1、第三章 谓词演算基础,3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性3.4.1 真假性3.4.2 同真假性、永真性和可满足性3.4.3 范式 3.5 唯一性量词与摹状词,真假性：四个因素,(1)个体域设A(e)表示e为偶数，考察 xA(x),当个体域I为1，2，3时，公式的值为假； 当个体域I为2，4，6时，公式的值为真。,真假性：四个因素,(2)自由变元设A(e)表示e为偶数，考察 A(x),当x取2时，其值为T；当x取为3时，其值为F。,真假性：四个因素,(3)谓词变元个体域I=2，4，6，8. 考察 xA(x),当A(e)表示e为偶数时，xA
2、(x)=T； 当A(e)表示e为奇数时，xA(x)=F；,真假性：四个因素,(4)命题变元个体域I=2，4，6，8，A(e)表示e为偶数.考察xA(x)P,当P=T 时，公式的值为真； 当P=F 时，公式的值为假。,谓词演算公式,设为任何一个谓词演算公式，其中自由变元为x1，x2，xn；谓词变元为X1，X2，Xm；命题变元为P1，P2，Pk。此时可表示为：(x1，xn；X1，Xm；P1，Pk),谓词演算公式的解释, 设个体域I解释为常个体域I0； 自由变元x1，xn解释为：I0中的个体a1，an； 谓词变元X1，Xm解释为：I0上的谓词A1，Am； 命题变元P1，Pk解释为：P10，Pk0，其
3、中Pi0=T或F(i=1，2，k)。,成真解释、成假解释,给定公式一个解释：(I0；a1，an；A1，Am；P10，Pk0) 公式在该解释下的值记为：(a，A，P0)= (a1，an；A1，Am；P10，Pk0)若(a，A，P0)=T，则称(I0；a；A；P0)为成真解释； 若(a，A，P0)=F，则称(I0；a；A；P0)为成假解释。,含有量词的谓词演算公式,设个体域I中所有实体变元为a1，a2，an，则有：x(x)=(a1)(a2)(an)x(x)=(a1)(a2)(an),含有量词的谓词演算公式的真假性,x(x)为真 个体域I中的每一个个体均使得取为真x(x)为真 个体域I中有一个个体使
4、得取为真,例 在给定解释下，求x(F(x) G(x,a),给定解释 I 2,3; I中特定元素a=2； 函数为 f(2)=3, f(3)=2; 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0,解：原式= (F(2) G(2,a) (F(3) G(3,a) )= (0 0) (1 0 )= 0 0= 0,例 在给定解释下，求x(F(f(x) G(x,f(x),给定解释 I 2,3; I中特定元素a=2； 函数为 f(2)=3, f(3)=2; 谓词F(
5、x)为F(2)=0,F(3)=1G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0,解：原式 = (F(f(2) G(2,f(2) (F(f(3) G(3,f(3) = (F(3) G(2,3) (F(2) G(3,2)= (1 0) (0 0)= 0 0= 0,例 在给定解释下， 求 x yL(x,y),给定解释 I 2,3; I中特定元素a=2； 函数为 f(2)=3, f(3)=2; 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(
6、3,3)=1L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0,解：原式= ( yL(2,y) ( yL(3,y)= (L(2,2) L(2,3) (L(3,2) L(3,3)= (10) (0 1)= 1 1= 1,例 在给定解释下， 求 y x L(x,y),给定解释 I 2,3; I中特定元素a=2； 函数为 f(2)=3, f(3)=2; 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0,解：原式= ( x L(x,2
