1、1,点、直线、平面的投影,第四章 正投影的基本知识,2, 点的投影与点的直角坐标的关系,点的投影, 点的三面投影 及 投影关系，已知两投影求第三投影, 两点的相对位置 （看图的基础）,直线的投影, 直线对投影面的相对位置 （三类七种）, 直线上的点 （从属关系）, 两直线的相对位置 （平行、相交、交叉、垂直）,平面的投影, 平面的表示法及形式转换, 平面相对于投影面的位置 （三类七种）, 平面内的点和直线,3,1.点在三投影面体系中的投影,一. 点的投影,由空间点A分别向V、H、W面进行投影,得正面投影a、水平投影a、侧面投影a”,将三面投影展开摊在一个平面上，得三面投影图。,4, 点的投影与
2、点的坐标的关系,点的投影规律,点AW面 X坐标 aOZ aOY,点AV面 Y坐标 aOX aOZ,点AH面 Z坐标 aOX a”OY,X,Z,y,x,x,z,y,z,Y,y,aa OX （长对正）,aa” OZ （高平齐）,aOXa”OZ （宽相等）,45,5,例 作点A (30,50,50)、B (70,20,0) 的三面投影，,及其空间位置。,6,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,解法1:,解法2:,直接用分规量取,7,X,O,Z,Y,3. 两点的相对位置及重影点,正面投影看高低 水平投影看前后 侧面投影看前后,B点在A点的左后下方,8,正面投影看高低 水平投影看前后 侧面投影看
3、前后,把AB连成直线，观察直线的三面投影。,你得到了什么启示和结论？,请你用手中的铅笔模拟直线的空间方位,9,( ),a“,例:比较两点的相对位置,A、C两点的侧面投影重影,a,a,b,b,b“,c,c,c“,AB指向右下前方,C在A的正左方,X,Z,YH,YW,o,10,例：根据点的两面投影求第三投影,辅助线,4. 特殊位置的点,主要指位于投影面上的点,11,二 直线的投影,直线对投影面的相对位置,直线上的点,两直线的相对位置,立体上直线的分析,12,平行,垂直,倾斜, P 投影小于实长 ab = AB Cos,ABP 投影反映实长 ab=AB,AB P 投影有积聚性 ab,AB, 直线的投
4、影一般仍为直线。直线的投影取决于直线与投影面的倾角。,直线的投影,13, 直线的投影由两端点同名投影的连线确定,根据直线两端点的相对 位置 判别AB的指向(方向),14,(1) 一般位置直线,投影特性：三个投影均倾斜于投影轴，均不反映实长、倾角.,2. 直线相对投影面的位置,15,(2) 投影面平行线,16,X,Z,Y,O,X,O,z,Y,Y,水平线,= AB H = AB V = AB W,17,X,O,Z,Y,Y,正平线,18,X,Z,O,Y,Y,侧平线,19,投影面平行线,20,a,a,a“,例题1,例：过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角=30。,21,(3) 投
5、影面垂直线,22,铅垂线,23,正垂线,24,侧垂线,25,投影面垂直线,26,27,例题2,例:根据直线的两投影判断其空间位置.,X,O,g,g,X,O,a,a,b,b,X,O,c,d,d,h,h,O,正平线,侧平线,水平线,一般位置直线,侧垂线,铅垂线,c,28,O,侧平线,一般线,一般线,水平线,正垂线,正平线,29,直线上点的投影特性: 1、直线上点的投影在直线的同面投影上(从属关系不变)。 2、直线上的点分割线段之比，投影后比值不变。即：,AC:CB=ac:cb= ac : cb= ac : cb,3. 直线上的点,30,例1：判断点C是否在线段AB上。,在,不在,a,b,不在,应用
6、定比定理,31,例：已知点K在线段AB上，求点K的正面投影。,解法一： （借助第三投影）,解法二： （应用定比定理）,a,b,32,33,X,a,b,O,b,m,a,m,z,b,a,m,例 判断点M 是否在直线AB上？,解：分析：AB为侧平线，M在直线上，必在直线AB的同面投影上，并满足定比规律。 作图： 方法一 分割线段成定比 方法二 画第三投影,结论：点M不在直线上。,y,y,34,X,a,b,b,m,a,m,b,m,a,35,例: 已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。,c,36,4. 两直线的相对位置,平行、相交、交叉（异面）。, 两直线平行,投影特性,同名投影平行 ab/cd
7、ab/cd 且长度成比例 ab:cd = ab:cd,37,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB与CD平行。,AB与CD不平行。,对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,38, 两直线相交,同名投影相交,交点符合点的投影规律.,投影特性:,39, 两直线交叉,40,( ),( ),a,b,c,d,c,a,b,d,交叉两直线重影点的可见性判断,a,b,b,a,c,d,d,c,A,B,C,V,H,o,X,4,3,3 4,2,1,1 2,X,(3)4,1(2),D,41,例一：,例二：,42,例: 判断两直线
