1、2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公
2、示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等） 。（隐去论文作者相关信息等）赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1基于递归算法的建筑外表面光伏电池布局优化分析与设计摘要本文主要研究的是设计太阳能小屋时，根据相关数据，一方面选择光伏电池和逆变器、确定光伏电池组件分组阵列、另一方面选择最优倾斜角，确定最佳朝向，从而最大化发电总量，同时最小化单位发电量
3、费用的问题。针对问题一：首先确定最优化目标为总利润。通过运用直散分离原理和Hay 模型，得到小屋各个表面实际接收的光照强度；将各表面隔离分析，由题目所给数据可得北墙和东墙利润为负，故予以排除；在此基础上，进一步对电池板作优先级排序，然后将原问题归纳为无约束二维剪切排样问题，构造基于贪心原则的递归算法，运用 C 程序编程解决问题，得到电池板的原始铺设方案。而针对存在障碍物（如窗户、门）的表面，分别采用分割子区间和扣除重补的方法，得到最佳方案，计算得 35 年总发电量为 46.3 万千瓦时，每单位发电量成本为 0.405 元/千瓦时，投资将在 27.5 年时回收。针对问题二：利用上文提到的 Hay
4、 模型，得到以倾斜角 s 为自变量的斜面实际辐射强度 的函数表达式，通过建立无约束最优化问题的模型，用tHMatlab 解出最优倾斜角为 31.6，即为使斜面受到最大光照辐射的倾斜角度。通过对各时刻年均水平面总辐射强度进行三次样条插值处理，找出大同市一天中辐射最强的峰值时刻，利用最佳朝向经验公式，解出最佳朝向为正南偏西448。然后，根据问题一的相关结论，得出最佳铺排方案，求得总发电量为54.2 万千瓦时，每单位发电量成本为 0.381 元/千瓦时，投资回收年限为 25.6年。针对问题三：根据附件 7 给出的建筑要求，并考虑前两问的结论，设计出一个新的小屋，运用 AutoCAD 和 Sketch
5、Up 绘制出四立面图和透视图。采用问题一的程序铺设电池板，得出最佳方案,其中总发电量为 71.3 万千瓦时，每单位发电量成本为 0.392 元/千瓦时，回收期限为 26.5 年。关键词： 光伏组件 Hay 模型 无约束二维剪切排样 递归算法 无约束最优化 三次样条插值21.问题的重述与分析1.1 问题的重述随着人类科技和社会的逐渐发展，越来越多的人开始意识到清洁能源和可持续发展的重要性，因此，采用太阳能电池板自供电的小屋应运而生。这种太阳小屋不仅将太阳能转化成电能供给家用电器，还能将多余的部分输入电网；不仅具有一定的经济意义，还能很大程度上解决电力资源稀缺的问题。在搭建这类小屋时，研究光伏电池
6、在小屋外表面的优化铺设是很重要的问题，这也是问题一、二中的主要难点。因为每种型号的电池各自参数不同，而且，还需要逆变器将直流电转换成 220V 的交流电才能供家庭使用。所以在实际中，我们需要考虑光伏电池搭配和逆变器选择方案，使小屋的全年太阳能光伏发电总量尽可能大，单位发电量的费用尽可能小，并计算出小屋光伏电池 35 年寿命期内的发电总量、经济效益和投资的回收年限。而在问题三中，还要根据附件 7 给出的小屋建筑要求，为大同市重新设计一个小屋，画出小屋的外形图，并为之优化铺设光伏电池，给出铺设及分组连接方式，选配逆变器，计算相应结果。1.2 问题的分析总的来说，光伏电池的优化铺设问题，就是考虑如何
7、最大化总发电量，同时最小化每单位发电量的成本的二维矩形下料布局问题。针对问题一：在光能的利用方面，需要考虑诸多因素的影响，如太阳辐射强度、光线入射角、环境、建筑物所处的地理纬度、地区的气候与气象条件、安装部位及方式（贴附或架空）等。另外家庭用电量的多少，逆变器是否装在室外也是需要考虑的问题。而要解决这一问题，我们的思路是：1) 提取相关气象数据，转化为光伏电池表面实际接收到的光能。2) 确定目标变量。3) 将小屋这个主体拆分成 5 个对象进行隔离筛选。4) 根据各型号电池板的相关参数，进行优先级排序。5) 编写 C 程序，采用递归算法求解电池板型号和数目。6) 铺设电池板，选择逆变器，优化结果
