1、1,第2章 多自由度系统的振动,2,多自由度系统定义,自由度数超过 1 但仍有限的力学系统。 二自由度系统是多自由度系统的最简单情况。,实际中的系统常常很难用单自由度运动来概括，多自由度的情况很多。如飞机在空中的刚体振动就有六个自由度，无法简化。舰船在海中受到波浪激励的响应要包括横摇、纵摇、偏摇、垂荡、纵荡、横荡等多个分量。因此进行多自由度的系统振动分析十分重要。,3,多自由度系统，其运动需要多个独立坐标描述。,如图是一汽车的简化模型，车轮及悬架简化成刚度为 k1 和 k2 的两个弹簧，车体简化成为刚性杆。车体相对于随体坐标系的振动有沿 u 方向的上下运动，也有沿 方向的俯仰运动，一般这两种运
2、动同时发生。这样，系统的运动就要用两个独立坐标 u 和 来描述，这就是一个二自由度系统。若考虑车体左右不等幅颠簸，就变为三自由度系统。,平面内刚性杆的运动描述需两个自由度,4,无限自由度简化为多自由度,简化为带有集中质量的弹性梁,5,2.1 多自由度系统的振动方程,变量耦合的运动方程组,考察图示的二自由度系统:,6,矩阵描述：质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵；位移向量，激励力向量。,7,基本特征,a. 描述系统特性的 M、K 和 C 不再是三个常数，而是三个常数矩阵; （现象） b. 系统中各自由度的运动是相互关联的，这反映在方程中矩阵 M 、K 和 C 的非对角元素不为零。这种系统运动的相互关联
3、称作耦合。这样的动力学方程组求解比较困难。（本质）,由简至繁：先研究无阻尼系统振动。 （固有振动自由振动受迫振动）,8,2.2 建立系统微分方程的方法（建模）,单自由度系统是和容易通过牛顿定律和达朗贝尔原理建立动力学方程的。但对于自由度数较多的情况，建立正确的微分方程本身就是一件困难的事。需要找到一种规范化、程式化的建模方法。,结构力学刚度法、柔度法 分析力学拉格朗日法,9,刚度法和柔度法,同一种方法的两个视角（影响系数）,刚度法（单位位移法）,考虑系统的弹性静力学性质。在系统各自由度上作用静力，使系统由静平衡位置产生静位移 而 。记这组特殊的静力为 ，其中 是在第 i个自由度上施加的静力。命
4、 ，则共有N 组这样的静力 ，我们称其为系统的刚度（影响）系数。,由于系统是线性的，当第 j 个自由度有静位移 、而其余自由度无位移时，系统诸自由度上应施加一组静力 。一般地，若系统各自由度分别有静位移 ，根据线性系统的可叠加性质知，在系统上施加的静力应为 ：,10,如设 N = 3，则有,如设 , 则有,注意,（材料力学）,11,对于动力学问题，还要考虑系统的惯性和阻尼。 在有限大外力作用的瞬间，系统只产生加速度而来不及产生位移和速度。因此，可定义系统的质量系数 , 是使系统产生加速度 而 需在第 i 个自由度上施加的力。类似地，定义阻尼系数为 ， 是为克服系统阻尼，使系统产生速度 而 需在
5、第 i 个自由度上施加的力。,当系统受动载荷 作用时，根据上述质量系数、阻尼系数、刚度系数的定义和达朗贝尔原理，可写出各自由度上的力平衡关系,12,建立方程的重要条件是系统的状态作用不相耦合与系统的线性特性,13,例3.1.1 建立图示N自由度链式系统的运动微分方程,解：,先计算刚度矩阵,14,刚度矩阵为,15,Diag Diagonal,质量矩阵可用类似的过程得到,16,柔度法,如果系统受外部约束而无刚体运动，系统的柔度系数定义为：在第 j 个自由度上施加单位静力时，第 i 个自由度所产生的静位移。,（单位力法）,其中:,17,当系统受动载荷 作用时，根据达朗贝尔原理和质量系数、阻尼系数的定
