1、全国中学生物理竞赛集锦（光学）第 21 届预赛 2004.9.5一、（15分）填空1d一个可见光光子的能量的数量级为_J。2已知某个平面镜反射的光能量为入射光能量的80。试判断下列说法是否正确，并简述理由。a 反射光子数为入射光子数的80；b每个反射光子的能量是入射光子能量的80。六、（15分）有一种高脚酒杯，如图所示。杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R1.50cm，O 到杯口平面的距离为8.0cm。在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O 点6.3cm。这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看
2、到画片上的景物。已知玻璃的折射率n 11.56，酒的折射率n21.34。试通过分析计算与论证解释这一现象。第 21 届复赛四、(20 分) 目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形） 如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了
3、的情况来说明如图，S 1、S 2、S 3 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为 =arctan 的圆锥形光束请使4用三个完全相同的、焦距为 f = 1.50h、半径为 r =0.75 h 的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于 z 轴（以 S2 为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离 S2 为 L = 12.0 h 处的 P 点 （加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距 ）1求出组合透镜中每个透镜光心的位置2说明对
4、三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据第 20 届预赛LS1S3PS2 hh z一、 （20 分）两个薄透镜 L1 和 L2 共轴放置，如图所示已知 L1 的焦距 f1=f , L2 的焦距f2=f，两透镜间距离也是 f小物体位于物面 P 上，物距 u1 3f（1）小物体经这两个透镜所成的像在 L2 的_边，到 L2 的距离为_，是_倍（虚或实） 、_像（正或倒） ，放大率为_。（2）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向_边移动距离_这个新的像是_像（虚或实）、_像（正或倒）放大率为_。第 20 届复赛四、(20 分) 如图所示，一半径为 、折射率为
5、 的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半Rn径为 的区域被涂黑一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面 为以球0h Ox心 为原点，与平而垂直的坐标轴通过计算，求出坐标轴 上玻璃半球右边有光线通O x过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标第 19 届预赛五、 （20 分）图预 19-5 中，三棱镜的顶角 为 60，在三棱镜两侧对称位置上放置焦距均为 的两个完全相30.cmf同的凸透镜 L1 和 L2若在 L1的前焦面上距主光轴下方处放一单色点光源4.cy，已知其像 与 对该光学SS系统是左右对称的试求该三棱镜的折射率第 19 届复赛五、 （20 分）薄凸透镜放在空
6、气中时，两侧焦点与透镜中心的距离相等。如果此薄透镜两侧的介质不同，其折射率分别为 和 ，则透镜两侧各有一个焦点（设为 和 ） ，但 、1n2 1F21和透镜中心的距离不相等，其值分别为 和 2f。现有一个薄凸透镜 ，已知此凸透镜2F1 L对平行光束起会聚作用，在其左右两侧介质的折射率及焦点的位置如图复 19-5 所示。1试求出此时物距 ，像距 ，焦距 、 2f四者之间的关系式。uv12若有一傍轴光线射向透镜中心，已知它与透镜主轴的夹角为 ，则与之相应的出1射线与主轴的夹角 多大？23 ， ， ， 四者之间有何关系？1f1n六、 （20 分）在相对于实验室静止的平面直角坐标系 中，S有一个光子，
7、沿 轴正方向射x向一个静止于坐标原点 的电子在 轴方向探测到一个散射光子已知电子的静止质量Oy为 ，光速为 ,入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的 1100mc1试求电子运动速度的大小 ,电子运动的方向与 轴的夹角 ；电子运动到离原点距vx离为 （作为已知量）的 点所经历的时间 0LAt2在电子以 1 中的速度 开始运动时，一观察者 相对于坐标系 也以速度 沿 中SSvS电子运动的方向运动(即 相对于电子静止)，试求 测出的 的长度S OA第 18 届预赛三、（18 分）一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜处，透镜的折射率 。若将此透镜的凸面镀银，物置于
