1、1初中数学基本知识及常用结论1 等之 间 顺 次 多 一 个每 两 个、数 ： 如无 理 数 ： 无 限 不 循 环 小 等， 如 ：分 数 ： 正 分 数 、 负 分 数 正 整 数注 意 ： 自 然 数 包 括 零 和整 数整 数 ： 正 整 数 、 零 、 负有 理 数实 数 0110.27)(最小自然数零；最大负整数-1；最小正整数1；无理数有三种：与 有关的数；开方开不尽的数；有规律但不循环的数；循环小数 分数相反数、倒数、绝对值、负倒数的概念2二次根式： ； 2()(a2(0)a；)0bb， ),(b3近似数：如：5.2610 4 精确到百位，它有 3 个有效数字；近似数 5.26
2、 精确到百分位5.26 与 5.260 的区别4用代数式表示：三个连续偶数 2（n-1） ，2n，2（n+1） ；三个连续奇数 2n-1，2n+1 ，2n+3；若一个两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，则此两位数为 10a+b5幂的运算法则：a man=am+n， (am)n=amn，(ab) n=anbn，aman=am-n（a0 ） ， = .()0(a6零指数和负整数指数：a 0=1(a0)，a -n= （a0） 例：2 -n13= ， = = 81328277科学记数法： 如：0.000102=1.02 10-4 ；-23010000=-2.30110 78 .0， 值 为分 式
3、： 有 意 义 ， 无 意 义多 项 式 ： 几 次 几 项 式单 项 式 ： 系 数 与 次 数整 式有 理 式（无理式根式）例：单项式 的系数是 ，次数是 6；多项式 是四次四项234bca43yx321式9分式：当分子=0 且分母0 时，分式值=0；当分母0 时，分式有意义；当分母=0 时，分式无意义例：对于分式 ，当 x=-2 时值为 0；当 x2 时有意义；当 x=2 时无意义2x【注意：解分式方程必须检验 】210一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：x= （ =b2-4ac0）acb24韦达定理： 112,bcxxa（1） =b2-4ac0 方程有两个不相等的实数
4、根；（2） =b2-4ac0 方程有两个相等的实数根；（3） =b2-4ac0 方程无实数根；（4） =b2-4ac0 方程有两实数根；（5）方程有实数根 =b2-4ac011正比例函数：y=kx（k0）当 k0 时，图象在第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，图象在第二、四象限，y 随 x 的增大而减小12反比例函数：y= （或 y=k 或 xy=k） （k0）xk1当 k0 时，图象在第一、三象限，且在每一象限内，y 随着 x 的增大而减小；当 k0 时，图象在第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大13一次函数：y=kx+b（k0）当 k0 时，y 随 x
5、的增大而增大；当 k0 时，y 随 x 的增大而减小【注意 1：k 相等且 b 不等 两条直线平行】k0，b0 k0，b0 k0，b0 k0，b0 【注意 2：二元一次方程组 的解即为对应两直线的交点坐标 】21xay【注意 3：若直线 与 轴的夹角为 ，则有 】tan|【注意 4：若点 和点 是直线 上的任意不同的两点，则有：1(,)Px2(,)ykxb】12ykx【注意 5：若直线 与直线 垂直：则 ；交于11:lykb22:l 12k轴上同一点，则 ；交于 轴上同一点，则 ；】y2x1kb14二次函数：（1）开口方向：当 0 时，开口向上；当 0 时，开口向下aa（2）顶点坐标：若抛物线
6、为 ，则顶点坐标为 ；kmxy2km，3（3）对称轴： 直线 ； mx（4）最值：若 0，则当 时，y 最小 k；若 0，则当 时，y 最大 k； aamx（5）增减性：（由开口方向和对称轴确定）例：对于函数 ，其图象的顶点坐标为（1，2） ，当 x=1 时，函数有2y最小值 2，且在对称轴直线 x的左侧，y 随 x 的增大而减小（或写成：当 x1 时，y 随 x 的增大而减小） （6）平移： 看顶点 【注意：左（+）右（-） ，上（+）下（- ） 】例： 的图象可由 先向右平移个单位，再向上平移23x2个单位得到反之： 的图象可由 先向左平移个单位，23xy再向下平移个单位得到 （若题中是一
7、般式，应先配方后再根据平移的法则解题）（7）与坐标轴的交点： （）与 x 轴的交点：当 y0 时， 若方程 的两根分别为 x1、x 2，02cba则抛物线与 x 轴的交点坐标为（x 1 ,0） 、 （x 2，0） b 2-4ac0 图象与 x 轴有两个交点 b 2-4ac0 图象与 x 轴只有一个交点b 2-4ac0 图象与 x 轴无交点 b 2-4ac0 图象与 x 轴有交点图象与坐标轴只有 2 个交点 b2-4ac0 或 c（）与 y 轴的交点：当 x0 时，yc与 y 轴有且只有一个交点（0，c）（8）当 x 为何值时，y0, y = 0，y0：（ 9）函数值恒大于 0，恒小于 0若函数