6、义，第 j 个自由度相当于受到静力,由柔度系数的定义和线性系统的可叠加性质，第i个自由度的位移是,18,(1) 刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地增加了确定刚度系数时系统的静不定程度，求解甚繁。一般不用。,(2) 柔度法维持原系统的约束，实施比较方便。特别是用实验来确定系统的弹性性质时均采用柔度法，刚度法几乎不能实现。,(3) 刚度矩阵和柔度矩阵均具有对称性。根据功的互易定理可以证明，这是线弹性系统的一般特性。,两种方法的特点,(4) 如果系统具有刚体运动自由度，则在静力作用下会产生刚体位移。对这样的系统无法按照定义来确定柔度系数，柔度法失效；但刚度法可奏效。所以刚度法的应用范
7、围比柔度法要大。,19,例 用柔度法建立图中系统的运动微分方程。,由上式知，问题在于建立系统的柔度矩阵D。按柔度系数的定义，先在 上作用单位力，这时仅弹簧 提供恢复力，各质量位移均为 ，故,解：,20,再在 上作用单位力，其左面质量 的位移为 ，其余质量位移均为 ，故,依次分析下去得,最后将所得 排为柔度矩阵D。取N=3为例,21,例：梁的横向振动近似计算方程,用集中质量法可将梁系统简化为一个二自由度系统,解：,用单位力法计算柔度系数,22,各个柔度系数为：,柔度矩阵为：,刚度矩阵为：,质量矩阵为：,运动方程：,23,单自由度刚度与质量的能量表示,单自由度刚度与势能关系,单自由度质量与动能关系
8、,24,柔度影响系数与势能,对多自由度系统位移力与柔度影响系数推出,25,刚度影响系数与势能,对多自由度系统位移力与刚度影响系数推出,26,广义坐标,结构位置（系统运动）的描述可以采用不同的独立坐标广义坐标来完成。若坐标系之间存在线性变换关系，则称坐标系是可以相互线性映射的。,称作线性变换矩阵。,27,多自由度系统的能量,系统的动能 是各质点动能之和,质量矩阵是对称矩阵。对于任意的运动，动能恒正，故质量矩阵总是正定矩阵。,质点的位置矢量:,动能二次型:,其中:,28,在定常约束下，系统的势能仅仅是广义坐标 q 的函数。将势能 用Taylor级数展开，有,是系统在平衡位置的势能，可以是任意常数。
9、取为零。,是系统在平衡位置的势能对广义坐标的一阶导数。因为系统的势能在平衡位置取极值，故其对广义坐标的一阶导数必为零。,29,上述结论可表达为:,是系统在广义坐标下的刚度系数。研究系统微振动时，只需取势能的二次近似。将刚度系数组成刚度矩阵，则势能可写作,其中:,刚度矩阵 总是对称的。显然，如果系统的刚体运动受到约束而只有弹性变形，势能恒正，从而刚度矩阵正定。但若系统具有刚体运动 ，则有 ，刚度矩阵仅是半正定的。,势能二次型:,30,Lagrange方程方法 (分析力学）,特点: 不用对系统取分离体作受力分析，也不用考虑约束力的影响，而是基于系统的能量来建立系统的运动微分方程。,将系统的约束分为
10、两类，一类是理想约束，其约束反力不作功。刚体的内力、不可伸长的绳索、光滑固定面、光滑铰链等都属于此列。另一类是非理想约束，例如摩擦等。我们将非理想约束的反力与外力归在一起。根据功能原理，外力和非理想约束反力作的元功等于系统总能量的微分，即,31,外力元功:,定常约束系统势能只是广义坐标函数,系统的动能增量,T一般同时是广义位移和速度的函数。,(A),32,对上式两端微分得,由,可推得,(B),由 (B) (A) 得,33,功能原理的具体形式:,这就是系统运动应满足的Lagrange方程。它表明：建立系统运动微分方程时，只要把非理想约束力归入外力，写出能量表达式即可得到系统的运动微分方程。这自然