8、平面前 12 处，48cmf1.5n cm求最后所成象的位置。第 18 届复赛一、 （22 分）有一放在空气中的玻璃棒，折射率 ，中心轴线长 ，一端是半1.5n45cL径为 的凸球面10cR1要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统） ，取中心轴线为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？2对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光柬与玻璃棒的主光轴成小角度时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求 （此比值等于此玻璃棒望远系统1 21/的视角放大率） 第 17 届预赛三、 （15 分）有一水平放置的平行平面玻璃板 ，厚H3.0 cm，
9、折射率 。在其下表面下 2.0 cm 处有一小物 ；在玻璃扳上方有一薄凸透镜1.5nS，其焦距 ，透镜的主轴与玻璃板面垂直； 位于透镜的主轴上，如图预 17-3L30cmf所示。若透镜上方的观察者顺着主轴方向观察到 的像就在 处，问透镜与玻璃板上表面的距离为多少?第 17 届复赛二、 （20 分）如图复 17-2 所示，在真空中有一个折射率为 （ ， 为真空的折射率） 、半径为 的n0nr质地均匀的小球。频率为 的细激光束在真空中沿直线 传播，直线 与小球球心 的距离为 （BCOl） ，光束于小球体表面的点 点经折射进入小球lrC（小球成为光传播的介质） ，并于小球表面的点 点D又经折射进入真
10、空设激光束的频率在上述两次折射后保持不变求在两次折射过程中激光束中一个光子对小球作用的平均力的大小六、（25 分）普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯 和包层 组成， 的折射率小于AB的折射率，光纤的端面和圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯 和包层 的分界面AB上发生多次全反射现在利用普通光纤测量流体 的折射率实验方法如下：F让光纤的一端（出射端）浸在流体中令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚光纤入射端面的中心 ，经端面折射进入光纤，在光纤中O传播由点 出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为 ，如图复017-6-1 所示最后光从另
11、一端面出射进入流体 在距出射端面 处放置一垂直于光纤F1h轴的毛玻璃屏 ，在 上出现一圆形光斑，测出其直径为 ，然后移动光屏 至距光纤DdD出射端面 处，再测出圆形光斑的直径 ，如图复 17-6-2 所示2h2d1若已知 和 的折射率分别为 与 ，求被测流体 的折射率 的表达式ABAnBFFn2若 、 和 均为未知量，如何通过进一步的实验以测出 的值?n0第 16 届预赛五、 （15 分）一平凸透镜焦距为 ，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它 处，垂直于f 2f主轴放置一高为 的物，其下端在透镜的主轴上（如图预 16-5） 。H1. 用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。2.
12、 用计算法求出此像的位置和大小。第 16 届复赛二、 （25 分）两个焦距分别是 和 的薄透镜 和 ，相距为 ，被共轴地安置在光具1f21L2d座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。全国中学生物理竞赛集锦（光学）答案第 21 届预赛 2004.9.5一、1. d. 10 192. a正确，b不正确。理由：反射时光频率 不变，这表明每个光子能量h 不变。评分标准：本题15分，第1问10分，每一空2分。第二问5分，其中结论占2分，理由占3分。六、把酒杯放平，分析成像问题。 1未斟酒时，杯底凸球
13、面的两侧介质的折射率分别为n 1和n 01。在图1中，P为画片中心，由P 发出经过球心C的光线 PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成 图 1角的另一光线PA在A 处折射。设A处入射角为i ，折射角为r，半径CA与PO的夹角为 ，由折射定律和几何关系可得n1sinin 0sinr （1） i+ （2）在PAC中，由正弦定理，有（3）siniRPC考虑近轴光线成像， 、i、r 都是小角度，则有（4）10（5）RiPC由（2）、（4）、（5）式、n 0、n l、R 的数值及 cm可得4.8PCO 1.31i （6）r 1.56i （7）由（6）、（7）式有r （8）由上式及图1可知，折
14、射线将与PO延长线相交于P ，P 即为P点的实像画面将成实像于P 处。在CAP 中，由正弦定理有（9）siniRCPr又有 r + (10)考虑到是近轴光线，由（9）、（l0 ）式可得(11)PRr又有（12）OC由以上各式并代入数据，可得cm （13）7.9P由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O 点7.9 cm处。已知O到杯口平面的距离为8.0cm ，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物。2斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n 1和n 2，如图2所示，考虑到近轴光线有图 2（14）12nri代入n 1和n 2的值，可得r1.
