1、运筹学,教学要求：,掌握图论基础，掌握最短路问题，最大流问题和最小费用流问题等网络优化模型及其基本算法。,会应用模型和方法解决一些管理中的基本问题,目录 图与网络 树 最短路问题 最大流问题 最小费用流问题,第一节 图与网络,一、图的概念及分类 图是由作为研究对象的有限个集合和表达这些顶点之间关系的 m条线的集合组成的, 记顶点集合为V=v1,v2,vn，线集合为L=l1,l2,.lm 图则记为G=(V，L)，线又分为弧和边，顶点也称为结点 弧是由一对有序的顶点组成，表示两个顶点之间可能运动的方向 取消弧的方向就变成了边，边是只要任两点之间有连线，两个 方向均可使用，弧可作为城市道路的单行道，
2、边则是双行道,第一节 图与网络,顶点、弧、有向图、无向图、链、道路、环、连通图、连通子图、次的基本概念,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,5,2,1,3,次,道路,顶点,无向图,链,有向图,弧,环,连通图,弧是由一对有序的顶点组成，表示了两个顶点之间可能运动的方向,连通子图,由顶点集和弧组成的图称为有向图,由顶点集和边组成的图称为无向图,链有一序列弧，如果每一个弧与前一个弧恰有一个公共顶点，则称这一序列弧为一个链。,道路 如果链中每一个弧的终点是下面一个弧的起点，则这个链称为一个道路。,环 连接a点与b点的一条链，如果a与b是同一个点时，称此链为环。,连通图 一个图中任意两点间至
3、少有一个链相连，则称此图为连通图。,任何一个不连通图都可以分为若干个连通子图，每一个子图称为原图的一个分图。,次: 以a点为顶点的边的条数称为顶点的次,第一节 图与网络,点或边带有某种数量指标的图叫网络图，简称网络。与点或边有关的某些数量指标，我们经常称之为权，权可以代表如距离、费用、容量等。,左图可以看作：从发电厂（节点1）向某城市（节点6）输送电力，必须通过中转站（节点2，3，4，5）转送，边上数字代表两节点间的距离。电力公司希望选择合适的中转站，使从电厂到城市的传输路线最短。一个输油管道网。节点1表示管道的起点，节点6表示管道的终点，节点2到5表示中转站，旁边的数字表示该段管道能通过的最
4、大输送量。应怎样安排输油线路，使从节点1到节点6的总输送量最大？一张城市分布图。现在要在各城市之间架设电话线，应如何架设，使各城市之间既能通话，又使总的架设路线最短？,二、网络,第一节 图与网络,一、树：连通且不含环的无向图,树的性质：任意两顶点之间必有一条且仅有一条链。去掉任一条边，则树成为不连通图。不相邻的两个顶点间添上一条边，恰好得到一个环。 如果树有n个结点，则边的数目刚好为n-1,第二节 树,部分图,生成子图,部分树,如果V1 V， E1 E则称G1为G的部分图；,设G=(V，E)和G1=(V1，E1),如果G1=(V1，E1)，G=(V，E)，并且V1 V ， ,则称G1为G的生成
5、子图；,如果G=(V，E)的部分图G1=(V，E1)是树，则称G1为G的一个部分树。,二、部分图、生成子图、部分树,第二节 树,求连通图部分树的方法 (1)破圈法：在G中任取一个圈，去掉圈中的任何一条边，对余下的图重复这一步，直到无圈为止，最后得到一棵部分树,第二节 树,求连通图部分树的方法 (2)避圈法：在G中任取一条边e1，找一条与e1不构成圈的边e2，然后再找一条与e1,e2不构成圈的边e3、直到无边可选为止,第二节 树,最小生成树不一定唯一,三、最小生成树： 设有一连通图G=(V，L)，对于每一条边e=(vi,vj),有一个权wij ，一棵生成树所有树枝上权的总和，称为这个生成树的权，
