P(AB2)+P(AB3),分析 某一事件A的发生有各种可能的原因 （或途径，或前提条件），i=1, 2, n。如果A是由原因Bi 所引起，则A发生的概率是,每一原因都可能导致A发生，故A发生 的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.,P(BiA)=P(Bi
3、)P(A|Bi),由此可以形象地把全概率公式看成为 “由原因推结果”，每个原因对结果的发生 有一定的“作用”，即结果发生的可能性与 各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式 表达了它们之间的关系 .,诸Bi是原因 A是结果,全概率公式的应用,我们把事件 A 看作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,则我们可用全概率公式计算结果发生的概率,返回主目录,例 7 发报机发出“.”的概率为0.6，发出 “”的概率为0.40；收报机将“.”收为“.”的概率为0.99，将“”收为“.”的概率为0.02。求收报机将任一信号收为“.”的概率 .,解: 设
4、 A=收报机将任一信号收为“.”,实际中还有下面一类问题，“已知结果求原因”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，即已知结果发生的条件下，求某原因发生可能性的大小.,例 8 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,二. 贝叶斯公式,记 Bi=球取自i号箱, i=1,2,3; A =取得红球,求P(B1|A),运用全概率公式 计算P(A),将这里得到的公式一般化，就得到,定理6.2,设 为试验S的样本空间， A为S的事件，B1,Bn为完备事件组，且P(Bi)0, i=1, n, P(A)0，则有,上式称为贝叶斯公式 .,Bayes公式的应用,我们把事件A看
5、作某一过程的结果，,根据历史资料，每一原因发生的概率已知，,而且每一原因对结果的影响程度已知，,如果已知事件A已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式,返回主目录,把 看作该过程的若干个原因,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 A）发生的最可能原因.,一个应用是疾病普查问题见书p25例6.4.,例 9,某厂产品96%是（真）合格品。有一验收方法，把（真）合格品判为“合格品”的概率为0.98，把非合格品判为“合格品”的概率为0.05。求此验收方法判为“合格品”的一产品为（真）合格品的概率,解: 设 A=一产品经验收判为合格品,1. 事件的频率
6、（frequency）,设A为试验S的事件，在相同的条件下把试验S独立的重复进行N次，我们称,是N次独立重复试验中，事件A发生的频率,1.7 概率与频率,直观想法是用频率来近似事件 A 在一次试验中发生的可能性的大小，但是这种近似是否可行呢？,掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中频率P*的波动情况。（横轴为对数尺度）,2. 频率的稳定性,长期实践表明，在重复试验中，事件A发生的 频率 fn(A)总在一个常数值附近摆动，而且，随 着重复试验次数 n 的增加，频率的摆动幅度越 来越小. 观测到的大偏差越来越稀少 ，呈现出 一定的稳定性.,3概率的频率定义,在一组不变的条件下，重复作 n 次试
7、验，当试验次数 n 很大时，事件A发生的频率 fn(A) 稳定地在某数值 p 附近摆动。称数值 p 为事件 A 在这一组不变的条件下发生的概率，记作fn (A)=p,4频率定义概率的意义,（1）它提供了一种可广泛应用的，近似计算事件概率的方法。,（2）它提供了一种检验理论正确与否的准则。,Yes. It is considerably important! 相当重要!,Is Chapter one important? 第一章很重要吗?,（第一章到此结束）,希望同学们认真总结复习第一章的内容.,1、袋中有4个红球和一个白球。每次随机地任取 一球不放回，共取5次。求下列事件的概率： A：前三次取
8、到白球 B：第三次取到白球。,解：,习题一,2、将10个球随机地放入12个盒中，每个盒容纳球的个 数不限，求下列事件的概率： （1）“没有球的盒的数目恰好是2”=A； （2）“没有球的盒的数目恰好是10”=B。,解：,3、 袋中有2n-1个白球，2n个黑球。今随机地不放回地从袋中任取n个球，求下列事件的概率： 1）n个球中恰有一个球与其 n -1个球颜色不同=A； 2） n个球中至少有一个黑球=B； 3） n个球中至少有2个黑球=C。,解：,4、设事件A, B满足,求P(B)。,，且知,解：,5、设随机事件A, B及其和事件AB的概率分别为0.4,0.3和0.6，求,解：,7、在空战中，甲机先
9、向乙机开火，击落乙机的概率是0.2，若乙机未被击落，就进行回击，击落甲机的概率是0.3。若甲机未被击落，则再次进攻乙机，击落乙机的概率是0.4。求这几个回合中，甲机被击落的概率及乙机被击落的概率,解：,设A表示甲机第一次击落乙机，B表示乙机击落甲机，C表示甲机第二次击落乙机，D表示甲机被击落，E表示乙机被击落。,8一批产品有10个，其中4个是次品，今随机地 不放回地抽取2次，每次任取2个产品， 求第二次任取的二个产品都是次品的概率。,解：,设A表示第二次任取的二个产品都是次品,Ai 表示第一次任取的二个产品中次品的个数为i件,i=0，1，2,由全概率公式得,9袋中有2个白球和8个黑球。今有甲、
10、乙、丙三 人按此顺序和下述规则每人从袋中随机地取出一个 球。规则如下：每人取出球后不放回，再放入一个 与所取的球的颜色相反的球（即取出白球放入黑球； 取出黑球放入白球）。求丙取到白球的概率。,解：,设A表示丙取到白球,B表示乙取到白球,C表示甲取到白球,由全概率公式得,10、设一大炮对某目标进行n次独立轰击的命中率都为p，若目标被击中k次，则目标被摧毁的概率为,求轰击n次后目标被摧毁的概率,解：,设A表示轰击n次后目标被摧毁,Bk 表示轰击n次后目标被命中了k次, k=0,1,n,由全概率公式得,11、设有一批产品，共100件，其中4件废品，96件正 品，任取三件测试，若有一件测试不合格就拒绝接受。 又设次品在检查时测试为合格品的概率为0.05，而正品 被误测为不合格的概率是0.01。 求该批产品被接受的概率。,解：,设A表示该批产品被接受。,Bk 表示抽取的三件产品中有k件废品, k=0,1,2，3,由全概率公式得,作业： 1.19，1.24，1.25，1.28,