15、16i （15）与（6）式比较，可知r （16）由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P ，P 即为 P点的虚像。画面将成虚像于P 处。计算可得（17）rCR又有（18）OP由以上各式并代入数据得cm （19）13由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P处，距O点13cm即距杯口21 cm。虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像。评分标准：本题15分求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（l9）式，给5分，说明“看到”再给3分。第 21 届复赛四、1考虑到使 3 个点光源的 3 束光
16、分别通过 3 个透镜都成实像于 P 点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于 z 轴，三个光心 O1、O 2、O 3 的连线平行于 3 个光源的连线，O 2 位于 z 轴上，如图 1 所示图中表示组合透镜的平面， 、 、 为三个光束M S2中心光线与该平面的交点 u 就是物距根据透镜成像公式(1)fuL1可解得4212fLu因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于 P 点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有 2utan h 即 u2h在上式中取“”号，代入 f 和 L 的值，算得1.757h (2)36( z LS1 PS2 hh 1SS3O1 O2(S2)O3 图 1MMu此解满
17、足上面的条件 分别作 3 个点光源与 P 点的连线为使 3 个点光源都能同时成像于 P 点，3 个透镜的光心 O1、O 2、O 3 应分别位于这 3 条连线上（如图 1） 由几何关系知，有(3) hhLuO854.0)24(21 即光心 O1 的位置应在 之下与 的距离为S(4)S16.21同理，O 3 的位置应在 之上与 的距离为 0.146h 处由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜33中心之间距离必须等于 0.854h，才能使 S1、S 2、S 3 都能成像于 P 点2现在讨论如何把三个透镜 L1、L 2、L 3 加工组装成组合透镜因为三个透镜的半径 r = 0.75h，将它们的光心分别放置
18、到 O1、 O2、 O3处时，由于 0.854h2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，132然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况图 2 画出了 L1、L 2 放在 平面内时相互交叠的情况（纸面为 平面） 图中M MC1、C 2 表示 L1、L 2 的边缘， 、 为光束中心光线与透镜的交点，W 1、W 2 分别为1S2C1、C 2 与 O1O2 的交点为圆心的圆 1 和以 （与 O2 重合）为圆心的圆 2 分别S 是光源 S1 和 S2 投射到 L1 和 L2 时产生的光斑的边缘，其半径均为(5)hu439.0tan根据题意，
19、圆 1 和圆 2 内的光线必须能全部进入透镜首先，圆 1 的 K 点（见图 2）是否落在 L1 上？由几何关系可知(6)hrhSO75.058.46.039.11 故从 S1 发出的光束能全部进入 L1为了保证全部光束能进入透镜组合，对 L1 和 L2 进行加工时必须保留圆 1 和圆 2内的透镜部分下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法在 O1和 O2 之间作垂直于 O1O2 且分别与圆 1 和圆 2 相切的切线 和 若沿位于 和QNQ之间且与它们平行的任意直线 对透镜 L1 和 L2 进行切割，去掉两透镜的弓形部分，N T然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部同理，对 L2 的下
20、半部和 L3 进行切割，然后将 L2 的下半部和 L3 粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜这个组合透镜可以将 S1、S 2、S 3 发出的全部光线都会聚到 P 点现在计算 和 的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件设透镜QNL1 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x1，透镜 L2 被切去部分沿 O1O2 方向的长度为 x2，如图2 所示，则对任意一条切割线 ， x1、x 2 之和为T（7）hrd64.021由于 必须在 和 之间，从图 2 可看出，沿 切割时，x 1 达最大值(x 1M)，x 2 达T Q最小值(x 2m)， 11OSrxM代入 r， 和 的值，得1OS0.14