11、比刚度法和柔度法简单。,根据广义坐标的 独立性，诸 不可能同时为零，,？,由于系统处于运动中，诸 不可能为零（恒不为零）,从而有,34,例3.1.4 用Lagrange方程建立图示系统的运动微分方程。,解: 取系统的广义坐标为图示物理坐标，则该系统 的动、势能分别为,35,代入Lagrange方程,36,例：图中置于光滑平面的小车质量 ，车上质量为 的圆柱体可作无滑动的纯滚动。试建立该系统的运动微分方程。,解：取小车的绝对位移 和圆柱体的绝对位移 为广义坐标。 根据圆柱体对圆心的转动惯量 和纯滚动的转角 ， , 不难写出系统的动能和势能,37,代入Lagrange方程,得系统运动微分方程,矩阵
12、形式为,38,Lagrange方程适用于非线性系统。一般情况下，系统动能与q有关，势能中有q的高次项，广义力中有非理想约束反力，由Lagrange方程导出的系统运动微分方程是非线性的。为建立线性运动微分方程，可根据微振动前提，命动能表达式中q = 0 并略去势能中q 的二次以上项。,一般线性系统情况下，动能与广义坐标q无关，故Lagrange方程又可以写为：,39,若系统中有线性粘性阻尼力，将它从广义力中分离出来，引入耗散函数（阻尼作功）,或,其中 是粘性阻尼力（耗散力），,为外力。,40,2.3 无阻尼系统的自由振动,2.3.1 二自由度系统固有振动（无阻尼）,41,试探解,实验测试,经验猜
13、测,以某个频率振动，但幅值可能不同,42,该方程组系数矩阵行列式为零，所以方程的非零解有无穷多个 。只能确定振幅之比。,系统可能以两个不同频率同步振动 （固有频率：仅由物理参数确定）,不同频率对应不同（解）振幅关系,43,所以向量,反映了二自由度系统作固有振动时的形态，分别称之为第一阶和第二阶固有振动的振型，或简称固有振型。,44,二自由度无阻尼系统具有两种不同频率的同步自由振动，这两个频率仅取决于原系统的弹性和惯性特性。我们将这两个频率从小到大依次称为系统的第一阶固有频率和第二阶固有频率，相应的振动分别称为系统的第一阶固有振动和第二阶固有振动。两种不同频率对应了二自由度系统不同的同步振动形态
14、，分别称之为第一阶和第二阶固有振动的振型，或简称固有振型。,振型性质：a. 固有振型反映了二自由度系统作某阶固有振动时两自由度的位移比例关系，它们的固有振动总是同频率的简谐振动，但可能同相或反相。 b. 对任一固有振型和非零实数，其乘积仍是对应固有频率的固有振型，即固有振型只能确定到相差一个实常数因子的程度。,45,几个重要概念,固有模态：无阻尼系统的固有频率和固有振型被称作系统的固有模态 。模态向量 ：固有振型这一向量也被称作模态向量。,模态：系统的运动模式。（固有模态；自然模态；复模态）,46,例：设图中二自由度系统的物理参数为 . 确定系统的固有振动.,解：将参数代入频率公式，解得系统的
15、两个固有频率分别为,两个固有振动形如,47,思考1：试探解只是可行解之一，引发固有振动要求初始条件,为使系统产生第r阶固有振动，系统初始位移、初始速度必须与该阶固有振型成一定的比例关系。这是有别于单自由度无阻尼系统固有振动的。,思考2：对称系统的模态振型也有对称性？解题时怎么运用？,节点：某阶固有振动中，系统的非约束不动点。,思考,48,2.3.2二自由度系统自由振动,根据线性常微分方程理论可知，线性（二自由度无阻尼）系统的任一自由振动总是这两种固有振动的线性组合 。,49,例：如果上例二自由度系统的运动初始条件为,试确定系统的自由振动。,解：由上例的结果，系统的自由振动应为,其中,50,系统
