1、1求函数的值域的常见方法求函数的值域是高中数学的重点学习内容，其方法灵活多样，针对不同的问题情景，要求解题者，选择合适的方法，切忌思维刻板。本文就已知解析式求函数的值域，这类问题介绍几种常用的方法。一、 直接法函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。例 1 已知函数 ， ，求函数的值域。12xy2,10x解：因为 ，而 ， ，,0x3ff 0f1f所以： ，3,y注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为 ，则函数的值Rx域为 。请体会两者的区别。1|二、 反函数法反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域
2、。例 2 求函数 的值域。125xy分析与解：注意到 ，由原函数求出用 表示 的关系式，进而求出值域。0yx2由 得： ，125xyx因为 ，所以 ，0140yy值域为： 14|y三、 函数的单调性例 3求函数 在区间 上的值域。xy1,0分析与解答：任取 ，且 ，则,21 21x，因为 ，所以： ，2121xxff 2100,2121xx当 时， ，则 ；21021xff2当 时， ，则 ；而当 时，1021x02x21xff 12miny于是：函数 在区间 上的值域为 。y, ),构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例 4：求函数 的值域。xxf1分析与解答：因为 ，而 与 在定义域内的
3、单调性0x1不一致。现构造相关函数 ，易知 在定义域内单调增。xg1)(g， ， ， ，21maxg2min 2x20x又 ，所以： ， 。42f 4ff四、 换元法对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例 5求函数 的值域。21)45)(125(2 xxy分析与解答：令 ，则 。92t 4t，54181822ttty当 时， ，值域为49t 689miny 168|y例 6求函数 的值域。x12分析与解答：令 ，则 ， ，t2t0212tty当 时，0t 0
4、2maxt所以值域为 。1,(例 7求函数 的值域。230xy分析与解答：由 = ，125x3令 ， cos25x因为 ， ， 1cos0cos20,0则 = in，2x于是： ， ，54sin25cosi y 45,，所以： 。14in27y五、 配方法对解析式配方，然后求函数的值域。此法适用于形如 ，cxfbfaxF2当要注意 的值域。xf例 8求函数 的值域。32xy分析与解答：因为 ，即 ， ，于是：01x4)1(2xy， 。4)1(02x0y例 9求函数 在区间 的值域。x24,x分析与解答：由 配方得： ，y2 62xxy当 时，函数 是单调减函数，所以 ；41x4x4186y当
5、时，函数 是单调增函数，所以 。22y 7所以函数在区间 的值域是 。4,x4186y六、 判别式法把函数 同解变形为关于的一元二次方程，利用 ，求原函数的值域，xfy 0此方法适用与解析式中含有分式和根式。4例 10求函数 的值域。132xy分析与解答：因为 ，原函数变形为：0422 （1）32yxy当 时，求得 ，所以 。2y3当 时，因为 ，所以一元二次方程（1）有实数根。则：Rx，即：0310203242 yyy所以 ，32七、 基本不等式法利用重要不等式 ， 求出函数的最值而得出值域的方法。此法ab2R,的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为
6、此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。例 11求函数 的值域。230xy分析与解答： 2643426xx因为分母不为 0，即 ，所以：2x当 时， ，当且仅当 时，2x1664x 6,x取等号， ；18maxy当 时， ，216)24(2)64( xx当且仅当 时，取等号， ；,)(x 50miny值域 )5018,y注意：利用重要不等式时，要求 且等号要成立。,0xf5八、 数形结合法当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例 12如例 4 求函数 的值域。xy1分析与解答：令 ， ，则 ，xuv0,vu， ，22vuyv原问题转化为 ：当直线 与圆 在直角坐标系 的第一象限有公yv22vuov共点时，求直线的截距的取值范围。由图 1 知：当 经过点 时， ；u),0(min当直线与圆相切时， 。22max OCDy所以：值域为 222OVUAB CDE
