1、1,第2章 随机信号分析,2,目标要求,基本要求,熟悉随机信号的性质及常见随机变量； 了解随机变量的数字特征； 了解随机过程、平稳随机过程、随机过程各态历经性的基本概念； 了解平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度的性质、计算与分析； 了解三种常见的平稳随机过程，即高斯过程、窄带随机过程、正弦波加窄带高斯过程； 了解随机信号通过线性系统所具有的特性。,3,目标要求,重点、难点,重点是：正态分布、瑞利分布、莱斯分布、均匀分布特性的理解，平稳随机过程及其数字特征的理解。 难点是：高斯过程、窄带随机过程、正弦波加窄带高斯过程的理解、分析。,4,2.1 信号的类型,确知信号和随机信号 什么是确知信号?
2、什么是随机信号?,5,2.1 信号的类型,信号的功率:设 R = 1, 则 P = V2/R = I2R = V2 = I2 信号的能量：设S代表V或I，若S随时间变化，则写为s(t)，于是，信号的能量 E = s2(t)dt 能量信号：满足 平均功率： ，故能量信号的P = 0。,能量信号和功率信号,6,2.1 信号的类型,能量信号和功率信号,功率信号：P 0 的信号，即能量无穷的信号。 能量信号的能量有限，但平均功率为0。 功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。,7,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,功率信号的频谱：设s(t)为周期性功率信号，T0为周期，则有式中，0 = 2 /
3、T0 = 2f0 C(jn0)是复数， C(jn0) = |Cn|ejn式中，|Cn| 频率为nf0的分量的振幅；n 频率为nf0的分量的相位。 信号s(t)的傅里叶级数表示法：,8,【例2.1】 试求周期性方波的频谱。 解：设一周期性方波的周期为T，宽度为，幅度为V 求频谱：,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,9,例2.1 频谱图,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,10,【例2.2】试求全波整流后的正弦波的频谱。解：设此信号的表示式为：,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,11,求频谱：信号的傅立叶级数形式,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,12,能量信号的频谱设一能量
4、信号为s(t)，则其频谱为：S(f)的逆变换为原信号：,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,13,【例2.3】试求一个矩形脉冲的频谱。解：设此矩形脉冲的表示式为：则它的频谱就是它的傅里叶变换,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,14,【例2.4】试求抽样函数的波形和频谱。解：抽样函数的定义是而Sa(t)的频谱为：和上例比较可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲线相同，而Sa(t)的频谱Sa()的曲线和上例中的g(t)波形相同。,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,15,【例2.5】单位冲激函数及其频谱。解：单位冲激函数常简称为函数，其定义是：(t)的频谱：,2.2 确知信号性质2
5、.2.1频域性质,16,(t)及其频谱的曲线：函数的物理意义：高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1的脉冲。,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,17,函数的性质 对f(t)的抽样： 函数是偶函数： 函数是单位阶跃函数的导数：,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,18,能量谱密度设一个能量信号s(t)的能量为E，则其能量由下式决定：若此信号的频谱为S(f)，则由帕塞伐尔定理得知：上式中|S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的信号能量。,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,19,功率谱密度令s(t)的截短信号为sT(t)，-T/2 t T/2，则有得到信号功率：定义功率谱
6、密度为：,2.2 确知信号性质2.2.1频域性质,20,自相关函数 能量信号的自相关函数定义： 能量谱密度|S(f)|2功率信号的自相关函数定义： 功率谱密度P(f)性质： R()只和 有关，和 t 无关 当 = 0时，能量信号的R()等于信号的能量；功率信号的R()等于信号的平均功率。,2.2 确知信号性质2.2.2时域性质,傅氏变换对,傅氏变换对,21,互相关函数 能量信号的互相关函数定义：功率信号的互相关函数定义：性质： R12()只和 有关，和 t 无关： 证：令x = t + ，则,2.2 确知信号性质2.2.2时域性质,22,2.3 随机信号的性质-2.3.1概率分布,随机变量的概
