1、 源于名校，成就所托1 全日制课程初三教案模块 几何图形中的函数问题第三讲 圆与几何函数问题教学内容概要：本讲是本模块中的第三部分，主要讲解以圆为背景的动态几何问题，通过研究圆中各线段、角度等几何量之间的关系，找到如何建立两个变量的函数关系式的一般思路和方法。本讲主要围绕此类题目的解题知识来源进行分析与讲解，通过运用勾股定理、比例线段以及其它等知识点告诉学生如何发现解题关键，并进行有效地解题。教学目标：1、掌握如何构造直角三角形，运用勾股定理解题。2、掌握如何构造直角三角形，运用三角比解题。3、掌握如何构造直角三角形，运用勾股定理和三角比综合性知识解题。4、掌握如何构造相似三角形，运用相似比解
2、题。5、掌握在解以圆为背景的几何题目中，如何运用分类讨论思想。重难点：1、如何构造直角三角形，运用相关知识解题。2、如何运用分类讨论思想。源于名校，成就所托2 第一部分 知识要点1、圆的确定（1）圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所组成的图形，这个定点是圆心，联结圆心和圆上任意一点的线段是圆的半径，这个定长是圆的半径长。以点 O 为圆心的圆称为圆 O，记作O。（2）一个点确定无数个圆，两个点也确定无数个圆，圆心在两点连线段的垂直平分线上；三个点确定 1 个或零个圆；（3）圆既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴是直径所在的直线。2、点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种：点在圆外，即
3、这个点到圆心的距离大于半径；点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径。3、外接圆与内接多边形（1）三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。（2）三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。（3）锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边中点上。（4）如果一个三角形的三个顶点在同一个圆上，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。4、圆心角、弧、弦、弦心距（1）联结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。从圆心到弦的距离叫做弦心距。（2）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧
4、。圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。圆心不同、半径相等的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够重合的两条弧称为等弧。（3）顶点在圆心的角叫做圆心角。（4）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（优弧） 、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。5、垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并
5、且平分这条弦所对的弧。推论：（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径） ，那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；（3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；（4）如果一条直线平分弦和弦所对的的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦；6、直线与圆的位置关系（1）当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点
6、。当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线。（2）如果圆 O 的半径长为 R，圆心 O 到直线 L 的距离为 d，如果直线 L 与圆 O 相交，dR 。（3）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 （4）切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。7、圆与圆的位置关系源于名校，成就所托3 （1）两圆若没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，即两圆外离；两个圆有唯一公共点，并且除此公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，即两圆外切；两个圆有两个公共点，即两个圆相交；两个圆有一个公共点，除此公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，
7、即两圆内切；两个圆没有公共点，一个圆上的点都在另一个圆的内部，即两圆内含，当两个圆的圆心重合时，就形成了同心圆。（2）若两圆半径分别为 R 和 r，圆心距为 d，若两圆外离，则 dR+r；若两圆外切，则 d=R+r；若两圆相交，则R-rdR+r；若两圆内切，则 d=R-r；若两圆内含，则 dR-r；（3）相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（4）相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点；8、圆与正多边形（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。（2）正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一条边所对