8、的相对位置,1d,c 1,43,a,b,c,a,b,c,s,ab,c,s,棱线分析,s,SA ,SC ,AC ,一般位置线,侧平线,水平线,44,直角投影规律： 空间两条相互垂直线之一，平行于某投影面时,则在该面上的投影垂直。,若 ACAB, ABH,则 acab, 一边平行于投影面的直角投影,45,上述结论亦实用于两直线交叉垂直,46,c,d,d,abcd,已知AB/H、ABCD，求cd,例:,47,例: 求点K到直线AB的距离 。,48,例: 已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，长30，试完成三角形ABC的投影。,e,f,e,f,a,a,b,b,c,c,量取bc=30mm,49
9、,例:求两直线AB、CD之间的距离。(习题P11. 3-17 ),n,m,m,两交叉线间距离,50,例：过点A作直线AB，与直线CD相交。,无数解,唯一解,b,b,b,b,51,1. 平面的表示法及形式转换, 平面相对于投影面的位置, 平面内的点和直线,三 平面的投影,52,1. 平面的表示法及形式转换,几何元素表示法,迹线表示法（了解）,53,平面的迹线（与投影面的交线）表示法,PV,PH,Q H,X,X,V,V,H,PV,PH,Q H,H,用垂面的积聚投影(一条线)表示平面,54,平面/P,平面 P,反映实形,实形性,积聚成直线,积聚性,缩小且类似图形,类似性,平面的投影特性取决于平面与投
10、影面的倾角,55,投影面平行面,投影面垂直面,一般位置平面,铅垂面： H V、W,正垂面： V H、W,侧垂面： W V、H,水平面：H,正平面：V,侧平面：W, 平面相对于投影面的位置,特殊位置平面,56, 投影面平行面,正平面,水平面,侧平面,57,水平面,投影特性,在所平行的投影面上的投影反映实形,另二投影积聚为平行于相应投影轴的线段,58,投影面平行面,59,正垂面,铅垂面,侧垂面, 投影面垂直面,60,正垂面,投影特性,在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，且反映平面与另两投影面的倾角,另两投影为类似图形,a,b,c,c“,a“,a,c,b,b“,61,铅垂面,请同学叙述铅垂面的投影特
11、性,62,铅垂面的迹线表示法,63,投影面垂直面,64, 一般位置平面,投影特性三个投影均为缩小的类似形,a“,b“,c“,平面与三投影面均倾斜,65,平面图形二求三,x,b,a,c,b,a,z,a,c,b,c,y,y,66,例:根据平面的两投影判定平面的位置,正平面,铅垂面,侧垂面,水平面,侧垂面,侧平面,67,a,b,c,ab,c,s,棱锥表面分析,一 般,侧 垂,68,三、平面上的点和直线,直线在平面上的条件 通过平面内两点； 或通过平面内一点，且平行于平面内一直线。点在平面上的条件 点在平面内的某一直线上故要在平面内取点，必须先在平面内取直线。,基本作图： 判定点或直线是否在平面上；
12、在平面上引辅助线定位点。,69,例：点K 在平面内，已知k，求k,1,1,k,2,2,辅助线（两点法）,辅助线（一点一方向法）,b,a,c,c,a,k,b,70,a,b,c,a,b,c,k,k,e,e,K点不在ABC上,【例】判定点K是否在平面ABC上？,71,例:已知点K 在平面上，且点K距离H面15， 距离V 面10，试求点K的投影。,72,e,d,c,e,a,b,a,b ,c,d,【例】已知平面四边形ABCD，其中DC为正平线，试完成平面四边形的水平投影投影。,73,例：已知AC为正平线，完成平面四边形的水平投影,c,d,74,例：已知AC为正平线，完成平面四边形的水平投影,c,d,75
13、,完成五边形的投影,a,b,c,d,a,b,c,e,e,a,c,b,b,c,a,d,在ABC内作距V面15的正平线,76,a,a“,d“,c“,c,c,a,b,d,b,d,b“,a,b,a,(b),c,d,(d)c,a“,b“,c“,d“,完成铅垂面正方形ABCD的投影，=30。,正方形ABCD为正垂面，对角线AC为正平线,77,（要进行可见性判别）, 交点K是公有点,即 既属于直线、又属于平面。, 交点是线面相互遮挡的虚实分界点,K,四. 直线与平面相交,教材 P50P52,78,k,m(n),b,m,n,c,b,a,a,c,直线MN为铅垂线，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点K的正