21、6h0.854h0.439h0.439hhS1O2 (S2)O1W1W2Q QN NT TC1C2圆 1圆 2图 2x2x1K(8)hxM457.01代入(7)式，得(9)dm89.2由图 2 可看出，沿 切割时，x 2 达最大值(x 2M)，x 1 达最小值(x 1m)， N r代入 r 和 的值，得(10)h3.02（11）xdMm51由对称性，对 L3 的加工与对 L1 相同，对 L2 下半部的加工与对上半部的加工相同评分标准：本题 20 分第 1 问 10 分，其中（2）式 5 分， （3）式 5 分，第 2 问 10 分，其中(5)式 3 分，(6)式 3 分，(7) 式 2 分，(
22、8) 式、(9)式共 1 分，(10)式、(11)式共 1 分如果学生解答中没有(7)(11)式，但说了“将图 2 中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉） ”给 3 分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证 O1O2=O1O2=0.854h，再给 1 分，即给(7)(11) 式的全分（4 分） 第 20 届预赛一、参考解答（1） 右 f 实 倒 1 。（2） 左 2f 实 倒 1 。评分标准：本题 20 分，每空 2 分。第 20 届复赛四、参考解答图复解 20-4-1 中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域） ，光线
23、在球面上的入射角和折射角分别为 和 ，折射光线与坐标轴的交点在 。i P令轴上 的距离为 ， 的距离为 ，根据折射定律，有OPxMPl（1）sin在 中OMP（2）sinlxi（3）22cosRi由式（1）和式（2）得xl再由式（3）得22(cos)nxi设 点到 的距离为 ，有MOxhsiR222coniRh得 22xxn（4）21()0Rh解式（4）可得（5）2221nnx为排除上式中应舍弃的解，令 ，则 处应为玻璃半球在光轴 上的傍轴焦点，由上0hxOx式 2()1nnxRR或由图可知，应有 ，故式（5）中应排除号中的负号，所以 应表示为R x（6）222hhxn上式给出 随 变化的关系
24、。xh因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有 ，其中折射0h光线与 轴交点最远处的坐标为O（7）2220001nRhnhx在轴上 处，无光线通过。0x随 增大，球面上入射角 增大，当 大于临界角 时，即会发生全反射，没有折射光hiiCi线。与临界角 相应的光线有CiC1sinhR这光线的折射线与轴线的交点处于（8）22C11nRxn在轴 上 处没有折射光线通过。OxR由以上分析可知，在轴 上玻璃半球以右Ox（9）C0的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。 与 就是所要求的分界点，如图复解 20-0xC4-2 所 示评分标准：本题 20 分。求得式（7）并指出在 轴上 处无
25、光线通过，给 10 分；求得式（8）并指出在 轴Ox0 Ox上 处无光线通过，给 6 分；得到式（9）并指出 上有光线段的位置，给 4 分。0x Ox第 19 届预赛五、参考解答由于光学系统是左右对称的，物、像又是左右对称的，光路一定是左右对称的。该光线在棱镜中的部分与光轴平行。由 射向 光心的光线的光路图如图预解 19-5 所示。由对S1L称性可知12ir由几何关系得 1260ri由图可见1ir又从 的边角关系得1FSOtan/yf代入数值得rct(14.3/0)25.49由、与式得 ，1.i根据折射定律，求得1sin.65r评分标准：本题 20 分1. 图预解 19-5 的光路图 4 分。
26、未说明这是两个左右对称性的结果只给 2 分。2. 、式各给 2 分，式给 3 分，式给 1 分，式给 4 分。第 19 届复赛五、参考解答利用焦点的性质，用作图法可求得小物 的像 ，如下图所示。PQ（1）用 和 分别表示物和像的大小，则由图中的几何关系可得yQ QPP F1 F2u vn1 n2y yf1 f2图复解 19-5-1（1）12ufyvf121()f简化后即得物像距公式，即 ， ， ， 之间的关系式uvf2（2）12fuv（2）薄透镜中心附近可视为筹薄平行板，入射光线经过两次折射后射出，放大后的光路如图复解19-5-2所示。图中 为入射角， 2为与之相应的出射角， 为平行板中的光线