8、的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正 n 边形的每个中心角都等于 ，也等于每个外n360角的度数。正多边形的中心到正多边形一条边的距离叫做正多边形的边心距。（3）正多边形是对称图形，当边数为奇数时，是轴对称图形；当边数为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。9、正多边形的计算：（1）任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且它们是同心圆。（2）联结中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角。（3）在正 n 边形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正 n 边形的半径，底边是正 n 边形的边，
9、顶角是正 n 边形的中心角；底边上的高是正 n 边形的内切圆的半径，它的长是正 n 边形的边心距。10、圆和扇形（1）圆的周长与直径的比值是一个固定的数，我们把圆的周长与直径的比值叫做圆周率。（2）圆的周长公式表示为： ；rdC2（3）圆的面积公式表示为： ；41S（4）弧长的计算公式： ，在同一圆中，当圆心角变大时，它所对的弧变长；Cnnl36080（5）一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，扇形的面积公式为： ；lrnS21360第二部分 例题经典例 1：如图 1，半圆 O 的直径 AB=4，与半圆 O 内切的动圆 与 AB 切于点 M，设圆 的半径为 y，AM=x，1 1
10、O求 y 关于 x 的函数关系式。源于名校，成就所托4 O BMO1ACA O1M BO图 1 图 2解：联结 OC，则 O、O 1、C 三点共线，联结 O1M，则 O1MAB，在 RtOO1M 中， OM=2x，O 1C=y，O 1O=2y，由勾股定理得 ，解得 ；222yxy214x【点评】本题考查的是两圆相切，此类问题一般需把切点与圆心连起来，构造直角三角形，再借用勾股定理求解。例 2：如图 3，已知 中， ，点 O 在 BC 边上运动，以 O 为圆心，OA 为半径的圆ABC4,5BC与边 AB 交于点 D（点 A 除外） ，设 。求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；AD
11、xO BDAO CFE COADB图 3 图 4解：如图 4，过点 A 作 BC 的垂线，垂足是 E，BE=EC ，再过点 O 作 AB 的垂线交于点 F，AF=DF，在 RtABE 中，BE=2， ，AE=1， ；5B5sinABC在 RtBOF 中，OB=x， ， ， ，2yFxyF2cox54点 D 在边 AB 上，当点 D 与点 B 重合时， ，当点 D 与点 A 重合时， ， ；4x52【点评】例 2 与例 1 不同，例 2 借助三角比的知识题解题，先确定某定角的三角比值，再做弦心距构造直角三角形，列出函数关系式，本题如果用勾股定理也能求解，但相对比较麻烦。源于名校，成就所托5 例
12、3：如图 5，在 RtABC 中， ACB=90，半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D，与边 AC 相交于点 E，联结DE 并延长，与线段 BC 的延长线交于点 P，若 ，设 CE=x，ABC 的周长为 y，求 y 与 x 的函数tan3BD关系式。 PECDBAGFAB DCE P图 5 图 6解：如图 6，分别过点 A、D 作 DE、AE 的垂线交于点 F、G，在 RtAEF 中， FAE=BPD， ， ， ，1tanta3AEBD0E105DE在 RtDEG 中，GDE=BPD， ， ， ， ，nP53G4A又 DG/CP，ADG ABC， ADG 的周长为 ， ，y=3x+3
13、；1254yx【点评】本题的背景图形是圆与三角形综合，虽然有圆出现，但圆在此题的意义仅是告知条件 AD=AE=1，具体解题思路还要从三角形知识入手，因此本题主要运用比例线段知识解题，包括相似比与三角比。本题说明在某些情况下要学会将曲线的圆条件转化成直线的图形，如三角形或四边形等，再利用它们的性质解题。例 4：如图 7，已知 ，圆 O 的半径为 2，圆心 O 在射线 BC 上移动，且圆 O 与射线 BA 相交于点31sinABCE、F。设 BO=x，EF=y，写出 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域的取值范围； DABEFO CCOFEBA图 7 图 8源于名校，成就所托6 解：如图 8，
14、过点 O 作 ODAB 交于点 D，联结 OF， ，2yEDF在 RtOBD 中，OB=x， ， ，1sin3ABCOx在 RtDOF 中， ， ， ，22F24y 236yx当圆 O 过点 B 时，x=2 ，当点 E、F 重合时，x=6 ， ；x【点评】解决本题所用的知识是三角比和勾股定理的结合。在圆中，常用的辅助线一般是作弦心距，目的是构造直角三角形，因此在直角三角形中常用的知识点是比例线段和勾股定理。例 4 要求解题知识的综合应用。例 5：如图 9，已知O 的直径 AB=8，B 与O 相交于点 C、D，O 的直径 CF 与B 相交于点 E，设B的半径为 ，OE 的长为 ，求 关于 的函数
