1、圆锥曲线设而不求法典型试题例 1,弧 ADB 为半圆，AB 为直径，O 为半圆的圆心，且 OD 垂直于 AB，Q 为半径 OD 的中点，已知 AB 长为 4，曲线 C 过 Q 点，动点 P 在曲线 C 上运动且始终保持/PA/+/PB/的值不变。过点 D 的直线与曲线 C 交于不同的两点M、N，求三角形 OMN 面积的最大值。 例 2：已知双曲线 x2-y2/2=1，过点 M(1,1)作直线 L，使 L 与已知双曲线交于 Q1、 Q2 两点，且点 M 是线段 Q1Q2 的中点，问：这样的直线是否存在？若存在，求出 L 的方程；若不存在，说明理由。解：假设存在满足题意的直线 L，设 Q1(X1,
2、Y1)，Q 2(X2,Y2)代人已知双曲线的方程，得 x12- y12/2=1 ， x 22-y22/2=1 -，得(x 2-x1)(x2+x1)-(y2-y1)(y2+y1)/2=0。当 x1=x2 时，直线 L 的方程为 x=1，此时 L 与双曲线只有一个交点(1,0)不满足题意；当 x1x2 时，有(y 2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2.故直线 L 的方程为 y-1=2(x-1)检验：由 y-1=2(x-1)，x 2-y2/2=1，得 2x2-4x+3=0,其判别式=-8 0，此时 L 与双曲线无交点。 综上，不存在满足题意的直线例 3,已知，椭圆 C 以
3、过点 A（ 1， 32） ，两个焦点为（1，0） （1，0） 。（1） 求椭圆 C 的方程；（2） E,F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 （）解 由题意，c1,可设椭圆方程为2114xyb。 因为 A 在椭圆上，所以 29，解得 23， 2b 4（舍去） 。所以椭圆方程为 243xy （）证明 设直线 方程：得 (1)2kx，代入2143xy得 23+4(2)0kx（ ）设 （ E， y） ， （ Fx， y） 因为点 （1， ）在椭圆上，所以234()1Ekx， 32Eykx。 又直线 AF 的斜率
4、与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以 k代 ，可得2()34Fkx， Fykx。所以直线 EF 的斜率 ()21EFEExk。即直线 EF 的斜率为定值，其值为 12。 4,已知直线 20xy经过椭圆 :(0)xyCab的左顶点 A 和上顶点 D，椭圆 C的右顶点为 B，点S和椭圆 C上位于 轴上方的动点，直线， ,ASB与直线 1:3lx分别交于 ,MN两点（1）求椭圆 的方程；（2）求线段 MN 的长度的最小值；解 方法一（1）由已知得，椭圆 C的左顶点为 (2,0)A上顶点为 (0,1)2,1Dab故椭圆 C的方程为214xy（2）直线 AS 的斜率 k显然存在，且 k，故可设直线 S
5、的方程为 ()ykx，从而 106(,)3M，由 2()14xy得 222(4)164xk0，设 1(,)Sxy则 12(,k得 28，从而 12y 即228,),4k又 (,0)B由(103yx得 31yk1(,)3Nk故 16|3kMN又 668,|23kMN 当且仅当 13k，即 14时等号成立4k时，线段 的长度取最小值 3例 5已知点 , 是抛物线 上的两个动点, 是坐标原点,向量 ,1()Axy2()B120)x2(0)ypxOA满足 .设圆 的方程为OBOC2112y(1) 证明线段 是圆 的直径;(2)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为 时，求 p 的值5解
6、析：(I )证明 1: 22,()()ABOABO22 2OAO 整理得: ，01120xy设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点 ,则 0M即 12()()xy整理得: 1212()故线段 是圆 的直径ABC证明 2: 22,()()OABOAOB22整理得: 0(1)1212xy设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则即 1221(,)x去分母得: 2()(0y点 满足上方程,展开并将(1)代入得:11,()xy222x故线段 是圆 的直径ABC证明 3: 22,()()OABOAOB22 整理得: 0(1)1212xy以线段 AB 为直径的圆的方程为 222111()(
7、)()()4yxy展开并将(1)代入得:212120xyx故线段 是圆 的直径ABC(II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12y2211,(0)pxp4又因 1212y1212xy4p12120,y212121()()444x yyyppp21()y所以圆心的轨迹方程为 22yx设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则2221|()| |555pxyypd2|()|p当 y=p 时,d 有最小值 ,由题设得525p.2p解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12xy112,(0)pxp24又因 1212yx12124p0,y12y221211()()444x
8、 yyppp2()y所以圆心的轨迹方程为 22yx设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为 ,则52m因为 x-2y+2=0 与 无公共点,22ypx所以当 x-2y-2=0 与 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为 25220()3xyp 将(2)代入(3)得 20py224()0.p解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则12xy圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则1212|()|5xyd21122,(0ypxp4x又因 1212y12124yp0,xy1221122 21121|()()| 4()8|455yypyppd21()y当 时,d 有最小值 ,由题设得12p5p25p.