8、针对问题二：需要考虑架空的含义；考虑东西南北四面墙上的电池板是否也要架空处理；以及屋顶上的电池板之间的距离、朝向。而且在这一题中，最佳朝向和最优倾角是两个必须首先解决的问题，只有清楚了这两个关键，我们才能设计出架空处理情况下的最优铺设。我们的相应思路是：1) 基于问题 1 的相关结果求出最优倾角。32) 根据相关资料，求出最佳朝向。3) 分析架空含义，给出有效的铺设结构4) 运用问题 1 的相关结论，解出最优铺设方案。针对问题三：需要考虑附件 7 中的相关参数要求；需要考虑如何设计可以最有利与铺设电池板；需要参考问题 1 和问题 2 中已有结论。问题 3 本质上来说是问题 1 和问题 2 结论
9、结果的再利用、再检验。我们的思路如下：1) 参考问题 1、问题 2 中结论，根据附件 7 设计小屋结构。2) 根据小屋结构，运用结论，最优化铺设。2.假设与符号说明2.1 假设假设 1：未来的 35 年间山西省大同市太阳辐射强度与附件 4 所给典型气象年的逐时参数及个方向辐射强度情况相同。假设 2：太阳小屋的周围环境因素（如温度、天气）对光伏电池板的效率无影响。假设 3：光伏电池自带蓄电池，即输入功率大于额定功率时，可将多余的太阳能储存，在太阳辐射较小时放出，无能量浪费。假设 4：逆变器安装在室内，不占用外墙面积。而且不同表面的电池不能共用一台逆变器。假设 5：考量投资年限时，不考虑折现率。假
10、设 6：家庭用电很小可忽略不计，将所有太阳能发电量均视作流入电网。假设 7：为了简化起见，小屋东西南北四面外墙实际接收的太阳辐射均直接采用附件 4 中相应数据。假设 8：在架空处理中，可以用支撑杆将光伏电池的四个角都架起来，即电池板的四个顶点可以不接触小屋表面。2.2 符号说明 太阳赤纬角时角太阳高度角山西省大同市地理纬度4H太阳水平面总辐射强度b太阳直射辐射强度太阳法向直射辐射强度d太阳水平面散射辐射强度tH倾斜面上总辐射强度rt倾斜面上地面反射辐射强度dt倾斜面上散射辐射强度bt倾斜面上太阳直射辐射强度R倾斜面上太阳直射辐射强度 与法向直射辐射强度 之比btHbHs光伏电池板倾角地物表面反
11、射率，取值 8%f太阳常数修正系数n一年中的天数，从 1 月 1 日开始记序scI太阳常数，取值 1367W/ 2m3.模型与求解3.1 问题一根据问题分析中所述思路，展开问题一的建模与求解。3.1.1 获得有效光强数据光伏电池是将光能转化为电能的元件，因此要计算最大发电量，必须先获得小屋各个表面收到光照的强度数据。根据假设 7，小屋的东西南北墙的光照强度直接采用附件 4 中相应的东南西北向总辐射强度数据。而屋顶作为一个斜面，附件中并没有给出相应数据，因此需要我们自己进行一些处理。李荣玲在个性化的平面太阳能接收器件最优安装角度研究 【1】 中提到了一些有效地将水平面辐射强度转化为倾斜面辐射强度
12、的模型和公式，在下面的转化工作中我们将多次引用。首先，根据附件 6，我们可以得到一系列非常有用的变量，如太阳赤纬角、太阳高度角 和时角 。5其次在水平面上，根据直散分离原理，总辐射等于直接辐射和散射辐射之和，并没有地面反射辐射。而直接辐射等于法向直接辐射与该时刻的太阳高度角的正弦值之积。具体如下式：， （1）dbHsin*b式中 为太阳水平面总辐射强度， 为太阳直射辐射强度， 为法向直Hb bH射辐射强度， 为太阳高度角， 为太阳水平面散射辐射强度。d然而，到了倾斜面场合中，太阳辐射总量等于地面反射辐射强度、散射辐射强度和太阳直射辐射强度之和。因为此时地面的反射可以到达斜面上。 tbtdtnH
13、（2）式中 为太阳直射辐射强度为倾斜面上总辐射强度， 为倾斜面上太阳tHbtH直射辐射强度， 为倾斜面上散射辐射强度， 为倾斜面上地面反射辐射强dt rt度。下面是式中各部分的计算：1） 倾斜面上太阳直射辐射强度 btH引入参数 ，其所代表的意义为倾斜面上太阳直射辐射强度 与水平面bR bt上直射辐射强度 之比HbtR（3）cos()sin()sin()i180bhhR（4）其中，s 为屋顶的倾角， 为太阳纬度角， 为倾斜面上的日落时角，s为水平面上的日落时角， 为大同市的纬度。而倾斜面上的日落时角 可用h s如下公式进行计算： 1min,costan()ts s（5）因此，由 和水平面上直射
