1、作 业1第 1 题设有四个常微分方程：(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.线性方程有一个;B.线性方程有两个;C.线性方程有三个;D.线性方程有四个.您的答案：C题目分数：2此题得分：2.02第 7 题可将六阶方程 化为二阶方程的变换是( ). A. ; B. ; C. ; D. .ABCD您的答案：B题目分数：2此题得分：2.03第 10 题已知 是某一三阶齐次线性方程的解, 则 和的伏朗斯基行列式 ( ). A. ; B. ; C. ; D. . A.AB.BC.CD.D您的答案：A题目分数：2此题得分：2.04第 12 题设 ， 及 是连续函数， 和 是二阶变系数齐次
2、线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B. C. D. ABCD您的答案：B题目分数：2此题得分：2.05第 13 题初值问题 , 的第二次近似解可以写为 ( ). A. 6; B. ; C. ; D. + .ABCD您的答案：D题目分数：2此题得分：2.06第 15 题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个. (i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.1B.2C.3D.4您的答案：C题目分数：2此题得分：2.07第 16 题设有四个常微分方程：(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.非线性方程有一个;B.非线性方程有两
3、个;C.非线性方程有三个;D.非线性方程有四个.您的答案：B题目分数：2此题得分：2.08第 17 题微分方程 的一个解是( ). A. , B. , C. , D. . ABCD您的答案：D题目分数：2此题得分：2.09第 20 题设 是 n 阶齐次线性方程 的线性无关的解, 其中 是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定是正的; B. 的朗斯基行列式一定是负的; C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式恒不为零.A.AB.BC.CD.D10第 21 题设 和 是方程组 的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵 C 使得 , 其中 ;B. 存在某个常数方阵 C 使得
4、 , 其中 ; C. 存在某个常数方阵 C 使得 , 其中 ;D. 存在某个常数方阵 C 使得 , 其中 .ABCD您的答案：A题目分数：2此题得分：2.011第 22 题微分方程 是( ).A.n 阶变系数非齐次线性常微分方程; B.n 阶变系数齐次线性常微分方程; C.n 阶常系数非齐次线性常微分方程;D.n 阶常系数齐次线性常微分方程.您的答案：A题目分数：2此题得分：2.012第 23 题是某个初值问题的唯一解，其中方程是 , 则初始条件应该是( ).A. , B. ,C. ,D. .ABCD您的答案：A题目分数：2此题得分：2.013第 25 题是某个初值问题的唯一解，其中方程是 ,
5、 则初始条件应该是( ).A. , B. ,C. ,D. .A.AB.BC.CD.D您的答案：A题目分数：2此题得分：2.014第 27 题满足初始条件 和方程组 的解为( ). A. ; B. ; C. ; D. .ABCD您的答案：B题目分数：2此题得分：2.015第 29 题可将一阶方程 化为变量分离方程的变换为 A. ； B. ； C. ； D. .ABCD您的答案：C题目分数：2此题得分：2.016第 2 题求解方程 时, 以下的解题步骤中不能省略的有哪几步: A. 因为 , B. 所以原方程是恰当方程; C. 将方程中的重新分项组合 , D. 凑出全微分： , E. 得到通解： .
