1、多边形的内角和教学目的 1使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。 2使学生通过不同方法探索多边形的内角和公式，并会利用它进行有关计算。 重点、难点1重点：多边形的内角和定理。 2难点：多边形的内角和定理的推导。教学过程一、复习提问1什么叫三角形? 2三角形的内角和是多少?3什么叫三角形的外角?什么叫外角和? 三角形的外角和是多少?二、新授1多边形的概念，三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形) 。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。你能说出什么叫四边形、五边形吗?如图(1) 它是由不在同一直线上的 4 条线段首尾顺次连结组
2、成的平面图形，记为四边形 ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写 )D DCA C EA BB图(2) 是由不在同一直线上的 5 条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形 ABCDE。 一般地，由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为 n 边形，又称多边形。下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范围内 。注 意我们现在研究的是如右图所示的多边形，也就是所谓的凸多边形 有什么不同？凹多边形凸多边形与三角形类似如图，A、D、C、ABC 是四边形 ABCD 的四个内角，延长 AB、 CB 得四边形 ABCD 的两个外角CBE 和ABF，这两个外角是对顶角。一个 n 边
3、形有 n 个内角，有 2n 个外角。图 8.32 如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图 1，线段 AC 是四边形 ABCD 的对角线，如图 2，线段 AD、AC 是四边形 ABCDE 的对角线，如图 3 中线段 AC、AD、AE 是六边形 ABCDEF 的对角线。图 8.3. 问：(1)四边形有几条对角线?( 两条 AC、BD) (2)五边形有几条对角线?以 A 为端点的对角线有两条 AC、AD，同样以 B 为端点的对角线也有 2 条，以 C 为端点也有 2 条，但 AC
4、与 CA 是同一条线段，以D 为端点的两条 DA、DB 与 AD、BD 都分别表示同一条线段。所以只有 5 条。(3)六边形有几条对角线?n 边形呢? 六边形有 9 条对角线。从以上分析可知从 n 边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，(除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么 n 个顶点，就有n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如 AB 与 BA，所以 n 边形一共有条对角线。大家可以加以验证：当 n=3 时，没有对角线，当 n=4 时，有 2条；当 n=5 时，有 5 条：当 n=6 时，有 9 条，因此，我们可以得到多边形的对角线的条数的计算公式： 2)3(n2多边形的
5、内角和公式。三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于 180，那么一般n 边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形开始。从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成 2 个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中 3 个三角表内角和的和。让学生填写表,由此，你可以得到”边形的内角和公式吗?n 边形的内角和(n-2)180知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数 n。知道多边形的边数,可以求出多边形的度数例 1.求八边形的内角和的度数。分析: n 边形的内角和公式为(n-2) 180 ,现在知道这个多边形的边数是，代入这个公式既可求出.
6、解 （n2）180=（82） 180=1 080 例 2.已知多边形的内角和的度数为 900，则这个多边形的边数为_解 （n2）180 = 900（n2）= 900 /180 （n2） = 5 n= 5 +2 n=7例 3. 已知在一个十边形中，九个内角的和的度数是 1290，求这个十边形的另一个内角的度数.分析：先求出十边形的内角和，再减去 1290,就可以得出.解: （102）180 =1440 则十边形的另一个内角的度数为1440 - 1290 =150 那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢?因为正多边形的每个角相等,所以知道正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数（n2） 180
7、/ n例 4.正五边形的每一个内角等于_.解: （n2）180/ n= （52） 180/5=540/5=108例 5.如果一个正多边形的一个内角等于 120,则这个多边形的边数是_解: 120n=（n2） 180120n=n180-360 60n =360 n =6多边形的内角和等于(n-2)180，还可以用以下的划分来说明，即在 n 边形内任取一点 P，连结点 P 与多边形的每个顶点，可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?请你试一试。 对有困难的学生教师可以加以引导。如图(教科书图 9.2.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此 n 边形就可划分成
8、n 个三角形，这 n 个三角形的内角和减去以 P 为顶点的周角所得的差就是”边形的内角和。因此，n 边形的内角和为： n180-360n180-2180=(n-2)180问：还有其他方法吗?让学生自主探索，对不同方法给予鼓励。三、巩固练习教科书第 70 页练习 1、2。四、小结本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)180。这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握。在转化过程中，我们还发现多边形的对角线的条数的计算公式 。以及2)3(n正多边形的特征。希望同学们在以后学习生活中勤思考，多练习！灵活运用所学知识解题。五、作业教科书 P71 习题 9.2 第 1、2、3、4 题。