16、的自由振动为,非周期振动,同向,反向,51,拍现象,中间弹簧非常柔软的情况。此时,则,52,2.3.3 二自由度系统的运动耦合与解耦,例图中刚性车体质量为m，绕质心C的转动惯量为J，试分析系统的运动耦合问题。,53,可选择适当的e消除惯性耦合或弹性耦合（又称解耦）,再选取另一组坐标系来分析系统的振动。指定车体上一点B，它距质心C的水平距离为e（向右为正）。用车体在该点的铅垂位移和绕该点的转角为坐标来建立系统的运动微分方程。根据刚体的平面运动定理得,54,二自由度系统间的耦合取决于我们观察其运动时所选定的坐标系。坐标系选得适合则可使运动间消去某种耦合作用。自然，我们关心能否选到适宜的坐标系，使得
17、运动完全不耦合，即系统质量矩阵和刚度矩阵同时是对角阵。如果这种坐标系存在，则称其为主坐标系。在主坐标系下，二自由度系统犹如两个彼此独立的单自由度系统。,事实上，二自由度系统的运动总是发生在一个二维空间中，即平面之中；而平面中坐标系的选取有无穷多种。,解耦条件,或,55,2.3.4多自由度系统固有振动,多自由度自由振动微分方程矩阵形式,设试探解具有谐振动形式:,得特征方程或特征值问题,有解条件是什么？,矩阵形式,56,或,解得N个特征根,然后逐一代回特征方程，寻求齐次线性代数方程的非零解向量。,对于振动问题:,特征方程概念,何时等于零？,第r阶模态质量与模态刚度（广义质量与广义刚度；主质量与主刚
18、度）,57,用 左乘特征关系式后可解出（利用正交特性）,当N3时，已无法用求解公式计算特征值多项式的根。实际计算特征值:,一元二次方程的封闭解,诸 排列为,何时等于？,58,一元三次方程的封闭解,59,试探解可行，系统的振动可以表示为：,我们将无阻尼系统的这种自由振动称作其第 r 阶固有振动， （与系统特征值、向量对应的振动称 为它的第 r 阶固有频率， 为它的第 r 阶固有振型。这两者又常合在一起，被称作第 r 阶固有模态。）,使第r阶固有振动发生的初始条件应满足,如果上述条件不能满足，系统的自由振动将是各阶固有振动的线性组合（微分方程理论：解的线性叠加性）,其中实常数 或等价的 可由初始条
19、件确定。,固有振动特点：同频率，同相位,60,固有振动与自由振动,固有振动是一种自由振动的特例固有振动各自由度同频同相初始条件决定自由振动是否是固有振动自由振动是固有振动的线性迭加,61,广义特征问题与标准特征问题,幂法逆迭代法子空间法迭代法兰索士法QR法,广义特征值问题:,标准特征值问题:,实对称矩阵 的标准特征值问题，它与原广义特征问题有相同的特征值，而两者的特征向量 和 可经过可逆矩阵 相互转换。,广义问题标准化,62,固有振型的归一化（正则化）,按某一自由度的幅值归一化,按诸自由度最大幅值归一化,按欧氏范数归一化,按模态质量归一化,63,固有振型的性质,1.单构系统,所谓单构系统是指系
20、统的所有固有频率互异，这是多数结构所满足的条件。,定理：N阶实对称矩阵的标准特征值问题总存在N个相互正交的特征向量。（不证明）,64,(A),(B),(A) - (B),由于,故,证明a：,（因为是单构系统）,65,加权正交关系更一般的形式 :,其中,和 即为对应第r阶固有模态的广义质量和广义刚度（模态质量与模态刚度）.,其中,广义质量和广义刚度的矩阵形式,66,加权正交的另一种更广义的证明（数学化）：,下面由正交性导出线性无关性,67,性质b. 固有振型的线性无关性,分析：如果固有振型向量是线性无关的向量组，欲使下式成立，系数 必须全为零。,证： 左乘,得,68,2.非单构系统（频率相同，振
