1、 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网棱锥一.知识回顾:棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以 .柱柱3VSh正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.注：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.正
2、棱锥的侧面积： （底面周长为 ，斜高为 ）Ch21SCh棱锥的侧面积与底面积的射影公式： （侧面与底面成的二面角为 ）cos底侧 S 附： 以知 ， ， 为二面角 .clba bla则 ， ， 得S21lS21cos.cos底侧 S注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外
3、心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.每个四面体都有外接球，球心 0 是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；每个四面体都有内切球，球心 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面I的距离等于半径.注：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（）（各个侧面的等腰三角形不知是
4、否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证：ABCD，ACBD BCAD. 令bACcDaAB,labBCDabcFEHGBCDAO本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网得 ，已知cabADBCcabABC, 0,cabc则 .0ca0iii. 空间四边形 OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简证：取 AC 中点 ，则 平面O ACOBACo,90易知 EFGH 为
5、平行四边形 EFGH 为长方形.若对角 FGHBACO线等，则 为正方形.E二.基础训练:1给出下列命题：底面是正多边形的棱锥是正棱锥；侧棱都相等的棱锥是正棱锥；侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( )A)A0()B1()C2()D32如果三棱锥 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，SA且顶点 在底面的射影 在 内，那么 是 的( )OBOABCD垂心 重心 外心 内心()()()()已知三棱锥 的三个侧面与底面全等，且 ， ，3C32BC则以 为棱，以面 与面 为面的二面角的大小是( )BDA()A4()3)2)D3
6、24、若一个三棱锥中，有一条棱长为 a，其余棱长均为 1，则其体积 取得最大)(aF值时 的值为（ ）aA、1 B、 C、 D、232526三.例题分析:例 1正四棱锥 中，高 ，两相邻侧面所成角为 ，SACD6SO,23tan(1)求侧棱与底面所成的角。(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网GFED C1B1A1CBA解：（1） 作 于 ，连结 ，则 且 ，故CFSBAFCBAFSB是相邻侧面所成二面角的平面角，连结 ，则 ， AFCO，在 与 中， (其中2O
7、Rtt tan2sin1O为 与底面所成的角，设为 ) 故 。 SB3si,60（2）在 中，侧棱 = ， ，t sinSOBa42cotBS2边长 ；取 的中点 ，连结 ，则 是正四棱锥的斜高，24COCEE在 中，斜高 ；RtSEB2S7例 2如图正三棱锥 中，底面边长为 ，侧棱长为 ，若经过对1ABa2a角线 且与对角线 平行的平面交上底面于 。（1）试确定 点的位置，1A1CDB并证明你的结论；（2）求平面 与侧面 所成的角及平面 与底1A1B面所成的角；（3）求 到平面 的距离。 1AB解：（1） 为 的中点。连结 与 交于 ，则 为 的中点，DC11E1A为平面E1B与平面 的交线
8、， /平面A11ABD / ， 为 的中点。1CDC（2）过 作 于 ，由正三棱锥的性质， 平面 ，1FB1,ADF1AB连结 ，则 为平面 与侧面 所成的角的平面角，可求得G1AD1B，34Da本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网由 ，得 ，11BFGA:34Fa4DGF 为 的中点， ，由正三棱锥的性质， ， 平D1C11BAC1ABD1面 ， 是平面 与上底面所成的角的平面角，可求得1BA1D1，tan2Aarctn2（3）过 作 ， 平面 ， ， 平面1M1B1C1BDAM1ABD即 是 到平面
9、 的距离， ，111AD32Aa16a例 3如图，已知三棱锥 的侧面 是底角为 的等腰三角形，PBCP045，且该侧面垂直于底面， ， ， ， PAC901,6BC13B(1)求证：二面角 是直二面角；A(2)求二面角 的正切值；B(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体 ，求几1A何体 的侧面积1AC证 (1) 如图，在三棱锥 中，取 的中点 PABCD由题设知 是等腰直角三角形，且 PAC 平面 平面 ， 平面 ， 1B ， 平面 ，ACBPABA 平面 ， 平面 平面 ，PPC即二面角 是直二面角解 (2)作 ， 为垂足，则 是二面角DEABEABPED的平面角在 中， ，
