1、复变函数理论,扬州大学物理系,参 考 书复变函数与积分变换,焦红伟 尹景本,北大出版社 复变函数论，钟玉泉，高等教育出版社 复变函数，路见可 钟寿国 刘士强 编著，武汉大学出版社 复变函数与积分变换典型题分析解集，李建林，西北工业大学出版社,第一章 复数和复变函数 1.1、复数 1.2、复变函数 1.3、复球面和无穷远点 第二章 解析函数 2.1、解析函数的概念 2.2、解析函数和调和函数 2.3、初等解析函数和多值函数 第三章 Cauchy定理与Cauchy积分 3.1、复变积分的概念 3.2、Cauchy积分定理 3.3、Cauchy积分公式 3.4、平面场,第四章 解析函数的幂级数表示
2、4.1、函数项级数的基本性质 4.2、幂级数与解析函数 4.3、Laurant级数 4.4、单值函数的孤立奇点 第五章 留数及其应用 5.1、留数及留数定理 5.2、利用留数定理计算实变函数的积分 第六章 保角变换 6.1、解析变换的性质 6.2、线性变换 6.3、某些初等函数构成的变换 第七章 积分变换 7.1、Fourier变换的定义及性质,7.2、Laplace变换的定义 7.3、Laplace变换的基本性质 7.4、展开定理,引 论,求解一元二次方程：,其解可以表示为：,显然，如果： ，这就遇到负数开平方的问题。,为了解决复数开平方的问题，只能扩大数域范围，将实数域 扩大到复数域，并引
3、入虚数单位i, 规定：,(1) (2) 它与实数一起进行传统意义上的四则运算。,由此，任意一个复数z总可以表示为：,复变函数理论就是研究复变数z=x+iy的函数f(z)的基本概念、 理论及应用。,复变函数理论研究的中心对象复数域的复解析函数。而由于 复解析函数的许多独特性质，使得复变函数理论在物理学当 中存在广泛应用。,第一章 复数与复变函数,第一节 复 数,1、复数域,复数： ，x为复数z的实部， y为复数z的虚部，一般 记为：,特别的：若 ，则称z为纯虚数或虚数；若则称z为纯实数或实数。而 则称z为复数0，记为：,复数的运算：,(1) 若： ，则：,(2),(3),复数运算的交换律、结合律
4、和分配律与实数运算的规则一致：,(1)交换律：,(2)结合律：,(3)分配律：,共轭复数： ，称 互为共轭，记为：,共轭复数的性质：,2、复平面,对于复数： ，显然z可以由一对实数(x,y)唯一确定， 于是复数z可以建立起与实数平面中的点的一一对应关系：,x轴上的点对应于复数的实部，称x轴为实轴；y轴上的点对应 于复数的虚部，称y轴为虚轴；该二维平面空间称为复平面空 间。,复数在复平面空间的加减运算可以对应为复平面空间中向量 的加减运算：,3、复数的模及幅角,若复平面空间用极坐标表示，则任意复数可表示为：,三角形表示,则称r为z的模，为z的幅角，记为：,根据三角关系，复数z的模满足一下不等式关
5、系：,幅角的多值性：,这里 称为幅角的主值。,* 复数0的模为0，幅角无定义。,模为1的复数称为单位复数。,复数在复平面空间的乘法：,所以两个复数相乘，就是它们的模相乘，幅角相加。 两个复数相除，就是它们的模相除，幅角相减。,由复数乘法的性质，可以引入Euler表示：,利用Euler表示可将任意复数表示为：,指数表示,显然，利用复数的指数表示，复数乘法可表示为：,4、复数的乘幂和方根,乘幂：对于非0复数z，利用复数的乘法规则，其正整数次幂 可以表示为：,若z为单位复数，有(De Moivre formula)：,方根：求z的n次方根，为求复数z的n次乘幂的逆运算，及：,若令：,示意图：,5、复
6、球面表示,N对应于，包含的闭平 面称为扩充复平面，而不 包括的开平面称为复平 面或有限复平面。,复球面上的任意一点P与复 平面上的点Z建立起了一 对一的映射关系。,6、复数序列,复数序列：按照一定顺序排列的复数,称为复数序列，记为zn.,聚点(极限点)： 给定序列zn，若存在复数w，对于任意给定小 量0，恒有无穷多个zn满足 ，则称w为序列zn的 一个聚点或极限点。,*一个序列可以存在不止一个极限点. 对于实数序列来说，其极 限点也必为实数，最大的极限点称为上极限，最小的极限点 称为下极限。,有界序列和无界序列： 给定序列zn，若存在一个正实数M， 使得对于所有zn都满足 ，则称序列zn为有界
7、序列；否 则称为无界序列。,极限： 给定序列zn，若存在复数z，对于任意给定小量0， 若能找到N()，使得当n N()时，恒有 ，则称z为 序列zn的极限。,*一个序列的极限必为序列的聚点，而且为唯一的聚点。,极限存在(序列收敛)的Cauchy充要条件： 任意给定小量0， 存在正整数N()，使得对于任意正整数l，有 。,*一个无界序列的不可能有极限（收敛）。,总 结,1、复数复数的表示、计算 2、复平面 3、复数的模及幅角模、幅角的定义及表示，幅角的多值性，复数的乘积复数的指数表示(Euler formula) 4、复数的乘幂和方根乘幂和方根的计算 5、复数序列定义、聚点、有界、极限、极限存在(序列收敛)的Cauchy充要条件,作业： P11 2, 3,