14、面投影？在平面上引辅助线,k, 求铅垂线MN与一般面ABC的交点K,直观判断可见性,79, 一般线与投影面垂直面相交,x,b,b,a,a,c,c,m,m,n,n,k,k,平面ABC为铅垂面，在有积聚性的水平投影上直接显示直线与平面的交点K的水平投影k。,在平面的积聚投影上，可直观判断直线与平面的前后位置关系。,在交点k左侧，直线在前，平面在后，故正面投影直线可见，右侧反之。,80,线面相交的应用举例,81, 一般面与垂面相交 求交线,两平面的交线为直线, 求两平面交线的实质, 交线是两平面重影部分可见性的虚实分界线,是求直线与平面的交点,1,A,B,C,2,P,交线是两平面的公有线,即从一个平
15、面上选取两条,直线对另一个平面求交点。,82,一般面与投影面垂直面相交,83,一般面与投影面垂直面相交,a,a,b,b,c,c,d,d,e,e,f,f,n,n,m0,m0,m,m,84,可通过正面投影直观地进行判别。,a,b,c,d,e,f,c,f,d,b,e,a,m(n),两平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线，交线为一条正垂线，（方向已知）。, 求交线, 判别可见性,如何判别？,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,85,b,c,f,d,a,e,a,b,c,e,f,d,1(2),分析,DEF是一水平面，它的正面投影有积聚性,直接显示ABC的两边AB和BC与EFD的交点的
16、正面投影m、n，mn即交线MN的正面投影。, 求交线MN（mn，mn）, 判别可见性,利用重影判别：设点在FD上，点在BC上，点在上，点在下，故交线之前DEF可见，之后则不可见,作图,求作ABC与DEF两平面的交线,其实，可用直接观察法判别。,86,c,d,e,f,a,b,a,b,c,d,e,f,求作ABC与DEF两平面的交线,此题与上题类似,特点是互交,（上题中的两平面，一宽一窄，为穿交。）,87,F,E,C,A,B,K, 求一般线与一般面的交点, 包含直线EF作辅助垂面P(切一刀), 求辅助垂面P与ABC平面的交线MN, 交线MN与直线EF的交点K即所求, 辅助平面法,88,求直线与平面的
17、交点,a,b,b,a,k,k,一般线与垂面相交,利用垂面投影的积聚性 直接求交点,利用垂面投影的积聚性,求两条线的两个交点,在垂面投影的积聚性上 直观判断可见性,一般面与垂面相交,一般线与一般面相交,包含直线作辅助垂面,89,一般线与一般面相交, 包含直线作辅助垂面(切一刀), 求辅助垂面与一般面的交线, 交线与直线的交点即所求,题 给,结 果,原 理,90,求一般线与一般面的交点并判别可见性,m,n,QH,f ,e,e,f,b,a,a,c,b,c,k,k,m,n,题给,作图,91,本 章 结 束,下 为 习 题,92,第四章 正投影的基本知识,1. 根据点的两面投影，求作点的第三面投影。,a
18、”,a,b,b”,c”,b,c,a,c,x,z,o,y,y,习 P11,93,2. 根据点的两面投影，求作点的第三面投影。,d”,e”,f”,e,d,f,d,e,f,94,3. 根据点的坐标值A（35，25，25）、B（35，15，25）、C（15，15，25），求作它们的投影。,a”,b”,（c”）,b,a,c,a,（b）,c,35,25,25,15,95,4. 根据点的两面投影，求作点的第三面投影，并判断它们的相对位置。,a”,b”,b,a,a,b,y,y,A 在 B 之左,B 在 A 之后,B 在 A 之上,a”,b”,b,a,a,b,B,A,96,5. 根据点的两面投影，求作点的第三面
19、投影，并判断它们的相对位置。,d”,c”,d,c,d,c,D 在 C 之右,C 在 D 之前,C 在 D 之下,97,6. 已知点B在点A的正上方10mm,点C在点B的正左方10mm,，求A、B、C三点的三面投影，并判断可见性。,a”,b”,c”(b”),b（a）,a,c,a,b,c,10,10,98,7. 根据下列直线的两面投影，判断直线对投影面的相对位置（填空），作出直线的第三面投影。,a”,b”,c”,b,a,c,a,b,c,正平,水平,侧垂,一般,d,d”,d,e,e”f”,f,e,f,g,g”,h”,h,g,h,8. 判断两直线的相对对位置。,l,l,交叉,平行,交叉,相交,99,13. 过点A作一直线平行于H面，并与BC相交。,14. 过点A作正平线AB,使倾角30，AB30mm，有几解？作出其中一解。,d,d,b,a,c,a,b,c,b,a,a,b,30,30,30,30,100,17. 过点A作一直线与BC垂直相交。,习题P14,b,a,c,a,b,c,a,a,a,a,bc,b,b,c,c,c,b,k,k,k,k,k,k,101,22. 根据平面图形的两个投影，求作它们的第三面投影，并判断平面的空间位置。,习题P15,正平面,侧垂面,102,读投影弯铁丝,103,a”,b”,c”,b,a,c,a,b,c,