6、 具有最小权的生成树称为最小生成树，简称最小树,第二节 树,(1)最小生成树的求法 破圈法:每一步任找一个圈，划去权值为最大的边，直到图中没圈为止，即得最小树,V1,V3,V2,V5,V4,V6,5,1,3,2,4,第二节 树,(2)最小生成树的求法 避圈法:每一步从未选的边中，选一条权值最小的边，使已选 出的边不构成圈直至不能进行为止，即得最小树,第二节 树,V1,V4,V2,V5,V7,V8,6,4,5,2,3,8,5,4,V3,V6,4,5,4,3,6,3,7,练习： 用破圈法或避圈法求下图的最小生成树，并指出其权重和,第二节 树,避圈法：,V1,V4,V2,V5,V7,V8,6,4,5
7、,2,3,8,5,4,V3,V6,4,5,4,3,6,3,7,最小生成树如上图红线所示， 最小权重为：4+3+3+3+4+5+2=24,第二节 树,破圈法：,V1,V4,V2,V5,V7,V8,2,3,5,4,V3,V6,4,5,4,3,6,3,7,最小生成树如上图所示， 最小权重为：4+3+3+3+4+5+2=24,第二节 树,练习： 下图是6个城市的交通图，为将部分道路改造成高速公路，使 各个城市均能通达，又要使高速公路的总长度最小，应如何做 使总长度最小,总长度是多少?,第二节 树,避圈法求解：,第二节 树,最优改造路线如上图红线所示， 最短路径为：1400,求下面两个连通图的最小生成树
8、：,第二节 树,第二节 树,某地有10个村庄，它们之间的交通道路如下图所示， 图中边旁权为道路长度(单位：百米)，现在要沿道架设电线， 实现村村通电话工程，问应如何架设电线才能使总长度最短？,第二节 树,解：本题实质是最小树问题，利用避圈法可求得最短路线， 如下图粗线所示：,最优架设路线如上图粗线所示， 架设电线最短长度为18(百米)。,第二节 树,某大学准备对其所属的7个学院办公室计算机联网，这个网络的可能联通的途径如图所示，图中vi表示7个学院办公室，图中的边为可能联网的途径，边上的所赋的权数为这条路线的长度，单位为百米，请设计一个网络能联系7个学院办公室，并使总的线路长度为最短,V1,V
9、6,V5,4,7,3,V2,V7,3,3,5,V4,V3,1,2,4,V1,V6,V5,7,3,V2,V7,3,3,5,V4,V3,1,2,破圈法求解：,4,最短路径如上图所示，最短为：19百米,V1,V6,V5,4,7,3,V2,V7,3,3,5,V4,V3,1,2,避圈法求解：,最短路径如上图所示，最短为：19百米,4,图与网络 树 最短路问题 最大流问题 最小费用流问题,第三节 最短路问题,特点：从一特殊的节点出发，找出从该节点到网络中任何其它节点的最短路径问题,某人买了一辆价值1200美元的新车，一辆车每年的维护费用依赖于年初时的车龄，具体费用见下表。为了避免旧车的高维护费用，他决定卖
10、掉旧车买新车。旧车的价格依赖于交易时的车龄，见下表。为计算简单起见，假设任何时间新车的价格不变均为1200美元。他希望在今后5年内的净费用最小（即：净费用=购买价+维护价-售出价）。,21,12,第三节 最短路问题,结点i表示第i年的年初，当ij时，弧(i,j)表示第i年年初购买一辆新车并一直用到第j年年初。弧的长度cij表示：如果第i年年初购买一辆新车并这辆车在第j年年初卖掉更换一辆新新，从第i年年初到第j年年初期间总的净费用，于是有cij=(i,i+1,j-1年的维护费用）（第i年年初购买新车的费用）（第j 年年初该车的交易费用）,第三节 最短路问题,c12=2+12-7=7 c13=2+
11、4+12-6=12 c14=2+4+5+12-2=21 c15=2+4+5+9+12-1=31 c16=2+4+5+9+12+12-0=44 c23=2+12-7=7 c24=2+4+12-6=12 c25=2+4+5+12-2=21 c26=2+4+5+9+12-1=31 c34=2+12-7=7 c35=2+4+12-6=12 c36=3+4+5+12-2=21 c45=2+12-7=7 c46=2+4+12-6=12 c56=2+12-7=7,第三节 最短路问题,Dijkstra最短路算法：假设每个弧的权是非负的，即wij0，给每个支点vi记一个数(称标号)，标号分临时性标号T和永久性标