21、型不同）,工程上不少结构具有两个以上的对称面或包含多个完全相同的子结构，譬如方板、圆板、发动机叶盘、雷达天线等等。作为振动系统，它们具有两个以上相重合的固有频率，被称作非单构系统，其模态特性比较复杂。,69,例： 图中的轻质圆板中心固定，周边上均布了三个相同的集中质量块 ，试分析沿板横向振动的系统固有模态。,旋转对称结构图,重频固有振型对图,在图示的物理坐标下用刚度法建立其运动微分方程。根据对称性，圆板在三个质量安装点横向变形的刚度矩阵应形如,解:,70,其中 和 分别为原点刚度系数和跨点刚度系数。忽略板的质量，由刚度法得到系统自由振动微分方程组,系统的固有频率方程为,71,解出固有频率,对于
22、单重固有频率 ，代入原特征值问题得到秩为2的齐次线性方程,对于二重固有频率 ，将其代入原特征值问题得到秩为1的齐次方程,各质量块作同向、同振幅振动,72,可解出一对相互独立的固有振型，但这种固有振型有无数多对。例如,对应这阶重频固有振动的固有振型空间是二维的，而 是其基底。这种基底自然有无穷多对。,取定 和 为一对固有振型时，它们的线性组合,也成为一个固有振型。,重频固有振型对图,?,73,为了动响应分析的方便，可以按照关于质量矩阵和刚度矩阵加权正交的原则来选择重频固有振型 。这样选出的固有振型具有单构系统固有振型的一切性质，只是相对应的固有频率相重合，这种特殊现象可视作系统的退化。无阻尼非单
23、构系统是否都能按上述步骤选出相互独立并与质量矩阵、刚度矩阵加权正交的固有振型呢？回答是肯定的。参见单构系统证明方法2。,振型的选择,要满足正交性,74,更多阶重频振型怎样处理？,上例平板 振型,75,3.刚体模态,刚体运动振型对应于系统广义特征值为零、即零频率的情况。将零固有频率及相应的刚体运动振型一并称作刚体模态。刚体运动的试探解为,其中 和 是由初始条件确定的常数， 描述了系统作刚体运动时各自由度位移间的相对比例，称作刚体运动振型。,这样的刚体运动将要求振型 满足,势能二次型:,矩阵 K 奇异,刚体运动不产生弹性势能,76,例：分析图中卡车一拖车系统的固有振动。,解：系统在图示坐标系中的运
24、动微分方程为,对应的广义特征值问题为,77,系统的运动由刚体运动叠加简谐振动而成,其中常数 由初始条件确定。,相应的固有振型为,解出系统的两个固有频率,78,2.3.5 运动解耦与自由振动解,N维空间可由N个线性无关N维向量组成一组基（坐标系）；N维空间中任一向量可由基线性表示；振型向量是一组线性无关N维向量（性质2）任意N维空间向量可由振型线性组合,79,物理坐标下的自由振动运动方程,加权正交性条件,坐标变换,模态坐标下的自由振动运动方程,独立的N个标量函数 的微分方程(运动解耦),固有振动,80,对于无刚体自由度的系统:,其中,对于给定的初始条件 和 ，由上式及其导数可得到,81,可解出参
25、数向量（因为振型向量线性无关，矩阵可逆）,因此，系统的自由振动可写作,其中,实际计算中，为了避免求解上式中的固有振型矩阵之逆，可采用关于模态质量归一化的固有振型矩阵。,如果系统具有刚体自由度，自由振动中还有刚体位移成分。由于刚体模态与弹性模态线性无关，可以完全类似地确定系统的运动。,82,例： 设图中卡车拖车系统在 时静止， 时一汽车迎面与卡车相撞后立即反弹脱离，卡车受到冲量 作用，试确定 后卡车拖车系统的响应。,系统的运动是如下刚体位移与弹性振动的叠加,其中,解：在冲击过程中，卡车与拖车间联接件来不及发生变形，从而冲击结束时系统运动的初始条件为,83,代入初始条件得,由固有振型矩阵可逆，解出
26、,系统运动为,84,系统运动为：,85,2.4 无阻尼系统的受迫振动,3.3.1 频域分析,系统的受迫振动运动方程:,（1）动刚度矩阵和频响函数矩阵,动刚度矩阵,取特解,86,位移频响函数矩阵,其元素 具有刚度系数 的量纲，反映了系统第j个自由度具有单位位移响应 、而其余坐标静止不动时，应施加在第 i个自由度上的正弦广义力幅值 。当 时，动刚度阵 就是系统刚度矩阵 。,如果激励频率与系统固有频率 不相重合，动刚度矩阵 是可逆的，记其逆矩阵为,它的元素 具有柔度系数的量纲，反映了在系统第 j个自由度上施加单位正弦激励后第 i个自由度的稳态位移响应幅值。,动柔度矩阵,不为零,87,(2）频响函数矩