15、解析式，并写出定义域。xyx DBCEOFAAF OECBDAFOECBD图 9 图 10 图 11解：如图 10，当点 E 在线段 OC 上时，连接 BE、CB ，圆 O 的直径 AB=8， 142COBABC=BE， BEC=C=CBO， ， ， CE=OCOE=4y， ，BCEVEBxy 关于 x 的函数解析式为 ，定义域为 ；214yx04x如图 11，当点 E 在线段 OC 的延长线上时，连接 BE、CB，同理可证 ， ，CEVOBECCE=OC+OE=4+y， ，4xy 关于 x 的函数解析式为 ，定义域为 ；21y42x【点评】本题的解题思路要注意两点：一是学会用相似三角形知识解
16、题，与前面四道例题不同的是，例 5 没有源于名校，成就所托7 构造直角三角形来解题，而是直接联结半径，构造等腰三角形，再利用相似三角形的判定与性质解题；二是学会分类讨论，动点运动范围不同，图形形状或位置会发生变化，两个变量之间的关系也会发生相应变化。第三部分 课堂练习1、如图 12，已知在 RtABC 中，C=90，AC=6， ，点 O 是边 AB 上的动点，点 N 是边 BC 上的3sin5B动点，如果以 NB 为半径的圆 N 和以 OA 为半径的圆 O 外切，设 NB=y，OA=x，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。 AC NO BDBO NCA图 12 图 13
17、解：如图 13，联结 ON，过点 N 作 NDAB 于点 D，在 RtDNB 中，NB=y， ， ，3sin5BNDy，45BDy在 Rt DNO 中， ， ，ON=x+y，由勾股定理得， ，4105Oxy3y204xy其中 ；0x2、如图 14，在半径为 5 的圆 O 中，点 A、B 在圆 O 上，AOB=90 ，点 C 是弧 AB 上的一个动点，AC 与 OB的延长线相交于点 D，设 AC=x，BD=y。求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。 DBCOAEAO CBD图 14 图 15源于名校，成就所托8 解：如图 15，过点 O 作 OEAC 于点 E，在 RtAO
18、D 中，OA=5，OD=5+y， ， 2105ADy在 Rt AOE 中，OA=5， ，又 ， ，解得2xAcoscsOADEO，25105yx其中 ；第四部分 课后作业A 卷1、如图，在正方形 ABCD 中，圆 与圆 相外切，且圆 分别与 DA、DC 边相切，圆 分别与 BA、BC1O21O2O边相切，请列出圆心距 的长度 y 与正方形边长 x 之间的函数关系式。21 O2O1 BCDA 第 1 题图 2、如图，已知圆 O 的半径 ，点 C 在弦 AB 上，以点 C 为圆心，CO 为半径的圆与线段 OA 相4,5AB交于点 E（E 与 O 不重合） 。设 ，求 y 关于 x 的函数解析式，并
19、写出定义域；OExEOA BC第 2 题图源于名校，成就所托9 3、如图，已知在 中， ，P 是边 AB 上的一个动点，圆 P 的半径为定长。当ABC2cot,0,15A点 P 与点 B 重合时，圆 P 恰好与边 AC 相切；当点 P 与点 B 不重合时，且圆 P 与边 AC 相交于点 M 和点 N 时，设 ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域。MNx, PBCNMA第 3 题图B 卷1、如图，已知在正方形 ABCD 中，AB=8，点 O 为边 AB 上一动点，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆 O 交边AD 于点 E（不与点 A、D 重合） ，EF OE 交边 CD 于点 F，
20、设 BO=x，AE=y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围。 CFDEBOA第 1 题图2、如图，圆 O 的半径 OA=1，点 M 是线段 OA 延长线上的任意一点，圆 M 与圆 O 内切于点 B，过点 A 作交圆 M 于点 C、D，联结 CM、OC，OC 交圆 O 于点 E。若设 ，求 y 关于 x 的函ACD SxC,数解析式，并写出函数的定义域。源于名校，成就所托10 DCAB MO第 2 题图3、如图，圆 O 的半径为 6，线段 AB 与圆 O 相交于点 C、D，AC=4，BOD=A ，OB 与圆 O 相交于点 E。设 AO=x，CD=y，求 y 关于 x 的函
21、数解析式。BDECOA第 3 题图A 卷答案1、解：如图所示，分别过点 O1、O 2 作 DC 的垂线交于点 E、F ，再过点 O1 作 O1GO 2F，则 ，解得 ；12()yGEFxy2x源于名校，成就所托11 GFEAD CBO1 O22、解：如图所示，过点 O 作 AB 的垂线，垂足是 D，AD=DB，过点 C 作 OA 的垂线交于点 F， OF=EF，在 RtAOD 中，AD=2， ，OD=1， ；5A52cosA在 RtACF 中，AC=x， ， ，2yFxyCF2s ，其中 ；xy54254x F BDCEA O3、解：过点 B 作 AC 的垂线交于点 D，过点 P 作 AC 的垂线交于点 E，在 RtABD 中，AB=15，cotA=2， ，圆 P 的半径为 ；35B35在 RtAEP 中， ， ， ，5EPx2yM222yx ，其中 ；2y31源于名校，成就所托12 EDPBCNMAB 卷答案1、解：在 RtAOE 中，AO=8x，E=OB=x，AE=y，由勾股定理得， ，其中 ；4yx08x2、解：在 RtACM 中，AM=x1，CM=x+1， ，xCA212 ，其中 ；xxCAOMy21 13、解：由题意知，AOC OBD， ， ，解得 BD=9，AODB46又AOC ABO， ， ，解得 ；2AC213xy2134x源于名校，成就所托13