12、号P， 永久性标号表示从v1到该点vi的最短路权，得到永久性标号的不再改变标号，临时性标号表示从开始点v1到该点vi的最短路权的上界， 算法每一步都把某一点的T标号改为P标号，开始时给初始支点v1标号记为0，即P(v1)=0，其他支点(记为临时性标号)的标号记为+，即T(vi)= +, 若vi点是刚得到P标号的点，考虑L中与vi点相连的弧(vi,vj)且vj 是T标号，对vj的标号进行如下更改： T(vj)=minT(vj),P(vi)+Wij 比较所有具有T标号的点，把最小者改为P标号，当存在两个以上最小者时，可以同时改为P标号，直到全部点均改为P标号为止,第三节 最短路问题,例：从发电厂（
13、记为节点1）向某城市（记为节点6）输送电，必须通过中转站（记为节点2，3，4，5）转送。图给出了两节点间的距离。电力公司希望选择合适的中转站，使从电厂到城市的传输路线最短。即从节点1到节点6的最短路径。这就是一个最短路问题。,第三节 最短路问题,第0步：P(1)=0,T(i)=+；第1步：与1相连的标号为2,3，均是T标号，修改2,3的标号，T(2)=minT(2),P(1)+w12=4,T(3)=3；在所有的T标号中，3的标号最小，改3的标号为P(3)=3；第2步：修改与3相连的T标号；在所有剩下的T标号中，2的标号最小，改为P(2)=4；第3步：修改与2相连的T标号；在所有剩下的T标号中，
14、5的标号最小，改为P(5)=6；第4步：修改与5相连的T标号；在所有剩下的T标号中，4的标号最小，改为P(4)=7；第5步：修改与4相连的T标号；只剩下节点6是T标号，修改6的标号，P(6)=8。从节点6开始回退，得到最短路。,P(1)=0,T(3)=+,T(2)=+,T(3)=3,T(5)=+,P(3)=3,T(5)=6,T(2)=4,T(4)=+,T(6)=+,P(2)=4,T(4)=7,P(5)=6,T(6)=8,P(4)=7,P(6)=8,P(6)=8,P(5)=6,P(3)=3,P(1)=0,第三节 最短路问题,P(1)=0,T(2)= +,T(4)= +,T(3)= +,T(5)=
15、 +,T(6)= +,T(7)= +,第2步：与4相连的标号为2,3,5,6，均是T标号，修改2,3,5,6的标号， T(2)=minT(2),P(4)+w42=4, T(3)=minT(3),P(4)+w43=3 T(5)=minT(5),P(4)+w45=7 T(6)=minT(6),P(4)+w46=9 在所有的T标号中，3的标号最小，改3的标号为P(3)=3；,T(2)= 4,T(3)= 3,T(4)= 2,P(4)= 2,第1步：与1相连的标号为2,3，4，均是T标号，修改2,3,4的标号， T(2)=minT(2),P(1)+w12=4, T(3)=minT(3),P(1)+w13
16、=3 T(4)=minT(4),P(1)+w14=2 在所有的T标号中，4的标号最小，改4的标号为P(4)=2；,T(2)= 4,T(3)= 3,T(5)= 7,T(6)= 9,第3步：与3相连的是T标号,为5，修改5的标号， T(5)=minT(5),P(3)+w35=6 在所有的T标号中，2的标号最小，改2的标号为P(2)=4；,P(3)= 3,T(5)= 6,第4步：与2相连的是T标号,为6，修改6的标号， T(6)=minT(6),P(4)+w46=9 在所有的T标号中，5的标号最小，改5的标号为P(5)=6；,P(2)= 4,P(5)= 6,第5步：与5相连的是T标号,为6,7，修改
17、6,7的标号， T(6)=minT(6),P(5)+w56=8 T(7)=minT(7),P(5)+w56=12 在所有的T标号中，6的标号最小，改6的标号为P(6)=8；,T(6)= 8,T(7)= 12,第6步：与6相连的是T标号,为7，修改7的标号， T(7)=minT(7),P(6)+w67=10 在所有的T标号中，7的标号最小，改7的标号为P(7)=10；,P(6)= 8,T(7)= 10,P(7)= 10,最短路径为P(7)-P(6)-P(5)-P(3)-P(1) 最短路长度为10；,T(6)= 9,求1到7的最短路,第三节 最短路问题,求1到6的最短路,最短路径为1356 长度为
