1、计算机中的集合,第一节 集合的基本概念1.1 个体与集合之间的关系1.2 集合的表示法1.3 集合与集合之间的关系1.4 幂集 第二节 集合的基本运算2.1 集合的补运算2.2 集合的交运算和并运算2.3 集合的宏运算,1.1 个体与集合之间的关系什么是集合，关于集合的各种不同说法如下。 1.莫斯科大学的那汤松教授说：凡具有某种特殊性质的对象的汇集称之为集。 2.复旦大学的陈建功教授说：凡可供吾人思维的，不论它有形或无形，都叫做物。具有某种条件的物，称它们的全部谓之一集。 3.南开大学的杨宗磐教授说：集就是“乌合之众”。不考虑怎样“乌合”起来的，众可以具体，可以抽象。 4. 集合论之父 G.C
2、antor（1845-1918）说：集是由总括某些个体成一个整体而成的。对于每个个体，只设其为可思考对象，辨别它的异同。个体之间并不需要有任何关系。,综上所述集合的概念有三要素1. 个体（元素）2. 个体的可辨认性3. 集合（动词） 通常用小写拉丁字母表示集合中的个体：a、b、c、d 通常用大写拉丁字母表示集合的名称：A、B、C、D 个体与集合之间的关系称为属于关系。 对于某个个体a和某个集合A而言，a只有两种可能1）a 属于A，记为 aA，称a是A中的元素。2）a 不属于A，记为 aA ，称a不是A中的元素。 判断个体 a 属于A还是不属于A，必须使用个体的可辨认性，而且个体的可辨认性是无二
3、义性的，即或者 a 属于 A或者 a 不属于A，二者居其一且只居其一。 关于个体的辨认有赖于各方面的公认的知识。,集合（名词）,1.2 集合的表示法,文字表示法用文字表示集合的元素，两端加上花括号。 在座的同学 高等数学中的积分公式 元素列举法将集合中的元素逐一列出，两端加上花括号。 1，2，3，4，5 风，马，牛 2，4，6，8，10， 谓词表示法 xp(x) p 表示 x 所满足的性质。 xx2 = 1 yy 是开区间 (a,b) 上的连续函数 使 x2 = 1 的实数 1，-1 xx2 = 1 ,集合的特殊情况,不含任何元素的集合称为空集，记为 或 。只含一个元素的集合称为单元素集，记为
4、 a 。含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为X。,常用集合的字母表示： 自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集 分别用大写字母N、Z、Q、R、C表示 有时还用Q表示正有理数集，用R表示负实数集，等等,1.3 集合与集合之间的关系,定义1 设A，B是两个集合1）若对于A中的每个元素x，都有x属于B，则称A包含在B中，记为AB。同时称A是B的子集。2）若A中的每个元素都属于B，且B中的每个元素都属于A，则称A等于B，记为A=B。子集的两种特殊情况（平凡子集）：1）空集是任一集合的子集。2）每个集合是它自己的子集。 集合与集合之间的关系称为包含关系。,真子集：对于两个集合A与B，如果A B
5、，并且A B，就说集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A）空集是任何非空集合的真子集,全集：如果集体S含有所要研究各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用表示I表示,补集：一般地，设S中一个集合，A是S的一个子集（即A S），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作 A 即 Axx S，且x A,1.4 幂集,定义2 设A是集合，A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记为 2A。2A = x x A 定理1 设集合A是有限集合， A = n，则 2A = 2 A 。定理2 设 A,B 是两个集合。那么 A=B 当且仅当 2A = 2B。,第
6、二节 集合的基本运算,2.1 集合的补运算（一元运算）定义1 设X是集合，A是X的子集。A= x xX xA 称A是A关于X的补集，称 为补运算。定理1 设X是集合，A，B是X的子集。则1）(A) =A；2）若A B，则B A；3）若A = B，则A= B ；4）X= ，=X。,2.2 集合的交运算和并运算,定义2 设A，B是两个集合1）AB = xxAxB ，称AB为A与B的交集，称为集合交运算。2）AB = xxAxB ，称AB为A与B的并集，称为集合并运算。,定理2 设X是全集，A，B，C是X的三个子集合，则1）AA=A， AA=A2）AA = ， AA =X3）AX=A， AX=X4）
7、A = ， A =A5）AB= BA， AB= BA6）(AB) C = A (BC), (AB) C = A (BC) 7）A(B C) = (AB) (AC) A(B C) = (AB) (AC),定理3 设A，B，C为三个集合，则1）A AB， AB A；2）若 A C 且 B C，则 AB C；3）若 C A 且 C B，则 C AB 。定理4 设A，B为两个集合，则下面三式等价。1）A B 2）AB = B 3) AB=A 定理5 设A，B为两个集合，则1）( AB) = AB2）( AB) = AB,2.3 集合的宏运算,定义3 设A,B是两个集合，AB = xxAxB ，称 AB
8、 为 A 和 B 的差集，称 为集合差运算。由差运算、交运算、补运算的定义知 AB = AB。由于差运算可以由并、交、补运算线性表出，因此称差运算为宏运算。,定理6 设X是全集，A,B,C是X的三个子集合，则1) AB A ；2) AA = ；3) XA = A ；AX = ；4) A = A ； A = ；5) A(BC)= (AB) ( AC) ；6) A(BC)=(AB)(AC)7) (AB)C=A(BC) ；8) A(BC) = (AB) (AC) ；9) A(BC) = (AB)(AC) 。,例：如图，I为全集，集合M，N满足：M N ，那么图中红色阴影部分用集合表示，可表示为：,例：如果集合M满足M 7，13，20，且M中至多含有一个奇数，那么符合上述条件的集合M共有_个,6个,分析：集合M满足两个条件：是集合7，13，20的真子集；其中至多含有一个奇数，即M的元素中或者没有奇数或者仅有一个奇数还要注意空集 是符合条件的由上得M可能是 ， 20 ， 7 ， 13 ， 7，20 ， 13，20 ,再见,
