1、第一篇 以二次函数为基架探究点的存在性问题五.以特殊四边形为条件的存在问题26 （2011 临沂市 本小题满分 13分）如图：二次函数 y= x2 + ax + b的图象与 x轴交于 A（- 21，0）， B（2，0）两点，且与 y轴交于点 C（1）求该抛物线的解析式，并判断 ABC的形状；（2）在 x轴上方的抛物线上有一点 D，且 A、 C、 D、 B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点 P，使得以 A、 C、 B、 P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由解：（1）根据题意，将 1,02A， B（2，0）代入
2、 2yxab中，得 ,420.ab解这个方程，得3,1.ab该抛物线的解析式为 2yx (2分)当 x时， 1.点 C的坐标为 (0,).在 AO中， 2215.ACB第 26 题图在 BOC中， 2215.A. 2 254CBAB， 是直角三角形. (4分)（2）点 D的坐标为 3,12 (6分)（3）存在.(7分)由（1）知， ACB.若以 BC为底边，则 BCAP，如图 5所示.可求得直线 BC的解析式为 12yx.(8分)直线 AP可以看作是由直线 BC平移得到的，所以设直线 AP的解析式为 12yxb.把点 1,02A代入直线 AP的解析式，求得 4b，直线 AP的解析式为12yx.
3、 (9分)点 P既在抛物线上，又在直线 AP上,点 的纵坐标相等，即 231.24xx解得 15,(不合题意，舍去).当 x时， y.点 P的坐标为 53,2.(10分)若以 AC为底边，则 BP AC，如图 6所示.可求得直线 的解析式为21yx. (11分)直线 BP可以看作是由直线 AC平移得到的，所以直线 的解析式为 2yxb.把点 (2,0)代入直线 的解析式，求得 4.直线 BP的解析式为4yx.(12分)点 既在抛物线上，又在直线 BP上.点 的纵坐标相等,即 2314xx.解得 125, (不合题意，舍去).当 x时， 9y.点 P的坐标为 5,2.综上所述，满足题目条件的点
4、P为 53,2或 ,9.(13分)23 （2010 河南省 11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A )0,4(， B ),(， C)0,2(三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M为第三象限内抛物线上一动点，点 M的横坐标为 m， AMB的面积为 S求S关于 m的函数关系式，并求出 S的最大值（3）若点 P是抛物线上的动点，点 Q是直线 xy上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、 Q、 B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q的坐标MCBA O xy27 （2010 贵州省遵义市 14分）如图，已知抛物线 )0(2acbxy的顶点坐标为 Q1,2，且与 y轴交于点
5、C3,0，与 x轴交于 A、B 两点（点 A在点 B的右侧） ，点 P是该抛物线上一动点，从点 C沿抛物线向点 A运动（点 P与 A不重合） ，过点 P作 PD 轴，交 AC于点 D(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当ADP 是直角三角形时，求点 P的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点 E在 x轴上，点 F在抛物线上，问是否存在以 A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点 F的坐标；若不存在，请说明理由解：（1） （3 分）抛物线的顶点为 Q（2，-1）设 1xay将 C（0，3）代入上式，得 21 2xy， 即 342xy（2） （7 分）分两种情况：(3 分)当点 P1为直角
6、顶点时,点 P1与点 B重合(如图)令 y=0, 得 0342x解之得 x, 点 A在点 B的右边, B(1,0), A(3,0)P 1(1,0)(4 分)解:当点 A为APD 2的直角顶点是(如图)OA=OC, AOC= 90, OAD 2= 45当D 2AP2= 时, OAP 2= , AO 平分D 2AP2又P 2D2 y轴, P 2D2AO, P 2、D 2关于 x轴对称.设直线 AC的函数关系式为 bkxy（27 题图）将 A(3,0), C(0,3)代入上式得bk30, 31bk xyD 2在 上, P 2在 42xy上,设 D2( , ), P2(x, )( 3)+( 34)=0