18、9,第三节 最短路问题,用Excel求解最短路算法,净流量 = 流出该节点的流量 流入该节点的流量,中间节点的平衡值为0，起点为1，终点为-1。各个点的净流量等于平衡值,最短路平衡流,第三节 最短路问题,P(6)=8,P(5)=6,P(3)=3,P(1)=0,第三节 最短路问题,城市出租车公司在纽约市为出租车司机已经确定了10个搭乘车站。为了减少运行时间，提高服务质量以及最大化利用公司的车队，管理方希望出租车司机尽可能地选择最短路线。使用下面公路与街道的网络图，请说明司机从车站1到车站10应选择什么样的路线。运行时间如图所示。,第三节 最短路问题,这里我们仅通过Excel电子表格求解，在表格中
19、，我们并不是把每一对连接的点都输入进去，比如，我们输入了从V7到V10，很明显不需要再输入从V7到V8，从V8到V10这两对点对，因为他们加起来的距离明显要比前者长。,第三节 最短路问题,最优路线为：110，最短距离是25,第三节 最短路问题,图与网络 树 最短路问题 最大流问题 最小费用流问题,第四节 最大流问题,最大流量问题：给了一个带收发点的网络，其每条弧的赋权称之为容量，在不超过每条弧的容量的前提下，求出发点到收点的最大流量,第四节 最大流问题,V1,V4,V2,V5,V7,6,6,3,4,2,5,2,V3,V6,2,3,2,1,例：某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从
20、采地运送到一些销售点，这个网络的一部分如图所示，由于 管理的直径的变化，它的各段管道(vi,vj)的流量（容量）cij也是不一样的，cij的单位为万加仑/小时，如果使用这个网络系统从采地v1向销地v7运送石油，问每小时能运行多少加仑石油？,第四节 最大流问题,设弧(vi,vj)上流量为fij，网络上总的流量为F，则有 目标函数：max F=f12+f14 约束条件： f12=f23+f14 f14=f43+f46+f47 f23+f43=f35+f36 f25+f35=f57 f36+f46=f67 f57+f67+f47=f12+f14 fij cij fij0 i=1,2,6 j=2,3,
21、7,守恒条件,小于容量的可行流,可行流中一组流量最大的称为最大流,第四节 最大流问题,最大流问题网络图论的解法 1、对网络上弧的容量的表示作改进，对条一条弧(vi,vj)的容量用一对数据cij,0标在弧(vi,vj)上，以cij靠近vi点，0靠近vj点，表示从vi到vj容许通过的容量为cij，而从vj到vi容许通过的容量为0，这样可能省云弧的方向,vi,vj,cij,vi,vj,cij,c0,对于存在两条相反的弧(vi,vj)和(vj,vi)，也可以用一条过和一对数组cij，cji来表示它们的容量,vi,vj,cij,vi,vj,cij,cji,第四节 最大流问题,V1,V4,V2,V5,V7
22、,6,6,3,4,2,5,2,V3,V6,2,3,2,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,第四节 最大流问题,求最大流的基本算法 （1）找出一条从发点到收点的路，在这条路上的每条弧顺流方向的容量都大于零，如果不存在这样的路，则已求得最大流 （2）找出这条路上各条弧的最小的顺流的容量pf，通过这条路增加网络的流量pf (3)在这条路上，减少每条弧的顺流容量pf，同时增加这些弧的逆流容量pf,返回步骤（1） 由于所选路不一样，计算过程也不一样，但最终结果是一样的，为了使算法快捷有效，我们一般在步骤（1）中尽量选择包含弧数最少的路,第四节 最大流问题,第一次迭代 选择路为v1-v4-v7