7、) ( x L(x,3) = (L(2,2) L(3,2) (L(2,3) L(3,3)= (1 0) (0 1)= 0 0= 0,量词指导变元次序不能随意,例(p31)已知xy(X(x，y)Y(z)Z(x，y),试求公式在解释 (I；z；X(e1，e2)，Y(e)，Z(e1，e2) =(1，2，3，4；2；e1e2；e为偶数；e1e2) 之下的值。,解：将解释代入公式得：原式 = xy(xy 2为偶数)xy)= xy(xyxy),解(续) 原式 = xy(xyxy),(1)当x=1时原式的作用域=y(1y1y)当y=1时，(11)(11)=TT=T当y2 时，(1y)(1y)=FT=T (2
8、)当x=2时原式的作用域=y(2y2y)当y=1时，(21)(21)= TF=F当y=2时，(22)(22)= TT=T当y3时， (2y)(2y)= FT=T 所以，得到： 原式 =(T T T T) (F T T T) () ()= T F * * =F,例(补充) 考察新公式 x y(xyxy),在上例中考察了x=1,2的情况，现在还需要继续考虑x=3,4的情况。,(3)当x=3时新公式的作用域= y(3y3y)当y=1,2时，(3y)(3y)= TF=F当y=3时， (33)(33)= TT=T当y=4时， (34)(34)= FT=T (4)当x=4时新公式的作用域= y(4y4y)
9、当y4时， ，(4y)(4y) = TF=F当y=4时， ，(14)(14) = TT=T,所以，新公式 =(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T T T T=T,例(补充) 四个公式的比较,考察新公式 x y(xyxy) =(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T T T T =T,考察新公式 x y(xyxy) =(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T F F F= T,原公式 = xy(xyxy) =(T T T T) (F T T T) (F F
10、 T T) (F F F T) = T F F F = F,考察新公式 x y(xyxy) =(T T T T) (F T T T) (F F T T) (F F F T) = T T T T = T,第三章 谓词演算基础,3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性3.4.1 真假性3.4.2 同真假性、永真性和可满足性3.4.3 范式 3.5 唯一性量词与摹状词,同真假性,定义：设有两公式和, 如果对于个体域 I 上任何解释，公式 和均取得相同的真假值，则称和在 I 上同真假。如果和在每一个非空个体域上均同真假，则称和同真假。,关于否定的等价
11、公式,x(x)= x(x)x(x)= x(x),设个体域I中所有实体变元为a1，a2，an，则有：x(x)=(a1)(a2)(an)=(a1)(a2)(an)=x(x)x(x)=(a1)(a2)(an)=(a1)(a2)(an)=x(x),量词作用域的收缩与扩张,设公式中不含有自由的x，则:x(x) )= x(x) x(x) )= x(x) x(x) )= x(x) x(x) )= x(x) ,例 试用等价公式判断两公式是否等价,x(x) 和 x (x),解：x(x) =x( (x)= x (x)= x (x) 所以两公式等价。,例 (p33) 试用等价公式判断两公式是否等价,x(x) 和 x
12、(x),解： x(x) = (x(x) = (x(x) = x(x) )= x(x) ) x(x)所以两公式不等价。,量词作用域的收缩与扩张(续),设公式中不含有自由的x，则下面的公式成立:x(x) )= ( x(x) )x( (x) = (x(x)x(x) )= (x(x) )x(x)= (x(x),考察 xF(x),考察 xF(x) xF(x),永真、永假,定义：给定一个谓词演算公式，其个体域为I，对于I中的任意一个解释,(1)若均取为真，则称公式在I上为永真的；(2)若均取为假，则称公式在I上为永假的，也称为公式在I上不可满足的。,例 讨论公式类型 xF(x) xF(x),证明 设E为任
