1、圆的多种不同位置在圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。如：点与圆的位置关系，如点在圆内，,点在圆上，点在圆外；两条弦的位置关系：在圆心的同侧，在圆心的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。所以，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论，警惕思维的陷阱。一、点与圆的位置关系不唯一性 例 1.若所在O 所在平面内一点 P 到O 上的点的最大距离为 a，最小距离为b（ab），则此圆的半径为（ ）。 （A） （B） （C） 或 （D）a+b 或 ab 分析：P 可能在圆内，也可能在 圆外。 图 11 图 12P 在圆内时。如图 11。 连接 O、P 所在的直线交
2、O 于 A、B 。则 PA=a，PB=b 直径 AB=PA+PB=a+b，半径 OA=OB= AB= （a+b） P 在圆外时。如图 12。此时直径 AB=PAPB=ab，半径OA=OB= AB= （ab）由可知，应选（C）。 二、弦与弦的位置关系不唯一性 例 2.O 的半径为 5cm，弦 ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则 AB 与 CD 之间的距离是（ ）。 （A）7cm （ B）8cm （C）7cm 或 1cm （D1cm 分析：弦 AB 与 CD 可能在圆心的同侧，也可能在 圆心的异 侧。 图 21 图 22弦 AB 与 CD 在圆心的同侧。如图 21。 过 O 作弦 AB 的垂
3、线，交 AB 于 M，交 CD 于 N。连接 OB，OD 。 ABCD ，OMAB，ONCD由垂径定理，BM= AB=3cm，DN= CD=4cm，又 OB=OD=5cm 在 Rt BMO 中，OM= =4cm，同理 ON=3cm MN= OM ON=43=1 cm 弦 AB 与 CD 在圆心的异侧。如图 22。 此时，MN=OM+ON=4+3=7cm 故选（C）。 例 3如图，已知 AB 是O 的直径，AC 是O 的弦，AB=2，AC= ，在图中画出弦 AD，使 AD 等于 1，并求出CAD 的度数。 分析：弦 AC 与弦 AD 可能在直径 AB 的同侧，可能在直径 AB 的异侧。 弦 AC
4、 与弦 AD 在直径 AB 的同侧。如图 31 连 OC、OD。由 OC=OD= AB=1，AC= OC +OD =AC AOC=90，CAO=ACO=45 又 OA=OD=AD，DAO=60 DAC=DAOCAO=15 弦 AC 与弦 AD 在直径 AB 的异侧。 此时，DAC=DAO+CAO=105 三、弦所对圆周角的不唯一性 例 4圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）。 （A）30或 60（B）60（C）150（D）30或 150 （B） 分析：弦（不是直径）所 对的弧有两条，一条 优弧，一条劣弧， 因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互 补。 如图 4
5、。劣弧所对的角为ACB，优弧所对的角为ADB。 由 AB=0A=OB，AOB=60 ACB= AOB=30 ADB= （360AOB）= （36060）=150 故选（D） 四、圆与圆的位置关系不唯一性 例 5如果两圆相切，两圆的圆心距为 8cm，圆 A 的半径为 3cm，则圆 B 的半径是（ ）。 （A）5cm （B）11cm （C ）3cm （D）11cm 或 5cm （B） 分析：圆与圆相切，可能是内切，也可能是外切。 两圆外切。如图 5.1。AB=8+3=11cm 两圆内切。如图 5.2。AB=83=5cm 故选（D）五、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性 例 6已知相交两圆的半径分别为 5cm 和 4cm，公共弦长 6cm，则这两个圆的圆心距为 。 分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。 圆心在公共弦的异侧。如图 6.1。 连接 O A，O A。由圆的对称性，O O 垂直平分公共弦 AB。 AD= AB=3 在 Rt A O D 中，O D= =4 在 Rt A O D 中，O D= = O O = O D+ O D=4+ 圆心在公共弦的同侧。如图 6.2。 此时，O O = O D O D=4 故这两个圆的圆心距为 4+ 或 4 。