23、，弧（v4,v7)的顺流容量为2，决定pf=2，改进网络流量,V1,V4,V2,V5,V7,6,6,3,4,2,5,2,V3,V6,2,3,2,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4,2,2,F=2,第四节 最大流问题,第二次迭代 选择路为v1-v2-v5v7，弧（v2,v5)的顺流容量c35=3，决定pf=3，改进网络流量,V1,V4,V2,V5,V7,6,3,4,5,2,V3,V6,2,3,2,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4,2,2,F=5,0,3,2,3,3,3,第四节 最大流问题,第三次迭代 选择路为v1-v4-v6v7，弧（v4,v6)的顺流容量c46
24、=1，决定pf=1，改进网络流量,V1,V4,V2,V5,V7,4,2,V3,V6,2,3,2,1,0,0,0,0,0,0,0,4,2,2,F=6,0,3,2,3,3,3,3,0,3,1,1,3,第四节 最大流问题,第四次迭代 选择路为v1-v4-v3v6 v7 ，弧（v3,v6)的顺流容量c36=2，决定pf=2，改进网络流量,V1,V4,V2,V5,V7,2,V3,V6,2,3,2,0,0,0,0,0,2,F=8,0,3,2,3,3,3,3,0,3,1,1,3,1,1,0,1,5,2,2,3,第四节 最大流问题,第五次迭代 选择路为v1-v2-v3v5 v7 ，弧（v2,v3)的顺流容量c
25、23=2，决定pf=2，改进网络流量,V1,V4,V2,V5,V7,2,V3,V6,2,0,0,0,2,F=10,0,3,2,3,3,3,0,1,1,1,0,1,5,2,2,3,1,0,0,0,5,2,2,5,第四节 最大流问题,V1,V4,V2,V5,V7,V3,V6,0,2,F=10,0,3,0,1,1,1,0,1,5,2,2,3,1,0,0,0,5,2,2,5,网络图中，逆流就是流过每条路径的流量,第四节 最大流问题,流 量,容量,容量网络：标有弧容量的网络。 网络流的两个条件：每个弧的流量不能超过该弧的最大通过能力，即容量；中间支点的流量为零。 可行流：中间点的流量为零。而发点和收点的
26、流量必须相等。,可行流,第四节 最大流问题,增广链,饱和弧,非饱和弧,零弧,增广链,增广链: 设f是一个可行流，C 是从发点Vs到收点Vt的一条链，若C 满足以 下条件，则称C 为一条增广链： (1) 在弧 (vi,vj) C+上，0fijcij，即C+(弧的方向与链的方向一致 )中每一条弧是非饱和弧 (2) 在弧 (vi,vj) C+ 上， 0fijcij ，即C-(弧的方向与链的方向相反 )中每一条弧是非零流弧,C中每一条弧是非饱和弧;C中每一条弧是非零流弧。,第四节 最大流问题,2,1,s,t,2,8,8,1,1,任给一个包含收点但不包含发点的支点集V*，则称i(弧起点)不属于V*，j(
27、弧终点)属于V*的弧(i,j)的全体为割集。割集的容量是割集中所有弧的容量的总和。如果将割集从网络中移去，则就不可能有从起点到终点的路径。一个网络可能有许多割集。任何从发点到收点的可行流小于等于任何割集的容量。,割集,V*=1,t,割集是(s,1)，(2,t),支点集V*=1,2,t ,割集？,(s,1)，(s,2),第四节 最大流问题,求最大流的标号算法,从一个可行流f=fij出发，（若网络中没有给定f，则可以设f是零流）需要经过标号过程与调整过程。 1标号过程在这个过程中，网络中的点或是标号点或是未标号点。每个标号点的标号包含两部分：第一标号表示它的标号是从哪一点得到的，以便找出增广链；第
