1、,1.4 解 析 函 数,上一节我们学习了复数的导数, 导出柯西-黎曼方程,本节我们 学习解析函数的概念 ,解析函数的概念,解析函数的性质,(1)若函数f(z)=u+iv,在趋于B上解析,则,u(x,y)=C1, v(x,y)=C2,(C1C2为常数)是B上的两组正交曲线族,两边分别相乘,得,即,梯度,正交,分别是曲线u=常数和v=常数的法向矢量, 因此,U=常数和v=常数是互相正交的两曲线族,(2)若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数,调和函数指如果某函数H(x,y)在区域B上有二阶连续 偏导数且满足拉普拉斯方程 则称H(x,y)为 区域B上的调和函数.,后边我
2、们将证明,二阶偏导数,存在且连续,对柯西-黎曼方程,前一式子对x求导,后一式子对y求导,相加可以消除v,得到,同理可得,以上说明u(x,y)和v(x,y)都满足二维的拉普拉斯方程,即都是 调和函数,又由于是同一个复变函数的实部和虚部,所以又特别 称之为共轭调和函数,若给定一个二元的调和函数,可以看做某个解析函数的实部 (虚部),利用柯西-黎曼条件求出相应的虚部(实部),也就确定了 这个解析函数.,给定的二元函数u(x,y)是解析函数的实部,求相应的虚部v(x,y),二元函数v(x,y)的微分式是,由柯西-黎曼条件可得,是全微分,可以用下列方法计算出,(1)曲线积分法 全微分的积分与路径无关,可
3、选取特殊积分路径使积分路径容易算出.,(2)凑全微分法 微分的右端凑成全微分显式,v(x,y)自然求出,(3)不定积分法,以上方法同样适用于从虚部v求实部u的情况,例1,已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=x2-y2,求虚部和解析函数,解:,验证u是调和函数,满足拉普拉斯方程,确实是某解析函数 的实部.,根据柯西-黎曼条件有,(1)曲线积分法 先计算u的偏导数,由此可得,dv=2ydx+2xdy,右边是全微分,积分值,与路径无关,为便于计算,取如图路径:,C为积分常数,(2)凑全微分法 由上已知,dv=2ydx+2xdy,很容易凑成全微分形式d(2xy),则,dv=d(2xy),此时显然有v=2xy+C,实质上也是曲线积分法,在容易凑微分的时候很方便.,(3)不定积分法 上边算出,第一式对y积分,x看做参数,可得,其中 为x的任意函数,再,对x求导,由柯西-黎曼条件知道,从而有,可得v=2xy+C,解析函数为,例2,已知解析函数f(z)的虚部,求实部u(x,y)和解析函数f(z),解,直角坐标系下， 的计算比较烦琐，改用极坐标系,求u(x,y)的方法和例1一样，可以用三种方法，这里只介绍全微 分显式法，先计算v的偏导数,由柯西黎曼方程可得,则可得,因此可得,例,解,例,解,例3,证,