13、意一个解释，其个体域为I，若对于任意的xI,F(x)均为真, 则xF(x)与xF(x)都为真，从而该公式也为真。 若存在x0I, 使得F(x0)为假，则xF(x)为假，从而该公式为真。故在解释E下该公式为真。由于E的任意性，所以该公式是永真式。,可满足、非永真,定义：给定一个谓词演算公式，其个体域为I,(1)如果在个体域I上存在一个成真解释,则称公式在I上为可满足公式；(2)如果在个体域I上存在一个成假解释，则称公式在I上为非永真公式。,例 讨论类型x yF(x,y) x yF(x,y),证明 取解释E如下：个体域为自然数集N，谓词解释F(x,y)：x y。 在解释E下，该公式的前、后件均为真
14、，所以该公式为真，这说明该公式不是矛盾式；再取解释E：个体域仍然为N，谓词F(x,y)：x=y。在解释E下，该公式的前件为真，后件为假，故该公式为假，这又说明该公式不是永真式。综上所述，该公式是非永真式的可满足式。,考察 xF(x) xF(x),定理1 (p33),如果I，J是个具有相同个数的个体域(个体本身可不相同)，则任意一个公式， 若在I中永真当且仅当其在J中永真； 若在I中可满足当且仅当其在J中可满足。,证明：要证明该问题，首先要在两个个体域I和J上建立个体、谓词、解释等元素间的一一对应关系。,定理1的证明 (p33),构造一一对应关系如下：,(1)因为I和J具有相同个数的个体域，所以
15、可在两者之间建立一一对应关系，即在I中有一个个体a，总能在J中找到一个个体与之对应，反之亦然。 (2)现作个体域I和J上谓词的一一对应关系设X(x1，x2，xn)是I上的n元谓词，令满足下列性质的J中n元谓词X(x1，x2，xn)是其对应的谓词:X(x1，xn)为真当且仅当X(x1，xn)为真,其中x1，xn在I中取值， x1，xn在J中取值。,定理1的证明 (p33-34),(3)把I中的解释与J中的解释作一一对应关系：,设有I中的一个解释 (x1，xn；X1，Xm；P1，Pk)=(a1，an；A1，Am；P10，Pk0) 记为：(x；X；P)=(a；A；P0)则令J中的下列解释为其对应的解
16、释 (a1，an；A1，Am；P10，Pk0) 记为：(a；A；P0) 利用归纳法可证明 (见下页) (a；A；P0)=(a；A；P0),定理1的证明(p34),利用归纳法可以证明 (a；A；P0)=(a；A；P0),如果为命题变元，命题显然成立。如果为谓词填式X(x1，x2，xn)则有，故命题成立。如果为下列五种情形之一1，12，12，12，12，则有，故命题成立。如果为y1(x；X；P，y)之形，则有，故命题成立。如果为y1(x；X；P，y)之形，同理可证 。,定理1的证明(p34),利用归纳法可证明 (见上页) (a；A；P0)=(a；A；P0) (3.1) 设在I中可满足，即在I中存在
17、一个解释(a；A；P0)使得取真值，由解释的一一对应关系和式(3.1)知，在J中也存在一个解释(a；A；P0)使得取为真，故在J中可满足。反之亦然。 同理可证，在I中永真当且仅当在J中永真。,K 域,定义：把个体域1，2，3，k称为k域，即由k个个体组成的个体域。当k=1时，就称为1域，依此类推。,永真性和可满足性,定理2：如果一公式在k域上永真，则其在h(hh)域上可满足。,例 (p35)试讨论公式的永真性和可满足性,x(X(x)(y(Y(y)Z(z)xY(x),解：(1)讨论1域即个体域1的情形公式=X(1)(Y(1)Z(1)Y(1)= X(1)T=T所以公式在1域上永真。,(2)讨论2域
18、上的情形此时个体域I=1，2，于公式在1域上永真，由定理3知公式在2域上可满足。,例 (p35) (2)讨论2域上的情形,公式在2域上可满足。下面考察是否在2域上永真。,公式在解释(I；z ；X，Y，Z)=(1，2；2；X1，X2，X2)下, 原式=x(X1(x)(y(X2(y) X2(2)x X2(x)=x(X1(x)(y(X2(y) T)x X2(x)=x(X1(x)(yX2(y)x X2(x)=x(X1(x)(Tx X2(x)=x(X1(x)x X2(x)=x(X1(x)F)=xX1(x)=F F=F 故公式在2域上可满足但非永真。,例 (p35) (3) 讨论k域(k2)上的情形,(3