7、念：若某种试验A的随机结果用X表示，则称此X为一个随机变量，则设它的取值为x。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。 随机变量的分布函数： 定义：FX(x) = P(X x) 性质： P(a X b) + P(X a) = P(X b),P(a X b) = P(X b) P(X a)， P(a X b) = FX(b) FX(a),23,离散随机变量的分布函数： 设X的取值为：x1 x2 xi xn，其取值的概率分别为p1, p2, , pi, , pn，则有P (X x1) = 0, P(X xn) = 1 P(X xi) = P(X = x1) + P(X = x2)
8、 + + P(X = xi), 性质：FX(- ) = 0FX(+) = 1若x1 x2，则有: FX(x1) FX(x2) ，为单调增函数。,2.3 随机信号的性质-2.3.1概率分布,24,连续随机变量的分布函数：当x连续时，由定义分布函数定义FX(x) = P(X x) 可知， FX(x) 为一连续单调递增函数：,2.3 随机信号的性质-2.3.1概率分布,25,连续随机变量的概率密度pX (x) pX (x)的定义： pX (x)的意义： pX (x)是FX (x)的导数，是FX (x)曲线的斜率 能够从pX (x)求出P(a X b)： pX (x)的性质：,pX(x) 0,2.3
9、随机信号的性质-2.3.2概率密度,26,离散随机变量的概率密度离散随机变量的分布函数可以写为：式中， pi x = xi 的概率u(x) 单位阶跃函数将上式两端求导，得到其概率密度：,2.3 随机信号的性质-2.3.2概率密度,27,2.4 常见随机变量举例,正态分布随机变量 定义：概率密度式中， 0, a = 常数 概率密度曲线：,28,均匀分布随机变量 定义：概率密度式中，a，b为常数 概率密度曲线：,2.4 常见随机变量举例,29,瑞利(Rayleigh)分布随机变量 定义：概率密度为式中，a 0，为常数。 概率密度曲线：,2.4 常见随机变量举例,30,2.5 随机变量的数字特征-2
10、.5.1数学期望,定义：对于连续随机变量 性质：若X和Y互相独立，且E(X)和E(Y)存在。,31,定义：式中， 方差的改写： 证： 对于离散随机变量， 对于连续随机变量， 性质： D( C ) = 0 D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X) D(X+Y)=D(X)+D(Y) D(X1 + X2 + + Xn)=D(X1) + D(X2) + + D(Xn),2.5 随机变量的数字特征-2.5.2方差,32,定义：随机变量X的k阶矩为k阶原点矩：a = 0时的矩：k阶中心矩： 时的矩：性质：一阶原点矩为数学期望：二阶中心矩为方差：,2.5 随机变量的数字特征-2.5.3矩,33, 2
11、.6 随机过程一般描述,确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。 通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。 描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到时间函数。,34,随机过程的数学定义： 设随机试验E的可能结果为(t)，试验的样本空间S为x1(t), x2(t)， , xn(t),， xi(t)是第i次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作(t)。 两层含义： 随机过程(t)在任一时刻都是随机变量； 随机过程(t)是大量样本函数的集合。,35,随机过程举例：,36,随机过程
12、基本特征,其一，它是一个时间函数； 其二，在固定的某一观察时刻t1，(t1)是随机变量。 随机过程具有随机变量和时间函数的特点。 随机过程(t)在任一时刻都是随机变量； 随机过程(t)是大量样本函数的集合。,37,随机过程的统计描述,设(t)表示随机过程，在任意给定的时刻t1T， (t1)是一个一维随机变量。 一维分布函数：随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率，即F1(x1,t1)=P(t1)x1 一维概率密度函数,38,n维分布函数：Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)= P(t1)x1,(t2)x2, (tn)xn n维概率密度函数,39,随机过程的一维数字特征,数学期望方
13、差,40,随机过程的二维数字特征,自协方差函数B(t1,t2)=E(t1)-a(t1)(t2)-a(t2) 自相关函数R(t1,t2)=E(t1)(t2) 设(t)和(t)分别表示两个随机过程，互相关函数R(t1, t2)=E(t1)(t2),41, 2. 7平稳随机过程,统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随机过程。 设随机过程(t),若对于任意n和任意选定t1t2tn, tkT， k=1, 2, , n，以及为任意值，且x1, x2, , xnR，有 fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)=fn(x1, x2, , xn; t1+ , t2+ , , tn+