6、 A.AB.BC.CD.DE.E您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.017第 3 题如下求解三阶常系数线性方程 的过程中, 下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误: 解答：(i) 先求对应齐方程 的通解 ：对应齐方程的特征方程及特征根分别为(A), , , .故对应齐方程的通解为 (B).(ii) 因为有特征根非零(C), 故应设原方程的特解有形如 , 这里 a,b 是待定常数. 代入原方程可得. 利用对应系数相等便得到代数方程组: .由此可解得 (D), 故 .(iii) 原方程的通解可以表示为(E).ABCDE您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.0
7、18第 4 题设 为方程 （ A 为 常数矩阵）的一个基解矩阵，试指出如下的断言中哪些是错误的: A. 可以是也可以不是原方程组的解矩阵, B. 因为不知道是否有 , 故无法判断是否是 原方程组的基解矩阵,C. 存在奇异的常数矩阵 C, 使得 , D. 取 , 可得到 . E. . ABCDE您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.019第 5 题以下是一阶微分方程 的求解过程, 请说明下划线所指出那些步骤中, 哪些是可以省略的: 解答：记 , 则 (A), 注意到 (B)，因此方程不是恰当方程(C). 可以计算, 因而方程有只与 x 有关的积分因子 ，并且该积分因子可以求出为：
8、. 将该积分因子乘在原方程的两端： (D), 分项组合为 , 或可整理为 (E), 最后得到原方程的通解. A.AB.BC.CD.DE.E您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.020第 6 题试求方程组 的基解矩阵 ，并求满足初始条件的解其中 , . 判断哪些步骤所得到的结果是正确的： A. 齐次线性方程组 的特征方程是 , B. 矩阵 A 的特征根为 , 对应的特征向量可分别取为 , . C. 原方程组基解矩阵可取为: . D. 标准基解矩阵为 = . E. 原方程组满足所给初始条件的解为ABCDE您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.021第 8 题设有方程
9、: , 以下步骤中正确的是: A. 利用变量变换 , B. 由 ，有 , C. 代入原方程得到 ,D. 整理后可得 , E. 分离变量得到 . A.AB.BC.CD.DE.E您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.022第 9 题利用降阶法求解二阶方程 的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的: 解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。令 (A), 则. 代入到原方程中可将原方程化为如下的一阶方程:(B).这是一个变量分离型的方程. 如果 , 可得 是原方程的解, 故不妨假设 (C), 因此可以约掉一个 z, 分离变量后有: ,两边积分可得: ,
10、 又由 , 代入上述方程, 再次分离变量(D),在等式两边积分可得原方程的通解(E): . ABCDE您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.023第 11 题以下各个步骤中的哪些能够证明方程 的任何两个解之差当 x 趋向于正无穷大时趋向于零: A. 原方程的任何两个解的差是对应齐次方程 的解, B. 对应齐次方程 的特征根是 , C. 对应齐次方程 的基本解组是 , D. =0, =0, E. 原方程的任何两个解的差 当 x 趋向于正无穷大时趋向于零. ABCDE您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.024第 14 题以下利用参数法求解一阶隐方程 的过程中, 下
11、划线所指出的那些步骤中, 哪些是不能省略的: 解答：引入参数 (A)，则原方程可以写为 , 将此方程两边对 x求导 (B), 可得: , 或 (C). 这是一个关于 p 和 x 的方程, 且是未知函数 p 的导数 可以解出的一阶常微分方程, 进而还是变量分离型方程. 因此我们将这个方程分离变量: .(D) 两边积分并求出积分可以得到（C 是任意常数）: , 因此, 将此式和参数的表达式联立, 即得原方程的参数形式解: (E).ABCDE您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.025第 30 题请查出求解一阶线性微分方程 的过程中有错误的步骤: A. 先求解对应齐方程： ，分离变量
12、可得 , B. 两边积分求出积分可以得到（C 是任意常数）： , C. 再将常数 C 变易为函数： . D. 代入到原方程中可以得到： , E. 原方程的通解（C 是任意常数）： . A.AB.BC.CD.DE.E您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.026第 18 题利用变换 可将伯努利方程 化为线性方程.您的答案：错误题目分数：4此题得分：4.027第 19 题平面上过点 的曲线为 , 该曲线上任一点处的切线与切点和原点的连线的夹角为 , 则这个曲线应满足的常微分方程是 , 初始条件为. 您的答案：正确题目分数：4此题得分：4.028第 24 题当用比较系数法求方程 的一个特解时, 可将这个待定系数的特解设为 . 您的答案：错误题目分数：4此题得分：4.029第 26 题欧拉方程 的一个基本解组为 . 您的答案：正确题目分数：4此题得分：4.030第 28 题对于初值问题 可判定其解在 的某邻域内存在且唯一, 理由 是 在整个平面上连续并且关于 y 满足李普希茨条件 .您的答案：正确题目分数：4此题得分：4.0