28、二个标号是为确定增广链的调整量用的。标号过程开始时，总是先给发点Vs标上(0, +)。其余各点标号的规则是： 设vi 是已标号的点，检查与Vj点关联的另一顶点未标号的弧： （1）如果在弧(vi,vj)上（即前向弧），fij0，则给vj标号(-vi,l(vj)，其中l(vj)=minl(vi),fji，负号说明经后向弧到 。如果fij=0 ，则 vi不标号。重复上述步骤，直到被vj 标上号，表明得到一条从vi 到vj的增广链C，转入调整过程。,第四节 最大流问题,求最大流的标号算法,2调整过程由收点 标号算出的 作为调整量（即 ）。对增广链各弧的调整如下：,增广链以外各弧流量不变。去掉所有标号，
29、对新的可行流 ，重新进入标号过程。直到标号过程中断。当前流就是最大流。,第四节 最大流问题,vs,v2,v1,v3,vt,3,2,2,2,3,(0,+),找到初始可行流。给网络中的各个点标号：总是先给发点vs标上(0,+)。其余各点标号的规则是：设vi是已标号的点，检查与点vi关联的另一顶点未标号的弧： （1）如果在弧(vi,vj)上（即前向弧），fij0，则给vj标号(-vi,l(vj)，其中l(vj)=minl(vi),fji，负号说明经后向弧到vi。如果fji=0，则vj不标号。调整：按照第一标号找到增广链，按第二标号的最小值调整可行流，得到新的可行流。重复标号过程，直到没有增广链，即得
30、到最大流。,4,(vs,2),(v3,1),(-v2,1),(v1,1),如下图所示，弧上数字表示该弧的容量，求该网络的最大流。,增广链以外各弧流量不变,第四节 最大流问题,vs,v2,v1,v3,vt,3,2,2,2,3,(0,+),重复标号过程。给网络中的各个点标号：先给发点vs标上(0,+)。检查vs给v2标上(vs,1)，检查v2,在弧(v2,vt)上,f2t=c2t=2,不满足标号条件，在弧(v1,v2)上，f12=0,也不满足标号条件，标号无法继续。算法结束。,4,(vs,1),如下图所示，弧上数字表示该弧的容量，求该网络的最大流。,最大流量为从发点流出的量,这时的可行流就是所求的
31、最大流,第四节 最大流问题,第四节 最大流问题,从一个费用最小的可行流 f=fij 出发（这样的可行流一定存在，因为费用bij0 ，所以f=0 就是一个流量为0的最小费用流），找出这个可行流f 的费用最小的一条增广链L，沿L调整f，直到找不到费用最小的增广链，就得到了最小费用最大流。,对于网络图G中的弧，除标明弧的容量cij外，还要标明流过该弧单位流量的费用bij，G的一个可行流f=fij，使得流的总运输费用：达到最小。 特别，如果可行流是最大流时，此问题就是最小费用最大流问题。,最小费用流问题,最小费用最大流的基本思路,第五节 最小费用流问题,用Excel求解最大流和最小费用最大流问题,用E
32、xcel求解例9.5,第五节 最小费用流问题,最小费用最大流问题的Excel电子表格求解,用Excel求解例9.6,第五节 最小费用流问题,第五节 最小费用流问题,例1，一个邮递员应选择怎样的送信路线，使得他走完所负责的全部街道后，回到邮局，所走的路程最短（不重复或少重复）,中国邮递员问题,例2 “七桥问题”哥尼斯堡（现叫加里宁格勒）有一条河，河中有二个岛，河上有七座桥，数学家欧拉证明了从一点出发，经过每座桥一次且仅一次，再回到原出发点是办不到的。这就所谓的一笔画问题,中国邮递员问题,一笔画问题 （1）欧拉图：图中每个顶点的次均为偶数的图 （2）欧拉链：经过图中G的每一条边仅一次的链 以下两种图可以一笔画出 （1）每个顶点的次均为偶数的图，画时可以从任一点出发 （2）有且仅有两个奇点的图，画时必须从其中一个奇点出发，在另一个奇点结束 除以上两种情形，其图一律不能一笔画出,中国邮递员问题,在例1中，由于每个顶点的次均为偶数，所以可以一笔画出，也即邮递员可以一次走完所有街道，最后回到邮局，可任选一个点为出发点。,中国邮递员问题,可以把七桥问题看作为如下图的一笔画问题。 由于d(A)=3,d(B)=3,d(C)=5,d(D)=3，即度为奇数的个数为4，所以不能一笔画出，也即不能一次走完七座桥。,D,C,B,A,中国邮递员问题,试确定以下图能否一笔画出？,