7、065x, 1, 32(舍)当 =2时, 2y= =-1P 2的坐标为 P2(2,-1)(即为抛物线顶点)P 点坐标为 P1(1,0), P2(2,-1)(3)(4分)解: 由题(2)知,当点 P的坐标为 P1(1,0)时,不能构成平行四边形当点 P的坐标为 P2(2,-1)(即顶点 Q)时,平移直线 AP(如图)交 x轴于点 E,交抛物线于点 F.当 AP=FE时,四边形 PAFE是平行四边形P(2,-1), 可令 F( ,1) 1342x解之得: 2, 2xF 点有两点,即 F1( ,1), F2( ,1)26. (2010河池市 本小题满分 12分) 如图 11，在直角梯形 OABC中，
8、 A， 90OB，点 为坐标原点，点A在 x轴的正半轴上，对角线 ， 相交于点 M， 4， 2ACB（1）线段 的长为 ，点 的坐标为 ；（2）求 M的面积；（3）求过 ， A， C三点的抛物线的解析式；（4）若点 E在（3）的抛物线的对称轴上，点 F为该抛物线上的点，且以 ， O， F， E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 的坐标yxMC BO A图 11解：（1）4 2 ； ,4. （2 分）（2）在直角梯形 OABC中， OA=AB=4， 90OAB CB OA OAM BCM （3 分）又 OA=2BC AM2 CM ， CM 31AC （4 分）所以 823OCMACS （5 分
9、）（注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.）（3）设抛物线的解析式为 0yaxbc由抛物线的图象经过点 0, 4, 2C.所以424160cba（6 分）解这个方程组，得 1， b， 0c （7 分）所以抛物线的解析式为 24yx （8 分）（4） 抛物线 2的对称轴是 CD， 2x 当点 E在 x轴的下方时， CE和 OA互相平分则可知四边形 OEAC为平行四边形，此时点 F和点 C重合，点 F的坐标即为点 ,4C； （9 分） 当点 E在 轴的下方，点 F在对称轴 2x的右侧，存在平行四边形 AOEF，OA ，且 ，此时点 F的横坐标为 6，将 x代入 24yx，可得 12y.所
10、以 6,12. （11 分）同理，点 F在对称轴 x的左侧，存在平行四边形 OAEF， ，且E，此时点 F的横坐标为 ，将 2x代入 24yx，可得 12y.所以2,1.（12 分）综上所述，点 F的坐标为 2,4， 6,1,. （12 分）26.（山东省烟台市 本题满分 14分）如图，已知抛物线 y=x2+bx3 a过点 A（1，0） ， B（0，3） ，与 x轴交于另一点 C.（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点 P，使 PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点 P的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点 Q，使以 P， Q， B， C为顶点的四边形为
11、直角梯形？若存在，请求出yxMC BO AD点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把 A（1，0） ， B（0，3）代入 y=x2+bx3 a中，得1+b3 a=03 a=3 a=1解得b=2抛物线的解析式为y=x2+2x3 4分（2）令 y=0，得 x2+2x3=0，解得 x1=3， x2=1点 C（3，0）5分 B（0，3） BOC为等腰直角三角形. CBO=456分过点 P作 PD y轴，垂足为 D， PB BC， PBD=45 PD=BD8分所以可设点 P（ x，3+ x）则有3+ x=x2+2x3， x=1，所以 P点坐标为（1，4）10 分（3）由（2）知， BC BP当 BP为直角梯形一底时，由图象可知点 Q不可能在抛物线上.若 BC为直角梯形一底， BP为直角梯形腰时， B（0，3） ， C（3，0） ，直线 BC的解析式为 y= x311 分直线 PQ BC，且 P（1，4） ，直线 PQ的解析式为 y=（ x+1）31即 y= x512 分 y= x5联立方程组得 y=x2+2x3解得 x1=1， x2=213 分 x=2， y=3，即点 Q（2，3）符合条件的点 Q的坐标为（2，3）14 分