27、1与法线的夹角。设透镜的折射率为 ，则由折射定律得n（3）12siisin对傍轴光线， 、 21，得 ， ，因而得12in（4）12n（3）由物点 射向中心 的入射线，经QO折射后，出射线应射向 ，如图复解19-5-3L所示，在傍轴的条件下，有（5）12tantanyyuv，二式相除并利用（4）式，得（6）12yvn用（1）式的 代入（6）式，得1/()fuf12()nfvn1 n212n图复解 19-5-2QQPPF1F2L2u vuy 1yn1 n2图复解 19-5-3即 （7）12nuvf用（1）式的 代入（6）式，得2/()/yf21vunf即 （8）21fnuv从而得 ， ， ， 之
28、间关系式1f22（9）1nf六、参考解答（1）由能量与速度关系及题给条件可知运动电子的能量为（1）22001.1(/)mccv由此可解得（2）.2.47.20c入射光子和散射光子的动量分别为 和 ，方向如图复解19-6所示。电子hpc的动量为 ， 为运动电子的相对论质量。由动量守mv恒定律可得（3）02cos1(/)hv（4）02sin(/)cc已知 （5）20.1hm由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得（6）20.37/ch（7）.（8）127tanrcta()36.1 图复解 19-6光子散射方向光子入射方向 光子入射方向 电子 A电子从 点运动到 所需时间为OA（9）02.4/Ltc
29、v（2）当观察者相对于 沿 方向以速度 运动时，由狭义相对论的长度收缩效应得SOv（10）201(/)（11）.9L第 18 届预赛三、参考解答1先求凸球面的曲率半径 。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球R面上发生折射，交主光轴于 点，如图预解 18-3-1 所示。 点为球面的球心， ，FCCOR由正弦定理，可得（1）sin()Rfr由折射定律知（2）si1nr当 、 很小时， ， ， ，由以上两式得isirsin()risni（3）11fRi所以（4）()nf2. 凸面镀银后将成为半径为 的凹面镜，如图预解 18-3-2 所示令 表示物所在位置， 点经平PP面折射成像 ，根据折
30、射定律可推出（5）On由于这是一个薄透镜， 与凹面镜P的距离可认为等于 ，设反射后成像于 ，则由球面镜成像公式可得P（6）12RO由此可解得 ，可知 位于平面的左方，对平面折射来说， 是一个虚物，3cmP P经平面折射后，成实像于 点。（7）1POn所以 （8）24cm最后所成实像在透镜左方 24 cm 处。评分标准：本题 18 分（1） 、 （2）式各 2 分；（3）或（4）式 2 分；（5）式 2 分；（6）式 3 分；（7）式 4 分；（8）式 3 分。第 18 届复赛一、参考解答1. 对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线
31、也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图复解 18-1-1 所示，图中 为左端球面的球心1C由正弦定理、折射定律和小角度近似得（1）111sin()(/)AFRririn即 （2）1光线 射到另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球1P心 一定在端面顶点 的左方， 等于球面的半径 ，如图复解 18-1-12CB2C2R仿照上面对左端球面上折射的关系可得（3）12FRn又有 （4）1LA由（2） 、 （3） 、 （4）式并代入数值可得（5）25cm即右端为半径等于 5 的向外凸的球面2. 设从无限远处物点射入的平行光线用、 表示，令 过 ，过 ，如图复解1CA18
32、-1-2 所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点 ，即为左端球面对此无限远物点M成的像点现在求 点的位置。在 中M1AC（6）11sin()siin()RAMC又 （7）1sin已知 ， 均为小角度，则有（8）11()n与（2）式比较可知， ，即 位于过 垂直于主光轴的平面上上面已知，玻1AMF1F璃棒为天文望远系统，则凡是过 点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线容易看出，从 射出 的光线将沿原方向射出，这也就是过 点的任意光线（包括2CM光线 、 ）从玻璃棒射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为 ，由图复218-1-2 可得（9）1122FARB由（2） 、 （3）