8、 的值恒大于 0，cbxay2则 a0， ，函若数 的值恒小于 0，则 a0， （10）根据抛物线图象判断 a、b、c、 、a+b+c、ab+c，2a+b，2a-b 的符号：c42a：开口方向； b：与 a“左同右异” ； c：与 y 轴的交点； ： 与 x 轴的交点个数；a+b+c： 当 x1 时 y 的值； ab+c： 当 x1 时 y 的值2a+b： 对称轴与 1 比较； 2a-b： 对称轴与-1 比较例：如图，a0、 b0、 c0、 0、acb42a+b+c0、 a b+c0、 2a+b0、 2a-b0（11）几个常用的小结论： 顶点在 x 轴上 b2-4ac=0 顶点在 y 轴上 b
9、=0 顶点在原点 b=c=0 抛物线过原点 c=0 4若抛物线与 x 轴的交点横坐标为 ，则对称轴为直线 21x， 21x（12）直线与抛物线交点坐标：（即为相应方程组的解）（若通过图象求近似解，则要结合图象看）例：求直线 与抛物线 的交点坐标42y2y解：由题意得： ，解之得:1x14521yxyx，直线 与抛物线 的交点坐标为（-1，2） ， （5，14） x2一元二次方程 (a0)的两个根即为抛物线 (a0)与02cba cbxax 轴交点的横坐标，或抛物线 (a0)与直线 交点的横坐标aycx（13）抛物线的对称与旋转问题：（关键是抓住顶点坐标及开口方向）已知抛物线解析式为； kmx2
10、 若关于 x 轴对称，则新抛物线解析式为； kmay2 若关于 y 轴对称，则新抛物线解析式为： x 若关于原点对称，则新抛物线解析式为： 2 若绕顶点旋转 180，则新抛物线解析式为： ky15n 边形：内角和是（n-2）180，外角和是 360从一个顶点出发有（n-3）条对角线； n 边形一共有 条对角线2)3(n16、平行四边形：定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。性质：两组对边分别平行；两组对边分别相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分；是中心对称图形，不一定是轴对称图形。判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的
11、四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；17、矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。18、菱形：定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。判定；一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。19、正方形：定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等
12、；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。判定：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。20三角形及平行四边形面积公式：5 ； ； ； 2SrlEAFBAFED【注意：边长为 a 的正三角形面积等于 ，菱形面积等于两对角线长乘积的一半 】243a21锐角三角函数概念： 如图，在直角三角形中正弦： ；余弦： ；正切：ca斜 边对 边sin cb斜 边邻 边os；ba邻 边对 边tan当 0 90 时，正弦、正切函数值随角度的增大而增大如：sin
13、50sin49余弦函数值随角度的增大而减小如：cos50cos49特殊角三角函数值三角函数有关性质： ； ；若 是锐角，则1cossin22cosinta；若 ，则 ，1cosin90i 122坡度：i=tan lh仰角与俯角：都是视线与水平线的夹角 （如右上图所示）23比例：比例的基本性质： bcadcb比例中项：若 （或 ） ，则称 b 为 a、c 的比例中项a2黄金分割：如图，若 P 是线段 AB（长为 l）的黄金分割点，PAPB，则：6PA2=PBAB，其中较长线段 PA= l，215较短线段 PB= l 【注：一条线段有两个黄金分割点】3 CBACBA若 51,362AA若 ,B24
14、统计初步：平均数： ，nxx21 12kfxf方差： （指波动大小、离散程度）2212xnS标准差 S= 频率 极差=最大值-最小值 方 差 总 数频 数五个连续整数的方差为 2，标准差为 ；平均数、中位数、众数：(平均数、中位数、众数与数据单位相同，样本容量无单位)例：3，3，5，5，5，6，8，8，8，9 的平均数是 6，中位数是 5.5，众数是 5 和 8概率：P（A）= （在 n 种结果中，出现事件 A 的结果有 m 种） ；m 0P（A）1； P（A）=0 时，是不可能事件； 当 P（A）=1 时，是必然事件； P（A 1）+ P（A 2）+P（A n）=1，其中事件 A1、A 2、