27、阵的模态展开式(研究H与模态参数关系),利用固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性,对上式两端求逆，得到频响函数矩阵的模态展开式,频响函数矩阵的元素为,88,模态展开式直观地揭示了系统频率特性与模态参数间的关系：,a. 在第j个自由度上施加简谐激励时，系统在第i个自由度上的响应由N个与固有振型分量 成正比的基本振动分量叠加而成。b. 这些基本振动分量的大小与 、亦即激励处的固有振型分量有关。如果 ，即激励点正好位于第r阶固有振型 的节点上，响应中就没有该激励诱发出的第r阶基本振动成分。c. 若 ，则当激励频率等于系统固有频率 时， 将无穷大，即系统发生共振。若系统的各阶固有频率值相差显著，
28、当激励频率 接近 时，频响函数可近似地表为,系统在该频带内呈现单自由度系统的振动特性.,89,（3）系统的反共振问题,根据线性代数中逆矩阵与伴随矩阵间的关系，系统第i自由度与第j自由度间的频响函数可写作,其中 是动刚度矩阵 中元素 的代数余子式，,的反共振频率 的零点,必要性:,a. 动力吸振: 被吸振的主系统比较复杂而需要用多自由度 力学模型描述;,b. 考虑用反共振现象来减小复杂结构重要部位在某一频 带内的振动.,即将 划去第 i 行和第 j 列后的行列式再乘以 。,90,例3.3.1 试计算图中系统频响函数 和 的反共振频率。,解：建立系统运动微分方程,系统的动刚度矩阵为,a. 对于原点
29、频响函数 ，反共振频率方程为,91,b. 对于跨点频响函数 ，反共振频率方程为,解出两个反共振频率 和 。由于 的反共振要求中间质量块不动，而靠其左右两个质量块自由振动产生的弹性恢复力来抵消外激励。因此，这两个反共振频率就是中间质量块固定后两侧单自由度系统的固有频率。当外激励频率为 时，系统内只有右质量块振动；而外激励频率为 时，系统内只有左质量块振动。,解出单一反共振频率 。根据前述分析，这也是 的反共振频率 。 的反共振必要求中间质量块也不动。否则，中间质量的运动会使其左侧的弹簧变形而驱使左质量块运动。,反共振频率相当于施加局部约束后系统的固有频率。,92,b. 对于三自由度以上的系统，跨
30、点频响函数 必有反共振频率。其分布情况比较复杂，但反共振频率的总数不超过 。当系统是集中质量系统时，反共振频率的总数不超过 。,a. 原点频响函数 总有 个反共振频率，每对相邻的共振频率 和 间必有一反共振频率 ， 即,跨点频响函数示意图,N自由度单构系统的反共振性质：,93,在频段 上， 是连续函数；它在该频段中有反共振频率的充分条件是：对充分小的 有,在共振频率处:,或,94,3.3.2 时域分析分析零初始条件 强迫响应，即研究下述微分方程的求解问题,（1）单位脉冲响应矩阵,应用模态坐标变换来解耦,N个单自由度系统的零状态响应问题,现考察系统第j个自由度受单位脉冲后第r阶模态坐标的响应，它
31、服从,95,单位脉冲响应矩阵,在各自由度上依次作用单位脉冲引起的初速度列向量排成的矩阵恰好就是 .,单位脉冲响应矩阵的第 j 列,其中,96,(2) 任意激励下的响应,考虑系统初始状态对响应的贡献时，系统的响应为,振型叠加法计算无阻尼系统响应的步骤:,a. 计算模态参数 b. 运动方程解耦 c. 解单自由度广义坐标响应 d. 用模态向量线性组合获得物理坐标响应。,有了单位脉冲响应矩阵，系统受任意激励后的零状态响应为,97,3.3.3 模态截断问题,振型叠加法解决振动的求解问题很有用。实际系统的自由度太多，计算全部固有模态不现实。计算模型总要经过一定的简化，这使得计算出的高阶模态有很大误差，算出