14、辐射强度 作积，即可得到倾斜面上太阳直bRbH射辐射强度 。tH2） 倾斜面上地面反射辐射强度 rt其计算表达式为： 0.(1cos)rtH（6）其中， 为水平面上总辐射量， 为地物表面反射率，这里我们取反射H6率为 8%。3）倾斜面上散射辐射强度 dtH对于倾斜面上的直射强度和地面反射强度，大多数的模型的算法都是相同的，唯一不同的就在于散射辐射强度的计算。一般来说，有五种采用各向异性观点的模型Tamps-Coulson,Perez，Hay，Klucker 和 Bugler 都能很好地解决这一问题.而 Hay 模型更适用于南面朝向的屋顶。因此我们使用的也是 Hay 模型来求解倾斜面上散射辐射强
15、度 。dtHHay 模型认为倾斜面上散射辐射强度由太阳光盘的辐射量和天空中均匀分布的散射辐射量两部分组成，具体公式如下： 0.5(1)cos)bbdtoR（7）其中 为太阳直射辐射强度， 为太阳水平面散射辐射强度， 为大气bHdH0H层外水平面上的辐射总量。 24(cosinsin)180o hhfI（8）其中 是太阳常数 【2】 ，这里取值 1367W/ ， 为太阳常数修正系数。scI 2mfn 为一年中天数、 10.34cos.986(5)f n综上所述，求倾斜面上的太阳辐射总量公式综合为： .5()1cs)0.(1cos)bbtbdooHRH（9）运用公式 9，整理附件 4 中的第 2
16、至第 4 列数据，代入计算可得山西省大同市一年 365 天，每天 24 时刻的倾斜角为 0.185 rad 的斜面的太阳辐射总量。全部结果请见【附件包】。这里仅摘取 1 月 3 日的作为例子呈现：表 1：倾斜面太阳辐射总量处理结果举例时刻 （度）sinbR（W/ ）0H2m（W/t2）0 -22.84 -0.931 1.455 3740.72 0.0001 -22.84 -0.861 1.455 3740.72 0.0002 -22.84 -0.749 1.455 3740.72 0.0003 -22.84 -0.603 1.455 3740.72 0.0004 -22.84 -0.432 1
17、.455 3740.72 0.00075 -22.84 -0.250 1.455 3740.72 0.0006 -22.84 -0.068 1.455 3740.72 0.0007 -22.84 0.102 1.455 3740.72 0.0008 -22.84 0.248 1.455 3740.72 8.2649 -22.84 0.360 1.455 3740.72 187.64310 -22.84 0.431 1.455 3740.72 405.92111 -22.84 0.455 1.455 3740.72 471.02612 -22.84 0.431 1.455 3740.72 361
18、.16613 -22.84 0.360 1.455 3740.72 389.94914 -22.84 0.248 1.455 3740.72 233.49415 -22.84 0.102 1.455 3740.72 170.45316 -22.84 -0.068 1.455 3740.72 -41.84517 -22.84 -0.250 1.455 3740.72 0.01718 -22.84 -0.432 1.455 3740.72 0.00019 -22.84 -0.603 1.455 3740.72 0.00020 -22.84 -0.749 1.455 3740.72 0.00021
