1、单自由度线性系统的强迫振动,第二章,单自由度线性系统的强迫振动,教学内容,2.1 谐波激励下的强迫振动2.2 周期激励下的强迫振动2.3 非周期激励下的强迫振动,2.1 谐波激励的下强迫振动,单自由度线性系统的强迫振动,本章主要讨论单自由度系统在有持续激励时的振动，这 类振动称为强迫振动。激励按来源可分为两类，一类是力激励，它可以是直接 作用于机械运动部件上的力，也可以是旋转机械或往复 运动机械中不平衡量引起的惯性力，另一类是由于支承 运动而导致的位移激励、速度激励以及加速度激励。,按时间变化的规律，激励可分为：谐波激励、周期激励 和任意激励。,谐波响应的三角函数描述,单自由度振动系统如图所示
2、：,其中,外力幅值,外力的激励频率,振动微分方程：,单自由度线性系统强迫振动,受力分析：,为谐波激励力,单自由度线性系统的强迫振动,将上式两端同除以质量 ：,振动微分方程：,令：,得：,单自由度线性系统的强迫振动,设其解为：,振动微分方程：,代入原方程，可得：,分析上式可得出如下的结论：单自由度线性系统在谐波激励下的响应仍然是谐波。响应频率等于激励频率。振幅X与激励的幅值A成比例。,单自由度线性系统的强迫振动,为放大系数，表明动态振幅较静态位移放大的倍数。 相位差 表示响应滞后于激励的相位角。,单自由度线性系统的强迫振动,自学：谐波激励与响应的复向量表示法,谐波响应的复向量描述：,提示：1.,
3、简记为：,2. 与上节不同，本节的X为复数。,单自由度线性系统的强迫振动,描述了响应振幅与激励频率之间的函数关系，称之为幅频特性。,幅频特性,下图为不同阻尼率时的幅频特性曲线，图中横坐标为 ，即频率比：,单自由度线性系统的强迫振动,从幅频特性曲线可以看到: 当 时， , 说明激振频率相对于系统固有频率很低时，响应的振幅与静位移大小相当。,单自由度线性系统的强迫振动,（2）当 时， , 且 时， 说明高频响应的振幅很小。,单自由度线性系统的强迫振动,（3）当 和 时,单自由度线性系统的强迫振动,对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著,（4）当 时， 出现峰值。阻尼率较大时， 的峰值较
4、小，反之则较大。,单自由度线性系统的强迫振动,单自由度线性系统的强迫振动,(5) 的最大值并不出现在 处 , 而是稍微偏左。通过求极值可知，当：,有极值：,此时称为共振，且有：,当 系统不会发生共振，且动态位移比静态位移小。,（6）当 时，有：,单自由度线性系统的强迫振动,即振幅趋于无穷大。,此时振动方程的解为：,单自由度线性系统的强迫振动,在共振时的幅频特性也称为品质因子 以符号Q表示 :,幅频特性：,在曲线的两侧，取与 对应的两个点： 设 是分别对应 点 的激振频率 带宽：,（7）带宽与品质因子,单自由度线性系统的强迫振动,当 较小时，略去 及更高级小量，,求解上式，可得：,称为半功率点，
5、利用下式求取,工程实际中，实验测得幅频特性后， 利用上式可得阻尼率。,单自由度线性系统的强迫振动,描述了振动位移、激励间的相位差与激励频率之间的函数关系，称之为相频特性。,相频特性,下图为不同阻尼率时的相频特性曲线，图中横坐标为 ，即频率比：,相位差,单自由度线性系统的强迫振动,从相频特性曲线可以看到:（1）当 时， ,即位移与激振力在相位上几乎相同。,单自由度线性系统的强迫振动,从相频特性曲线可以看到:（2）当 时， ,即位移与激振力在相位上几乎相反。,单自由度线性系统的强迫振动,从相频特性曲线可以看到:（3）相位差随着频率比的增大而逐渐增大。阻尼对相 位差的影响表现为:当频率比1时，相位差