14、 ) 则称(t)是平稳随机过程。,42,平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的。 推论：一维分布与时间t无关， 二维分布只与时间间隔有关。从而有R(t1, t2)=E(t1)(t1+)=R(t1, t1+)=R(),广义平稳 随机过程,43,若平稳随机过程的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代，则称平稳随机过程具有“各态历经性”。,各态历经性,44,各态历经随机过程,“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只
15、需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。,45,2.8 平稳过程的相关函数与功率谱,自相关函数的意义： 平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述 自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函数的性质。 自相关函数定义： R()=E(t)(t+),46,自相关函数主要性质： R(0)=E2(t)=S-(t)的平均功率 R()= R(-) -偶函数 |R()| R(0) -上界 R()=E2(t) -(t)的直流功率 R(0)-R()=2 -(t
16、)的交流功率。 (t)的任一样本函数的功率谱密度为式中，FT()是fT(t)的频谱函数；fT(t)是f(t)的短截函数；f(t)是(t)的任一实现。,47,由于(t)是无穷多个实现的集合，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现的功率谱的统计平均，即 (t)的平均功率S可表示成,48,由(t)功率谱密度的定义，很难直接计算功率谱。确知信号的自相关函数与其功率谱密度是傅氏变换对。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即,49,简记为 R() P()。 上称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域的基本关系式。,
17、50,例2-1随机相位余弦波(t)=Asin(ct+)，其中A和c均为常数，是在(0,2)内均匀分布的随机变量。求(t)的自相关函数与功率谱密度。解：(1) 先考察(t)是否广义平稳。(t)的数学期望为,51,(t)的自相关函数为：,令t1=t, t2=t+,经过推导得：,52,因为cosc (-c)+(+c)所以，P()= (- c)+(+ c),仅与有关。由此看出， (t)是宽平稳随机过程。它的功率谱密度为：,53,定义若随机过程(t)的任意n维（n=1, 2, ）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函数表示如下：fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn
18、),2.9 高斯过程,54,式中, ak=E(tk)，2k=E(tk)-ak2，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即,b12 b1n b21 1 b2nbn1 bn2 1,|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bjk为归一化协方差函数：,55,高斯过程的特点： 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。 广义平稳的高斯过程是严平稳的。如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的M维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。 如果高斯过程在不
19、同时刻的取值是不相关的，则即对所有jk，有bjk=0，于是,56,=f(x1, t1)f(x2, t2)f(xn, tn) 高斯过程经线性变换后仍为高斯过程。,fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)=,即；如果高斯过程中的随机变量是互不相关的，则它们也是统计独立的。,57,常用的是高斯过程的一维分布。高斯过程在任一时刻上的样值是一维高斯随机变量，其概率密度函数可表示为概率密度函数的曲线为,58,特点 f(x)对称于x=a这条直线。，a表示分布中心，表示集中程度，f(x)图形将随着的减小而变高和变窄。当a=0，=1时，称f(x)为标准正态分布的密度函数。 正态分布函数,59
20、,这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下特殊函数：误差函数 互补误差函数,60,61,频率近似为fc,2.10 窄带随机过程-基本概念,何谓窄带?设随机过程的频带宽度为f，中心频率为fc。若f fc，则称此随机过程为窄带随机过程。 窄带随机过程的波形和表示式 波形和频谱：,62,表示式式中，aX(t) 窄带随机过程的随机包络；X(t) 窄带随机过程的随机相位；0 正弦波的角频率。 上式可以改写为：式中， X (t)的同相分量 X (t)的正交分量,2.10 窄带随机过程-基本概念,63,Xc(t)和Xs(t)的统计特性：设