15、A n是互相独立的 数据收集的过程：（1）明确调查问题， （2）确定调查对象， （3）选择调查方法，（4）展开调查， （5）记录结果， （6）得出结论调查的方式一般分两种:普查和抽样调查25轴对称图形：如：线段、角、等腰三角形、等腰梯形、等边三角形、矩形、菱形、正方形、圆、扇形、扇环、五角星、正多边形等中心对称图形：如：线段、矩形、菱形、正方形、圆、平行四边形、正偶数边形等；旋转对称图形：如：正五角星、电扇的风叶等以及所有的中心对称图形；7【注意：中心对称图形一定是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形】26三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；梯形的中位线平行于两底，并且
16、等于两底和的一半27梯形问题中的常见辅助线的添法：28扇形、圆柱、圆锥：【 注意：圆锥底面周长=圆锥展开后扇形的弧长即: ，即 】1802lr036lr29如图，Rt ABC 中， （1）斜边上的高 ，cabh(2) 内切圆半径 ，)(2cbar(3)外接圆半径 R= （4） ABCSD30平移与旋转：(1)图形的平移由移动的方向和距离所决定(2)图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定，旋转时，必须注意旋转中心、旋转的角度和旋转的方向31已知三角形两边长为 a、b，则第三边 c 的范围为：a-b ca+b8第三边上的中线 的范围为x2abx32相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平
17、方33若两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的相似叫位似【注意：若以坐标原点为位似中心，像与原图形的位似比为 k，则原图上的点（x,y）在像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky） 】.34点与圆的位置关系：（d 为点到圆心的距离，r 为圆半径）点在圆外 dr 点在圆上 d=r 点在圆内 dr35直线与圆的位置关系：（d 为圆心到直线的距离，r 为圆半径）（1）三种位置关系：相离 dr 相切 d=r 相交 dr（2）证明直线是圆的切线的方法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（添线方法：连结半径） 圆心到直线的距离等于圆的半径，即证 d=r（添线方法
18、：过圆心作直线的垂线段）36圆与圆的位置关系：（d 为两圆心之间的距离，R、r 分别为两圆的半径）外离 dR+r 外切 d=R+r 相交 R-rdR+r内切 d=R-r 内含 dR-r 37尺规作图 【注意：铅笔作图，保留痕迹，写出结论】38顺次连结任意四边形各边中点所得的中点四边形一定是平行四边形，其面积为原面积的二分之一，其周长等于原四边形的两对角线长之和（1）当原四边形的对角线相等时，则所得中点四边形为菱形；（2）当原四边形的对角线互相垂直时，则所得中点四边形是矩形；（3）当原四边形的对角线互相垂直且相等时，则所得中点四边形是正方形39 （1）反证法步骤：假设命题不成立经过推理得出矛盾说
19、明假设错误，原命题正确（2）要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例，不必证明如：要说明“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，则只要举一个反例：锐角等于 30，钝角等于 120，但它们的和不等于 18040在平行投影中，当投射线垂直于投影面时，这种投影称为正投影三视图：实际上是物体在三个不同方向上的正投影.【注意：长对正、高平齐、宽相等，看不见的轮廓线用虚线】41有关结论:（1）三角形的重心（三条中线的交点）：如图，D 是ABC 的重心，则有 2DMA（2）欧拉公式：顶点数+面数棱数=2（3）高斯公式:1+2+3+n= n(n+1)21数学中考须知一、考前复习指导91、每天抽一定时间
20、复习数学；2、整理资料（本学期所有“月考”试题） 、讲义等；3、看课本（重点是八年级和九年级的教材） 、指导用书中的有关例题、作图题；4、看已发下的“初中数学基本知识及常用结论” ；5、对试卷中的错题要重新做一遍；二、答题指导1、带齐数学工具：三角板（两副） 、圆规 、铅笔、橡皮、计算器、量角器，小剪刀等；2、考前 5 分钟先看前面的题目（这时建议不要看最后的题目） ，稳定情绪，细心认真定能成功；3、审题是关键！必须在弄懂题意后再解题，答题时书写要端正、规范；4、解题时应按顺序做，先做简单的和自己熟悉的题目，碰到较难的题目，若不会做，先跳过去，把会做的试题都做完了，再去做剩下的题目看清题目，不
21、要漏做，对于做不出的选择题或填空题绝对不要空着，可用“特殊值法”或“排除法”或“量一量”或“折一折”等手法尽量设法做出；5、应用题别忘了写“答” ；分式方程别忘了“写检验” ；作图题别忘了“写结论” ；直径与半径要看清；二次函数别忘了“二次项系数 ”； 0a6、要留出一定时间检查，关于检查：要全面检查、题题检查、重点检查，检查完后，再做不会做的题，确保基本题的正确率。7、最后别忘记正确填涂答题卡8、对于大题目，尽量不要空着，有一定思路（如应用题应写上“设” ，几何题添上有关的“辅助线”等）要尽可能写上有关算式及公式（解题要完整） ，争取多得分。祝你考出理想成绩！建功中学初三数学备课组2012 年 6 月