6、随阻尼率的增大而减小。但当 时总有 ，这时相位差与阻尼率值的大小无关。工程中常将 当做判断共振的依据。,单自由度线性系统的强迫振动,从相频特性曲线可以看到:（4）当阻尼率很小时，若频率比1，则相位差接近180度。在 前后相位差突然出现180度的变化称为倒相现象。,单自由度线性系统的强迫振动,单自由度线性系统的强迫振动,上节已得其解为：,振动系统的全部响应,其中：,振动微分方程：,该解不是振动方程的全部解，只是其一个特解，叫稳态解。,振动微分方程：,该方程显含时间 t，为非齐次二阶常微分方程。,非齐次微分方程通解,齐次微分方程通解,非齐次微分方程特解,有阻尼自由振动 逐渐衰减 瞬态解 瞬态响应,
7、持续等幅振动 稳态解 稳态响应,单自由度线性系统的强迫振动,单自由度线性系统的强迫振动,系统的全解为：,有阻尼自由振动的解 瞬态解 瞬态响应 逐渐衰减,稳态振动的解 稳态解 稳态响应 持续等幅振动,由于阻尼的影响，因而上式右端的瞬态响应会逐渐衰减，进而消失，最终系统为稳态响应,单自由度线性系统的强迫振动,系统的瞬态响应：,系统的稳态响应：,经过充分长时间后，瞬态响应消失，只剩稳态强迫振动 。,系统的全响应：,单自由度线性系统的强迫振动,例：单自由度无阻尼系统，从t=0开始受到激励 初始条件为 ，求系统的响应。,例：单自由度无阻尼系统，从t=0开始受到激励 初始条件为 ，求系统的响应。,解：单自
8、由度系统的运动微分方程为：,其解为,其中,单自由度线性系统的强迫振动,由初始条件得：,即,则系统的强迫振动为：,在有激励时，即使初始条件为0，系统也可能有自由振动。,思考：求 和 能否由P33式（1.4.13）计算？,单自由度线性系统的强迫振动,教学内容,2.1 谐波激励下的强迫振动2.2 周期激励下的强迫振动2.3 非周期激励下的强迫振动,单自由度线性系统的强迫振动,2.2 周期激励下的强迫振动,前面各节讨论的强迫振动中，都假设了系统受到的激励为简谐激励，但实际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励。,若激励 有,则 为周期激励， T为周期。,单自由度线性系统的强迫振动,叠加原理,线
9、性系统满足叠加原理。,若,线性系统,则,单自由度线性系统的强迫振动,Fourier变换,周期函数 可展开成Fourier级数，即可分解为无穷个谐波函数之和。,其中,频率 成为基频，T为 的周期。,单自由度线性系统的强迫振动,Fourier分析法（谐波分析法）,先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频 率的简谐激励，然后求出系统对各个频率的简谐激励的响 应，再根据线性系统的叠加原理，将各个响应逐一叠加， 即得到系统对周期激励的响应。这种对系统响应的分析方法被称为谐波分析法。,单自由度线性系统的强迫振动,假设系统受到的周期激振力为：其中T为周期，记 通过谐波分析， 可写为:,系统的运动微分方
10、程为:,系统的稳态响应为:,单自由度线性系统的强迫振动,当阻尼不计时，稳态响应为：,其中,单自由度线性系统的强迫振动,系统在周期激励下的响应特点：,（1）线性系统在周期激励下的响应仍为周期函数，且响应周期与激励周期相等。,（2）线性系统在周期激励下的响应波形发生畸变。,（3）无阻尼系统，有：,当 ，有,当基频是自然频率的整数分之一时就可能发生共振。,单自由度线性系统的强迫振动,例：质量-弹簧系统受到周 期方波激励 周期,求：系统的稳态响应，画出响应的频谱图,是系统的固有频率,单自由度线性系统的强迫振动,解：,周期方波激励的基频：,周期方波可以分解为：,前两项积分项均为奇函数，因而积分均为零，,