32、来也没什么用。计算强迫响应时的前提：外激励的能量集中在更低频范围内。,在振型叠加法中略去高阶模态对系统响应的贡献。这一近似处理方法被称作模态截断。,98,(1) 模态位移法,(2) 模态加速度法,单位脉冲响应矩阵,-直接略去位移模态展开中高阶模态影响的方法,当 足够大时, 模态截断合理.,-基于低阶模态的加速度响应的方法,加速度模态截断,99,外激力引起的所有模态的准静态响应,低阶模态的加速度响应,100,例3.3.2 用模态截断法计算初始静止系统第 j 个自由度受单位阶跃力后的响应。,模态坐标的位移和加速度分别是,解：记第 j 个分量为1、其余分量为0的列向量为 ，则模态坐标下的运动微分方程
33、成为,101,由模态加速度法得,两种结果对比:,由模态位移法得,后者完整地收集进了高阶模态坐标对准静态响应的贡献。因此，模态加速度法具有更小的截断误差。,102,3.4 比例阻尼系统的振动,3.4.1 多自由度系统的阻尼,其中,坐标变换,对角阵,不一定是对角阵,103,（1）什么条件下阻尼矩阵能被系统的固有振型矩阵对角化。若有常数和使阻尼矩阵为,则阻尼矩阵在固有振型矩阵变换下是对角阵。这种形式的阻尼被称作Rayleigh阻尼或比例阻尼，对许多小阻尼结构采用这种阻尼模型进行分析获得了比较好的结果。,其它可对角化的阻尼矩阵形式 :,104,（2）寻找使 M、K 和 C 同时对角化的更一般的广义坐标
34、。人们已发现在复数空间内这一问题可以解决，相应的系统振型是复振型，其理论称作复模态理论。,其中,比例阻尼系统的振动分析,用固有振型矩阵变换来对角化阻尼矩阵的振动系统,振型阻尼？,105,N 度比例阻尼系统可以解耦为模态坐标下N个独立的单自由度阻尼系统,3.4.2 自由振动,其中,106,写为矩阵形式,第r阶纯模态自由振动,(比例阻尼系统的自由振动是衰减振动),其中,如果初始条件满足,107,例3.4.1 图中系统的左右阻尼器参数有小差异( )，两质量在正向单位静位移条件下释放，求其自由振动响应。,解：,该系统的固有频率和固有振型矩阵为,系统运动微分方程和初始条件分别为,108,采用模态坐标变换
35、,运动方程化为,系统初始条件化为,阻尼差异是小量。采用振型阻尼处理，将上式解耦为,非比例阻尼系统,109,根据初始条件可解出,系统按第一阶纯模态进行同步自由振动，两质量块同时达到最大值并同时穿越平衡位置，最后同步回到平衡位置。,代回变换得系统振动物理响应,其中,110,2.5.3 受迫振动,对比例阻尼系统施加同频正弦激励，随着时间的延续，响应会趋于与激励同频率的稳态正弦振动。 激励、响应向量可假设为：其中力向量和响应向量的系数一般是复数。若各激励的辐角不同，则表示各激励间初相位不同。响应与激励的相位差则反映响应超前于激励的程度。 采用e指数表示原因：激励、响应之间；激励之间相位不同。,111,
36、式中 是阻尼系统的动刚度矩阵。,是 的复函数矩阵.,激励、响应式代入多自由度振动方程,112,它的一般元素 是复数，其幅值 的物理意义是：在系统的第j个自由度上施加单位幅值正弦激励后系统第i个自由度上的稳态响应幅值；而辐角 的物理意义是上述响应滞后（超前）激励的相位角。,频响函数矩阵的模态展开式,在两共振频率之间总有频率使 取极小值（不一定为零）。习惯上人们也称这样的现象为反共振，它在抑制振动方面有重要意义。,113,（2）单位脉冲响应与时域解,应用模态坐标变换来解耦,第j个物理自由度受单位脉冲后第r阶模态坐标的响应,任意激励多自由度系统,114,单位脉冲响应矩阵：反应各自由度单位脉冲激励引起
