1、5.3 复数的加法与减法,一、复数加减法的运算法则：,1.运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.,即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).,2.复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).,3.易证:,4.例题选讲,例1:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(2002-2003i).,解:原式=(1-2+3-4+2001-2002)+(-2+3-4+-2002+2003)i=-1001+10
2、01i.,解:因为z1-z2=(3+4i)-(-2+i)=5+3i,说明:这里用到一个复数的共轭复数的共轭复数等于它 自身.,例3:已知 ,且z1+z2对应的点位于第二象限,求 的范围.,解:,由已知得:,例4:设复数z满足 求z的值和 的取值范围.,解:设z=a+bi(a,bR),则代入条件式得4(a+bi)+2(a-bi)=+i,即6a+2bi= i.,故所求的z= 的取值范围是0,2.,二、复数加减法的几何意义：,1.复数的加法可以按向量的加法法则进行,即遵循平行四边形法则.,3.两点间的距离公式,(1)设复数z1、z2在复平面内对应的点分别为Z1、Z2,则Z1、Z2两点间的距离公式为d
3、=|z1-z2|.,(2)以复数p的对应点为圆心,r为半径的圆的方程为:|z-p|=r.,(3)以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线方程为:|z-z1|=|z-z2|.,(4)方程|z-z1|+|z-z2|=2a,当|z1-z2|2a时表示以z1、z2的对应点为焦点,2a为长轴长的椭圆;,若|z1-z2|=2a,则以z1、z2的对应点为端点的线段.,(5)方程|z-z1|-|z-z2|= 2a,当|z1-z2|2a时表示以z1、 z2的对应点为焦点,2a为实轴长的双曲线.若|z1-z2|=2a,则表示两条射线.,4.复数模的两个重要性质:,5.要会运用复数的几何意义去解题,它包含两
4、个方面:(1)利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数 运算去处理;,(2)反过来,对于一些复数运算式也可以给以几何解释, 使复数作为工具运用于几何之中.,例如:已知复数z1、z2、z1+z2分别对应点A、B、C, O为原点,且|z1+z2|=|z1-z2|,判断四边形OACB的形状.,把关系式|z1+z2|=|z1-z2|给以几何解释为:平行四边形 的两对角线相等,故四边形OACB是矩形.,6.例题选讲,例2:已知复平面上AOB(O为坐标原点)的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,求以OA、OB为邻边的平行四边形的对角线长.,解:设B所对应的复数为a+bi,则O(0
5、,0),A(1,2),B(a,b),重 心G(1,1).,由三角形的重心坐标公式得:,解得a=2,b=1,故B所对应的复数为2+i.,由复数的加减法的几何意义知,所求的对角线长分别为:,例3:已知复平面上正方形ABCD的三个顶点A(1,2),B(-2,1),C(-1,-2),求第四个顶点D对应的复数.,注:解此题的关键利用复数、点、向量之间的一一对应关系.,解:设D(x,y),则有,故D点对应的复数为2-i.,例4:已知复数z满足|z-2|=2,求|z-2+3i|的最大值.,解1:设z=x+yi(x,yR),则由|z-2|=2,得(x-2)2+y2=4.,解2:|z-2|=2表示复数z对应的点
6、是 以C(2,0)为圆心,2为半径的圆.,而|z-2+3i|表示圆上的点到点A (2,-3)的距离.,连结AC并延长交圆上一点Z, 则|AZ|为所求的最大值.,所以当z=2+2i时,|z-2+3i|的最大值是5.,解3:利用 求之.,练习1:已知平行四边形的三个顶点分别为对应复数2i、 4-4i、2+6i.求第四个顶点对应的复数.,说明:由于此题没有给出三个顶点的排列顺序,因此,需要 三种情况进行讨论.这个平行四边形第四个顶点对应的复数是6或-2+12i或2-8i.,练习2:设复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+1+i|的最值.,说明:此题求解的最佳方法是数形结合.但要当心的是z的对
7、应点的轨迹是线段而不是椭圆.,例5:复数z满足2|z-3-3i|=|z|,求z的对应点的轨迹.,本题由方程直接看不出z满足条件,故可z=x+yi(x,y R),代入2|z-3-3i|=|z|得到方程为:(x-4)2+(y-4)2=8.,故z的对应点的轨迹是以(4,4)为圆心,以 为半径 的圆.,例6:已知|z|=2,试求z+3-4i的对应点的轨迹.,解1:设,故z+3-4i的对应点的轨迹是以(3,-4)为圆心,2为半径 的圆.,解2:设 ,则,故z+3-4i的对应点的轨迹是以3-4i的对应点为圆心, 2为半径的圆.,三、小结：,1.复数加、减法的运算法则是复数集中最基本的运算,可结合多项式运算记忆法则,运算过程中应善于利用共轭复数及模的概念与性质,以达到化繁为简的目的.,2.复数的模及其运算的几何意义是复数问题几何化的保证,必须熟练把握.,3.复数轨迹问题的求法有二:,(1)设轨迹上任一点,对应的复数为z=x+yi(x,yR),把问题转化为解析几何中的求轨迹问题.,(2)直接建立轨迹上的点Z对应的复数z的方程,据方程所呈现的几何特征给出轨迹形状.,4.根据复数差及模的几何意义可知,两复数差的模即为其在复平面内对应的两点间距离,所以解析几何中,凡是用距离定义的曲线,其方程都可用复数的形式来表示,如圆、椭圆、双曲线、线段及其垂直平分线等.,四、作业：,p.265266课后强化训练.,