11、单自由度线性系统的强迫振动,单自由度线性系统的强迫振动,当 n 取偶数时：,对于,当 n 取奇数时：,单自由度线性系统的强迫振动,系统运动方程：,把所有特解叠加起来，就得到系统在周期激振力作 用下的稳态响应：,记：,可画出响应的频谱图。,单自由度线性系统的强迫振动,从图中看到，系统只对激励所包含的谐波分量有响应，对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。,单自由度线性系统的强迫振动,教学内容,2.1 谐波激励下的强迫振动2.2 周期激励下的强迫振动2.3 非周期激励下的强迫振动,2.3 非周期激励的响应,- 单位脉冲函数,- 单位脉冲力可
12、利用狄拉克（Dirac）分布函数(t) 表示 。,- 函数也称为单位脉冲函数，定义为：,且,的图象用位于时刻、长度为 1 的有向线段表示。,单自由度线性系统的强迫振动,函数：,可以看作矩形脉冲、脉冲面积为 1 而脉冲宽度趋于零时的极限,即：,=,其中：,也可以定义为其它形状的面积为 1 的脉冲,量纲：1/秒,单自由度线性系统的强迫振动, 函数的性质:,特别地，当时刻 a = 0 时，有 ：,当 P0 =1 时，为单位脉冲力,单自由度线性系统的强迫振动,因而有：,单自由度线性系统的强迫振动,处于零初始条件的系统对单位脉冲力的响应，称为单 位脉冲响应，或简称脉冲响应。 记 分别为单位脉冲力作用瞬间
13、的前后时刻，系 统的运动微分方程与初始条件可合写为：,单位脉冲响应函数,单自由度线性系统的强迫振动,将上式两边在区间 对时间积分，即,由动量定理有：,得到：,于是：,单自由度线性系统的强迫振动,可见在单位脉冲力的作用下。系统的速度发生了突变，但 在这一瞬间位移则来不及有改变。所以 时，有,可见，系统的脉冲响应即为初始位移为零，而初速度为 的自由振动，可得振动表达式：,如果脉冲力作用于 ，那么响应为：,单自由度线性系统的强迫振动,当处于零初始条件的系统受到任意激振F(t)力作用时，可以将激振力看作是一系列脉冲力的叠加。对于在时刻 的脉冲力，其冲量为 ，系统的脉冲响应为,由线性系统的叠加原理，系统
14、对任意激振力的响应等于系 统在 内各个脉冲响应的总和，即,脉冲响应函数法,单自由度线性系统的强迫振动,此种求响应的方法叫脉冲影响函数法。脉冲影响函数法是将任意激励F(t)分解为一系列的脉冲激励，再将各脉冲响应叠加而得到总的响应。,单自由度线性系统的强迫振动,如果初始条件不为0，即在t=0时系统有初始位移 及初始速度 ，则系统对任意激励的响应为：,受到矩形脉冲力作用,单自由度线性系统的强迫振动,例1：无阻尼弹簧质量系统,求：系统响应,单自由度线性系统的强迫振动,解：,时,（2） tt1时当 tt1 时激振力已经去除，此时系统将以时刻t=t1 时的位移及速度作为初始条件作自由振动。tt1的响应可以求解如下：初始条件为,单自由度线性系统的强迫振动,单自由度线性系统的强迫振动,时的响应为：,提醒：时间原点在t1,单自由度线性系统的强迫振动,所以系统的响应为:,单自由度线性系统的强迫振动,本章勘误,1. P42 振幅X与激励的幅值A，幅值应为静位移。,2. P45倒数第一行 无阻尼自然频率 ，应为,3. P56 式（2.2.2），应为,4. P67 式（2.4.4），应为,5. P68 式（2.4.5），X(t)，应为,本章结束 谢谢,