37、的响应,第 j 自由度激励引起的各自由度响应矩阵,其中,115,(2) 任意激励下的响应,考虑系统初始状态对响应的贡献时，系统的响应为,时域响应计算的步骤:,a. 计算模态参数 b. 运动方程解耦 c. 求脉冲响应矩阵，杜哈麦积分求力激励响应 c 求模态坐标响应后转至物理坐标下。,有了单位脉冲响应矩阵，系统受任意激励后的零状态响应为,116,2.6 一般粘性阻尼系统的振动,2.6.1 自由振动,其中 M、K 和C 为实对称矩阵.,(二次特征值问题),有非零解的充分必要条件:,（1）物理空间描述一般线性阻尼的N自由度系统自由振动方程:,117,这是关于 的 次代数方程，由此可解得 个特征值 。相
38、应地，可解出 个 维特征向量 。,a. 特征值可以是实数，也可以是复数。由于上式是实系数代数方程，故复特征值必共轭成对出现。与单自由度系统相类似，共轭复特征值对应具有衰减振动特征的欠阻尼系统，实特征值对应临界阻尼或过阻尼系统。本书仅讨论欠阻尼系统。b. 与共轭复特征值相对应，特征向量是共轭成对的复特征向量，它们各自只能确定到相差一个复常数因子的程度。 2N个N 维特征向量必然线性相关。,这个二次特征值问题具有下述特点：,118,共轭复特征值:,共轭复特征向量:,系统可能发生的振动为,第 r 阶阻尼固有频率:,第 r 阶复频率 :,第r阶纯模态振动,119,各自由度将在不同时刻到达平衡位置或最大
39、值 ；系统不同时刻的振动形态自然也不相似。这些都显著有别于比例阻尼系统的纯模态振动。,相位差的原因: 作用在各自由度上的当地阻尼力不像比例阻尼系统那样与当地的弹性力、惯性力成比例。,纯模态振动中各自由度间的运动关系:,其中,120,在数学形式上，复特征向量完备地描述了各自由度作纯模态振动时幅值间的比例关系和相对相位值，确定了纯模态振动的形态。因此，称第r阶复特征向量为第r阶复模态。当阻尼矩阵满足以下条件时，复特征向量退化为实向量，所以通常将比例阻尼系统的振型称为实模态。,121,（2）状态空间描述,由于系统在物理坐标和实模态坐标下无法解耦，考虑另一种坐标描述，即状态空间描述。引入由位移和速度所
40、组成的2N 维状态向量,其中,122,特征值相同:,欠阻尼系统的特征值问题 也具有共轭特征对.,物理空间描述有共轭特征值,特征向量间具有关系:,和 是实对称矩阵,123,互异特征值的特征向量之间具有下述加权正交关系:,物理空间中的加权正交关系:,2N个2N维复特征向量 是线性无关的.,124,ar为第r 阶模态参与因子,125,例 用复模态方法分析例2.5.1在 时的自由振动。图中系统的左右阻尼器参数有小差异( )，两质量在正向单位静位移条件下释放，求其自由振动响应。,解：,系统运动微分方程和初始条件分别为,126,127,128,回忆例2.5.1，经振型阻尼处理后的系统按第一阶纯模态作同步振动，两质量块同时过平衡位置。而实际系统两质量块过平衡点的时刻有微小差异，即非比例阻尼使系统自由振动不同步。这就是复模态理论与实模态理论的差别。,非比例阻尼系统的不同步自由振动,129,2.6.2 受迫振动*,（1）脉冲响应矩阵,其中,系统的自由振动为,研究受外激励的一般阻尼系统,先考虑初始静止系统，若其第j个自由度在时刻 受到单位冲量，则 后系统的初始条件,130,单位脉冲响应矩阵的第j 列,单位脉冲响应矩阵的模态展开式,131,（2）频响函数矩阵,其元素 的物理意义与比例阻尼情况下相同。,Fourier变换,（3）任意激励下的响应,