19、) 讨论k域(k2)上的情形因为公式在2域上可满足，根据定理3知，公式在k域上可满足；设公式在k域上永真，根据定理2知，公式在2域上永真，与公式在2域上非永真矛盾。故公式在k域上可满足但非永真。,命题 x(A(x)B(x)(xA(x)xB(x),在k域上永真。,证明：在k域上，此时个体域I=1，2， ，k,原式= (A(1)B(1)(A(2)B(2) (A(k)B(k) (A(1)A(2)A(k) (B(1)B(2)B(k)= T 所以公式在k域上永真。,例 试符号化“鱼我所欲，熊掌亦我所欲”。,解：F(e)表示“e为鱼”,P(e) 表示 “e为熊掌”,W(e1,e2)表示“e1要e2”，a表
20、示“我”，则原句译为,(x(F(x) W(a,x) (x(P(x) W(a,x),x( (F(x)P(x) W(a,x),?,第三章 谓词演算基础,3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性3.4.1 真假性3.4.2 同真假性、永真性和可满足性3.4.3 范式 3.5 唯一性量词与摹状词,一、前束范式,定义：如果一谓词演算公式中的一切量词均在公式的最前面(量词前不含否定词)且其作用域一直延伸到公式的末端，则称公式为前束形公式。 前束形公式的一般形式为：Q1x1Q2x2QnxnM(x1，x2，xn) 其中，Qi为或，M称为公式的母式且其中不含有
21、量词。,定理,任意一个谓词演算公式均有一前束范式与之等价。,求前束范式的一般步骤,利用等值公式消去“”和“” 否定深入 改名 前移量词,例 求前束范式：xX(x)xY(x),解：(1) 利用等值公式消去“”得：(xX(x)xY(x)(xX(x)xY(x)(2) 否定深入得：(xX(x)xY(x)(xX(x)xY(x)(3) 改名：(xX(x)yY(y)(uX(u)vY(v)(4) 前移量词得：xyuv(X(x)Y(y)(X(u)Y(v),x v yu (X(x)Y(y)(X(u)Y(v),?,例 有一种液体可熔化任何金属,解：L(e)表示“e是液体”,M(e)表示“e是金属”，A(e1,e2)
22、表示“e1熔化e2”，则原句译为x(L(x)(y(M(y)A(x,y),xy(L(x)M(y)A(x,y),?,例 所有学生都佩服某些快乐女声,设S(x)：x是学生，G(x)：x是快乐女声， A(x,y)：x佩服y。下面哪个答案正确？(A) xS(x)A(x,y) (B) x(S(x)y(G(y)A(x,y)(C) xy(S(x)G(y)A(x,y)(D) xy(S(x)G(y) A(x,y)(E) xS(x) yG(y) A(x,y)(F) x(S(x)y(G(y) A(x,y),二、SKOLEM标准形,定义：仅含有全称量词的前束范式称为SKOLEM标准形。,定理：任一谓词演算公式，均可以化
23、成相应的SKOLEM标准形, 且为不可满足的当且仅当其SKOLEM标准形是不可满足的。,SKOLEM标准形的求解算法,(1)先求谓词演算公式的前束范式； (2)按如下方法消去存在量词若存在量词x前无全称量词，则引入SKOLEM常量a，代替公式中受x约束的变元，消去存在量词；若存在量词x前有n个全称量词，则引入n元SKOLEM函数f，代替公式中受x约束的变元，消去存在量词； (3)从左至右重复上述过程，直至公式中不含有存在量词。,例 (p36)求公式的SKOLEM标准形,x(X(x)(yY(x，y)xZ(x),解：先把公式化为前束范式原式=x(X(x)(yY(x，y)xZ(x)=x(X(x)(y
24、Y(x，y)xZ(x)=x(X(x)(yY(x，y)uZ(u)=xyu(X(x)(Y(x，y) Z(u)化为SKOLEM标准形原式=yu(X(a)(Y(a，y) Z(u)=y(X(a)(Y(a，y) Z(f(y),例 (p36)求公式的SKOLEM标准形,x(X(x)(yY(x，y)xZ(x),另解：先把公式化为前束范式原式=x(X(x)(yY(x，y)xZ(x)=x(X(x)(yY(x，y)xZ(x)=x(X(x)(yY(x，y)uZ(u)=xu y (X(x)(Y(x，y) Z(u)化为SKOLEM标准形原式=u y(X(a)(Y(a，y) Z(u)=y(X(a)(Y(a，y) Z(b),第三章 谓词演算基础,3.1 谓词与个体 3.2 函数与量词 3.3 自由变元和约束变元 3.4 永真性和可满足性3.4.1 真假性3.4.2 同真假性、永真性和可满足性3.4.3 范式 3.5 唯一性量词与摹状词,