33、式可得 112则（10）21R第 17 届预赛三、参考解答物体 通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。设S透镜的主轴与玻璃板下表面和上表面的交点分别为 和 ，AB作为物，通过玻璃板 的下表面折射成像于点 处，由图预H1S解17-3，根据折射定律，有sinir式中 是空气的折射率，对傍轴光线， 、 很小，1.0nir， ，则sitaitar1ADnS式中 为物距， 为像距，有S1（1）SAn将 作为物，再通过玻璃板 的上表面折射成像于点 处，这时物距1SH2S为 同样根据折射定律可得像距B（2）12SBn将 作为物，通过透镜 成像，设透镜与 上表面的距离为 ，则物距 根2SLHxuxSB据题
34、意知最后所成像的像距 ，代入透镜成像公式，有()vxSAB（3）211fxSB由（1）、（2）、（3）式代入数据可求得（4）1.0cm即 应置于距玻璃板 上表面1.0 cm 处。LH第 17 届复赛二、参考解答在由直线 与小球球心 所确定的平面中，激光光束两次折射的光路 如图复BCOBCDE解 17-2 所示，图中入射光线 与出射光线 的延长线交于 ，按照光的折射定律有DEG（1）0sini式中 与 分别是相应的入射角和折射角，由几何关系还可知（2）sinlr激光光束经两次折射，频率 保持不变，故在两次折射前后，光束中一个光子的动量的大小 和 相p等，即（3）hpc式中 为真空中的光速， 为普
35、朗克常量因射入小球的光束中光子的动量 沿 方向，ch pBC射出小球的光束中光子的动量 沿 方向，光子动量的方向由于光束的折射而偏转了一pDE个角度 ，由图中几何关系可知2（4）2()若取线段 的长度正比于光子动量 ， 的长度正比于光子动量 ，则线段 的1GNp2GNp12N长度正比于光子动量的改变量 ，由几何关系得（5）2sinsihpc为等腰三角形，其底边上的高 与 平行，故光子动量的改变量 的方12GNGHCDp向沿垂直 的方向，且由 指向球心 CDO光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的传播时间，即（6）02cos/rtn式中 是光在小球内的传播速率。0/cn按照牛顿第二定律，光子
36、所受小球的平均作用力的大小为（7）0sincohpftr按照牛顿第三定律，光子对小球的平均作用力大小 ，即Ff（8）0sincohFr力的方向由点 指向点 由（1）、（2）、（4）及（8）式，经过三角函数关系运算，OG最后可得（9）2020(/)nlhrlFrn评分标准：本题 20 分（1）式 1 分，（5）式 8 分，（6）式 4 分，（8）式 3 分，得到（9）式再给 4 分。六、参考解答1由于光纤内所有光线都从轴上的 点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位O于通过轴的纵剖面内，图复解 17-6-1 为纵剖面内的光路图，设由 点发出的与轴的夹角O为 的光线，射至 、 分界面的入射角为 ，
37、反射角也为 该光线在光纤中多次反射时ABii的入射角均为 ，射至出射端面时的入射角为 若该光线折射后的折射角为 ，则由几i 何关系和折射定律可得（1）90（2）siniFA当 大于全反射临界角 时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射iC向出射端面，而 的光线则因i在发生反射时有部分光线通过折射进入 ，反射光强随着反射次B数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了因而能射向出射端面的光线的 的数值一定大于或等于 ， 的值由下式决定i Ci（3）sinACB与 对应的 值为Ci（4）90Ci当 时 ， 即 时 ， 或0 22sinicos1sin1(/)BCCA
38、i n时，由 发出的光束中，只有 的光线才满足 的条件，才2sinABAOCi能射向端面，此时出射端面处 的最大值为（5）max90Ci若 ，即 时，则由 发出的光线都能满足 的条件，因而都0C2sinABA Ci能射向端面，此时出射端面处 的最大值为（6）max0端面处入射角 最大时，折射角 也达最大值，设为 ，由（2）式可知max（7）maxaxsinsiFA由（6）、（7）式可得，当 时0C（8）maxsinAF由（3）至（7）式可得，当 时0C（9）2maxaxcosiniAFBAn的数值可由图复解 17-6-2 上的几何关系求得max（10）21max 21()/sin()dh于是