21、X(t)是一个均值为0的平稳窄带高斯过程，则Xc(t)和Xs(t)也是高斯过程； Xc(t)和Xs(t) 的均值为0；方差相同，且等于X(t)的方差； 在同一时刻上得到的Xc和Xs是不相关的和统计独立的。,2.10 窄带随机过程-性质,64,aX(t)和X(t)的统计特性： 窄带平稳随机过程包络aX(t)的概率密度等于：窄带平稳随机过程相位X(t)的概率密度等于：,2.10 窄带随机过程-性质,瑞利分布,均匀分布,65,白噪声信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声， 它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 P()= (2.6 - 22) 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程
22、。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数,R()=,66,这说明，白噪声只有在=0时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。如果白噪声被限制在(-f0,f0)之内，即在该频率区上有P()= n0/2，而在该区间之外P()= 0，则这样的白噪声被称为低通白噪声。带限白噪声的自相关函数为,(2.6-24),67,式中， 由此看到，带限白噪声只有在 上得到的随机变量才不相关。它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。带限白噪声的自相关函数与功率谱密度如图2-5(b)所示。,68,2.11 正弦波加窄带高斯过程,通信系统中的正弦波
23、加窄带高斯过程： 正弦波加噪声的表示式：式中， A 正弦波的确知振幅；0 正弦波的角频率； 正弦波的随机相位；n(t) 窄带高斯噪声。,69,2.11 正弦波加窄带高斯过程,r (t )的包络x(t)的概率密度 ：式中， 2 n(t)的方差；I0() 零阶修正贝塞尔函数。pr(x) 称为广义瑞利分布，或称莱斯(Rice)分布。当A = 0时， pr(x) 变成瑞利概率密度。,70,r (t )的相位(t)的条件概率密度 ：式中， r( t )的相位，包括正弦波的相位 和噪声的相位；pr( / ) 给定 的条件下， r( t )的相位的条件概率密度,2.11 正弦波加窄带高斯过程,71,莱斯分布
24、的曲线 当A/ = 0时，包络瑞利分布相位均匀分布 当A/很大时，包络正态分布相位冲激函数,2.11 正弦波加窄带高斯过程,72,2.12 信号通过线性系统,线性系统的特性 有一对输入端和一对输出端 无源 无记忆 有因果关系：先有输入、后有输出 有线性关系：满足叠加原理 若当输入为xi(t)时，输出为yi(t)，则当输入为 时，输出为： 式中，a1和a2均为任意常数。,73,时域分析法设h(t) 系统的冲激响应x(t) 输入信号波形y(t) 输出信号波形则有：,2.12.2 确知信号通过线性系统,74,频域分析法 设：输入为能量信号，令 x( t ) 输入能量信号H( f ) h( t )的傅
25、里叶变换X( f ) x( t )的傅里叶变换y( t ) 输出信号 则此系统的输出信号y( t )的频谱密度Y( f )为：由Y( f )的逆傅里叶变换可以求出y( t )：,2.12.2 确知信号通过线性系统,75,物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有若输入为平稳随机信号X(t)，则输出Y(t)为输出Y(t)的数学期望EY(t),2.12.3 随机信号通过线性系统,76,由于已假设输入是平稳随机过程，故输出的数学期望：,EX(t-) = EX(t) = k，k = 常数。,77,输出Y(t)的自相关函数由自相关函数定义，有由X(t)的平稳性知，上式中的数学期望与t1无关，故有 由于Y
26、(t)的数学期望和自相关函数都和t1无关，故Y(t)是广义平稳随机过程。,2.12.3 随机信号通过线性系统,78,输出Y(t)的功率谱密度PY( f ) ：由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有令 = +u - v代入上式，得到输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度乘以 |H( f )|2。,2.12.3 随机信号通过线性系统,79,【例2.11】已知一个白噪声的双边功率谱密度为n0/2。试求它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声功率。解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：所以有：,2.12.3 随机信号通过线性系统,80,输出信号的功率谱密度为：输出信号的自相关函数：输出噪声功率： PY RY(0) = k2 n0 fH,2.12.3 随机信号通过线性系统,