19、-22.84 -0.861 1.455 3740.72 0.00022 -22.84 -0.931 1.455 3740.72 0.00023 -22.84 -0.955 1.455 3740.72 0.000（资料来源：附件 4）正如上表所示，1 月 3 日 16 时的 值为负。这是因为在附件 4 所给数据tH中，水平面总辐射量中没有给出天空散射的部分，因此在太阳低于地表面时，总辐射量为正，但法向直射辐射与散射辐射均为 0.3.1.2 确定最优化目标求最大化总发电量，同时最小化每单位发电量的成本的多目标规划问题，有多种解决思路。我们这里采用将多目标规划转化为单目标规划的方法。即分析两者关系，
20、得出一个同时关系着两者的新的目标变量。于是根据总发电量和每单位发电量的费用，我们可以得到销售电力的总收入以及总成本。具体过程见下式：，pQY*ACT*其中 Y 为总收入，TC 为总成本，Q 为总发电量，p 为电价，AC 为每单位发电量的费用。由此可得，总利润 R 为： )(*ACpTY所以如果要同时最大化总发电量和最小化每单位的发电成本，则总利润也8将最大化。反过来说虽然不成立，但是总利润最大化，也可以视作题目要求的“全年太阳能光伏发电总量尽可能大，而单位发电量的费用尽可能小”得到了满足。因此我们可以选择总利润作为我们最终优化的目标变量。3.1.3 隔离筛选由于在小屋的不同表面上，所有型号的电
21、池都不能进行串、并联连接，即各表面的铺设互相没有影响；而且，我们的最终优化目标是总利润。显然各表面之间的利润无联系。因此我们可以把小屋的 5 个表面分离开来进行单个分析。这样一来，问题也将变得相对简单。利用隔离分析法，我们可以首先排除安装在北面墙壁的情况。因为，正如上文所说，要使得总利润最大，那么必须满足在每面墙上安装的光伏电池都能至少盈利。而北向作为光照强度最小的一个面，所有型号的光伏电池如果在上面安装的话，即使是未来 35 年的总发电收入都将小于它目前的成本价格。通过Excel 计算相关数据得到下表:：表 2：北面墙安装各型号电池的利润表型号 价格（元） 面积(m2)单位价格（元/ ）2m
22、北面单位收益 （元/ ）2北面单位利润（元/ ）2mA1 3203.50 1.28 2509.32 350.11 -2159.22A2 4842.50 1.94 2498.20 345.95 -2152.25A3 2980.00 1.28 2334.25 388.77 -1945.48A4 4023.00 1.64 2456.36 343.04 -2113.32A5 3650.50 1.64 2232.52 311.44 -1921.08A6 4395.50 1.94 2267.60 314.14 -1953.46B1 3312.50 1.64 2025.81 337.01 -1688.80B
23、2 4000.00 1.94 2063.56 340.75 -1722.81B3 2625.00 1.47 1785.54 332.23 -1453.31B4 3000.00 1.63 1844.02 307.69 -1536.33B5 3500.00 1.94 1803.80 332.23 -1471.57B6 3687.50 1.94 1900.43 316.01 -1584.42B7 3125.00 1.67 1873.50 311.64 -1561.86C1 480.00 1.43 335.66 267.72 -67.94C2 278.40 0.94 296.41 236.32 -60
24、.10C3 480.00 1.58 304.72 243.21 -61.51C4 432.00 1.54 280.52 223.68 -56.84C5 480.00 1.54 311.69 248.57 -63.11C6 19.20 0.11 174.47 139.03 -35.43C7 19.20 0.11 173.44 139.03 -34.41C8 38.40 0.22 175.88 140.18 -35.70C9 57.60 0.33 176.36 140.18 -36.18C10 57.60 0.29 198.35 158.18 -40.17C11 240.00 1.17 204.91 163.55 -41.37