39、的表达式应为Fn（ ） （11）222110()/()sinAdh 0Ca（ ） （12）222112()/()FBd02. 可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得 、1h、 、 ，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同已知空气的折射率等于 1，故2h1d2有当 时 （13）0Ca222110()/()1sinAdh当 时 （14）0Ca 222112()/()1BAdhn将（11）、（12）两式分别与（13）、（14）相除，均得（15）2221121()/()Fdhdn 这结果适用于 为任何值的情况。0评分标准：本题 25 分1. 18 分。（8）式、（9）式各
40、6 分，求得（11）式、（12）式再各给 3 分2. 7 分。（13）式、（14）式各 2 分，求得（15）式再给 3 分。如果利用已知其折射率的液体代替空气，结果正确，照样给分。第 16 届预赛五、参考解答1. 用作图法求得物 ，的像 及所用各条光线的光路如图预解16-5所示。AP说明：平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 和与它密接的平面镜 的组合LM，如图预解16-5所示图中 为 的光心， 为主轴， 和 为 的两个焦点，LMOLAFFL为物，作图时利用了下列三条特征光线：AP（1）由 射向 的入射光线，它通过 后方向不变，沿原方向射向平面镜 ，然后POOM被 反射，反射光线与主轴的夹
41、角等于入射角，均为 。反射线射入透镜时通过光心 ，MO故由透镜射出时方向与上述反射线相同，即图中的 P（2）由 发出已通过 左方焦点 的入射光线 ，它经过 折射后的出射线与主LFRL轴平行，垂直射向平面镜 ，然后被 反射，反射光线平行于 的主轴，并向左射入 ，ML经 折射后的出射线通过焦点 ，即为图中的 L（3）由 发出的平行于主轴的入射光线 ，它经过 折射后的出射线将射向 的焦PQ点 ，即沿图中的 方向射向平面镜，然后被 反射，反射线指向与 对称的 点，FQFMF即沿 方向。此反射线经 折射后的出射线可用下法画出：通过 作平行于 的辅助LOQ线 ， 通过光心，其方向保持不变，与焦面相交于 点
42、，由于入射平行光线经透SO T镜后相交于焦面上的同一点，故 经 折射后的出射线也通过 点，图中的 即为FT经 折射后的出射光线。QFL上列三条出射光线的交点 即为 组合所成的 点的像，对应的 即 的像PLMPA点由图可判明，像 是倒立实像，只要采取此三条光线中任意两条即可得 ，即A P为正确的解答。2. 按陆续成像计算物 经 组合所成像的伙置、大小。APLM物 经透镜 成的像为第一像，取 ，由成像公式可得像距 ，即像在APL12uf12vf平向镜后距离 处，像的大小 与原物相同， 。2fHH第一像作为物经反射镜 成的像为第二像。第一像在反射镜 后 处，对 来说M2f是虚物，成实像于 前 处。像
43、的大小 也与原物相同， 。M2f H第二像作为物，而经透镜 而成的像为第三像，这时因为光线由 右方入射，且物LL（第二像）位于 左方，故为虚物，取物 ，由透镜公式 可得像距32uf31uvf320fuvf上述结果表明，第三像，即本题所求的像的位置在透镜左方距离 处，像的大小23f可由 求得，即H31vu3H像高为物高的 。13第 16 届复赛二、参考解答l在所示的光路图（图复解16-2-1）中，人射光 经透镜 折射后沿 射向 ，AB1LBC2L经 折射后沿 出射 、 、 与透镜主轴的交点分别为 、 和 ，如果2LCDABCDP为物点，因由 沿主轴射向 的光线方向不变，由透镜性质可知， 为 经过
44、 所成PP1O1的像， 为 经 所成的像，因而图中所示的 、 、 、 之间有下列关系：2L1uv2（1）11uvf（2）22f（3）1duv当入射光线 与出射光线平行时，图中的 ，利用相似三角形关系可求得PB, 21hu21v从而求得 （4）21v联立方程（1）、（2）、（3）、（4），消去 、 和 ，可得1v2u（5）112()fdu由于 、 、 均已给定，所以 为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线d1f21u平行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在 的左方与 相距1L1处，又由于 与 无关，凡是通过该点射向 的入射光线都和对应的出112()fdu1u射光线相互平行2由所得结果（5）式可以看出，当 时， ，此情况下的光路图就是12df10u图复解16-2-1当 时， ， ，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如12df1u0图复解16-2-2当 时， ，这表明 点在 的右方，对 来说，它是虚物由（1）式12df10uP1L可知，此时 ，由 可知， ，又由 可知， ，所以此时v21fv20u20uv20v的光路图如图复解16-2-3
