1、- 1 -任意角 1.角的概念(1)定义：一条射线 OA 由原来的位置 OA，绕着它的端点 O 按一定方向旋转到另一位置 OB，就形成了角 。其中射线 OA 叫角 的始边，射线 OB 叫角 的终边，O 叫角 的顶点。2正角、负角、零角概念为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图 2 中的角为正角，它等于 300 与 7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角， 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下， “角 ”或“
2、”可简记为 . 3.象限角角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。思考三个问题：1.定义中说：角的始边与 x 轴的非负半轴重合，如果改为与 x 轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？答：1.不行，始边包括端点（原点） ； 2端点在原点上；3不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；小于 900 的角可能是零角或负角，故它
3、不一定是锐角；4.终边相同的角的表示法两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差 3600 的整数倍。例如：750 0=23600+300；-6900=-23600+300。由此，我们可以用 S=|=k 3600+300，kZ来表示所有与 300 角终边相同的角的集合。对于任意一个角 ，与它终边相同的角的集合 S=|=+k360 0，kZ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和。注意一些结论:第一象限的角表示为|k 360 k360+90 ，k Z；第二象限的角表示为|k 360+90k 360+180，kZ；第三象限的角表示为|k 360+180 k360+270 ，kZ；
4、第四象限的角表示为|k 360+270 k360+360 ，kZ； 终边在 x 轴正半轴上的角的集合：|=k360， kZ；终边在 x 轴负半轴上的角的集合|=k360+180 ，kZ；终边在 x 轴上的角的集合： |=k180，kZ；终边在 y 轴正半轴上的角的集合： |=k360+90，kZ；终边在 y 轴负半轴上的角的集合： |=k360+270，kZ；终边在 y 轴上的角的集合： |=k180+90，kZ ；终边在坐标轴上的角的集合：|=k90，kZ。BO A图 1- 2 -5.角度制与弧度制：1、定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角，它的单位是 rad 读作弧度，这
5、种用“弧度” 做单位来度量角的制度叫做弧度制即用度作为单位来表示角的单位制叫做角度制；用弧度作为单位来表示角的单位制叫做弧度制。2、说明：（1 ） 、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0；（2 ） 、角的弧度数的绝对值 （ 为弧长， 为半径）rlr3、角度与弧度互换 360=2 rad 180 = rad 1= ， 80rad18057.318r角度 0 30 120 135 150弧度 /4 /3 /2 4、有关扇形的公式1弧长公式： lR2扇形面积公式 其中 是扇形弧长， 是圆的半径 奎 屯王 新 敞新 疆21SllR6.例题讲评例 1 设 ，第 一 象 限 的 角
6、锐 角 ，的 角 小 于 GF90oE，那么有（ D ） A B C （ ） D 例 2 用集合表示：（1）各象限的角组成的集合 （2 ）终边落在 轴右侧的角的集合解：(1) 第一象限角： |k360ok360 o+90o,kZ 第二象限角：|k360 o+90o k360 o+180o,kZ第三象限角：|k360 o+180o k360 o+270o,kZ 第四象限角：|k360 o+270o k360 o+360o ,kZ （2 ）在 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转”后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原来角终边重合，同样一个“区- 3
7、 -间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得 “区间”仍与原区间重叠例 3 （1）如图，终边落在 位置时的角的集合是_|k360 o+120o ,kZ ；终边落在 位置，且在 内的角的集合是_45 o,225o_ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是_|k360 o45 ok360 o+120o ,kZ 练习： （1 ）请用集合表示下列各角 间的角 第一象限角 锐角 小于 角解答（1） ； ； ； （2 ）分别写出：终边落在 轴负半轴上的角的集合； 终边落在 轴上的角的集合；终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；终边落在四象限角平分线上的角的集合解答（2） ； ； ； 说明：第一象
8、限角未必是锐角，小于 的角不一定是锐角， 间的角，根据课本约定它包括 ，但不包含 例 4 在 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1 ） ；（2） ；（3） 解：（1） 与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；（2） 与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；（3） - 4 -所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角 总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以 ，按通常除去进行；负的角度除以 ，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大 1，以使余数为正值练习： （1 ）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _（2 ）集合 M =k ，kZ中，各角的终
9、边都在（C ）o90A 轴正半轴上， B 轴正半轴上，C 轴或 轴上， D 轴正半轴或 轴正半轴上（3 ）设 ， C|= k180o+45o ,kZ ， 则相等的角集合为_ BD，CE_2已知扇形 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积 奎 屯王 新 敞新 疆AO3. 已知扇形周长为 10cm，面积为 6cm2，求扇形中心角的弧度数基础练习1下列各命题中，正确的是 （ ）A. 一弧度就是一度圆心角所对的弧； B. 一弧度是长度为半径的弧；C一弧度是一度的弧与一度的角之和；D一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是一种度量单位。2. 扇形的半径变为原来的 2 倍，弧长也增
10、加到原来的 2 倍，则 （ ）A扇形的面积不变； B. 扇形的圆心角不变C扇形的面积增大到原来的 2 倍； D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍。3. 将下列角转化为另一种形式表示：（1） ； （2 ） 278（3） ； （4 ） 0 054. 7 弧度的角在第 象限。5. 已知 。 （1 ）把 表示成 的形式，其中 ；0692k,0,2kZ（2）求 ，使 与 的终边相同，且 。4习题：- 5 -一、选择题1.若 是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( )A. 90- B. 90+ C. 360- D. 180+2.下列角中终边与 330相同的角是（ ）.30 B.-30 C.63
11、0 D.-6303.若 是第四象限角，则 180- 一定是（ ）.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角4下列命题是真命题的是（ ）.三角形的内角必是一、二象限内的角 B.第一象限的角必是锐角C.不相等的角终边一定不相同D. | =k360+90,kZ = |=k 180+90,kz 5.若 是第二象限的角，则 2 不可能在（ ）.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限6半径为 cm，中心角为 120o 的弧长为 （ ）A B C Dcm3c32cm32c327集合 M= ，N= ，则 MN 为（ ）,52|Zk|A B C D103,54,
12、107107,543,107,3二、填空题：8. - rad 化为角度应为 。1239若 40）的圆中， 弧度圆周角所对的弧长为_；长为 2a 的弧所6对的圆周角为_弧度。12扇形 OAB 的面积是 1cm2，它的周长为 4cm，则它的中心角与弦 AB 的长分别是_。13已知集合 A = ，B=x|x 2 40，则,23|Zkxkx=_。B- 6 -三解答题：14已知 =1690 o 。(1)把 表示成 2k+ 的形式（kZ， ） ；)2,0（2 ）求 ，使 与 的终边相同，且 （- 4，- 2） 。15等腰三角形的两个角的比为 2 ：3 ，试求此三角形的顶角与底角的弧度数。16.试写出所有终边在直线 上的角的集合，并指出上述集合中介于-180 0 和 1800 之xy间的角。17.已知 0360，且 角的 7 倍角的终边和 角终边重合，求 。18.已知扇形的周长为 20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