10、则ABCRtC10,68,4由 ，得 Rtt:图 313PC1CBAA1B1图 3131PC1CBAEA1B1D本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 ，BCADE104652 所求正切为 tanPE3(3) 分别是 的中点132BC1,ABC,PABC ， 846PAS6421PS ，2ED251340PABS4 ， 几何体 的棱 锥 侧 316CPA1ABC侧面积 3924几 何 体 棱 锥 侧四、作业 同步练习 棱锥1给出下列命题：底面是正多边形的棱锥是正棱锥；侧棱都相等的棱锥是正棱锥；侧棱和底面成
11、等角的棱锥是正棱锥；侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( )A0(B1()C2()D32如果三棱锥 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点SA在底面的射影 在 内，那么 是 的( )SOOABC垂心 重心 外心 内心()()()()已知三棱锥 的三个侧面与底面全等，且 ， ，则以3 32BC为棱，以面 与面 为面的二面角的大小是( )BCDBC()A4()32()D324、若 P 是正四面体内一点，P 到各面距离之和是一个定值，这个定值等于（ ）A、正四面体的棱长 B、正四面体的斜高C、正四面体相对棱间的距离 D、正四面体的高5、若一个三棱锥中，
12、有一条棱长为 a，其余棱长均为 1，则其体积 取得最大值时 的)(aFa值为（ ）本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网A、1 B、 C、 D、2325266、一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为 1：3，则此截面把一条侧棱分成的两线段之比为（ ）A、1：3 B、1：2 C、1： D、1：37、正三棱锥的高是 ，侧棱长是 ，那么侧面和底面所成的二面角的大小是 . 378、三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度分别为 1cm,2cm,3cm，则此棱锥的体积为 。9、已知三棱锥 A-BCD 的体
13、积为 V，棱 BC 的长为 a，面 ABC 和面 DBC 的面积分别为 S1 和S2，设面 ABC 和面 DBC 所成二面角为 ，则 . sin10、三棱锥 P-ABC 中，PA=PB=PC=AB=AC=a，则该三棱锥表面积 S 的取值范围是 ；体积 V 的取值范围是 . 11如图，已知三棱锥 的侧面 是底角为 的等腰三角形， ，且该PABCP045PAC侧面垂直于底面， ， ， ， 901,613BC(1)求证：二面角 是直二面角；(2)求二面角 的正切值；PAB(3)若该三棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个几何体 ，求几何体1A的侧面积1C12、已知在四面体 ABCD 中， = a， =
14、 b， = c， G平面 ABC PABPC（1）若 G 为 ABC 的重心，试证明 (a+b+c)；31（2）试问（ 1）的 逆命题是否成立？PC1CBAA1B1ABCDGP本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网并证明你的结论参考答案ADCDDD7、 8、1cm 3 9、 10、 6021sva22)13(aSa380V11、证 (1) 如图，在三棱锥 中，取 的中点 PABCD由题设知 是等腰直角三角形，且 PACPAC 平面 平面 ， 平面 ， 1B图 3131PC1CBAEA1B1D本资料来自于资
15、源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网 ， 平面 ，ACBPABCPABC 平面 ， 平面 平面 ，P即二面角 是直二面角解 (2)作 ， 为垂足，则 是二面角 的平DEEEDPABC面角在 中， ，则RtABC10,6B8,4ACP由 ，得 t: ，E10452 所求正切为 tanPDE3(3) 分别是 的中点132BC1,ABC,PABC ， 846PAS6421PS ，2ED251340PABS4 ， 几何体 的侧棱 锥 侧 316CPAS1ABC面积 3924几 何 体 棱 锥 侧12、解：（1）连 AG交 BC于 D，则 D平分 BC，且 G分 所成的比为21，从而AD，AGP32a，)2(1)()(1)(2 acbPCPBCAD故 2cbacb（2）逆命题成立，证明如下：设 D 分 所成的比为 p， G 分 所成的比为 qBAD则 ， )(1PBCp )(1PADA，CpPBpP1本资料来自于资源最齐全的世纪教育网 21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网于是， )1(1PACpPBqPAGP = ppqA)()(1因 (a+b+c)，故 ，3G 3)1(1pqq解得 q =2， p = 1，于是 G 为 ABC 的重心
