1、第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中 p、q 均为常数 如果 y1、y 2 是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么 yC1y1C2y2 就是它的通解 我们看看 能否适当选取 r 使 yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 yerx 代入方程ypyqy0得(r 2prq)erx 0 由此可见 只要 r 满足代数方程 r2prq
2、0 函数 yerx 就是微分方程的解 特征方程 方程 r2prq0 叫做微分方程 ypyqy0 的特征方程 特征方程的两个根r1、r 2 可用公式24,p求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根 r1、r 2 时 函数 、 是方程的两个线性无关xrey1xr2的解 这是因为 函数 、 是方程的解 又 不是常数 xrey1xr2 xrxrey)(2121因此方程的通解为 xrreCy21(2)特征方程有两个相等的实根 r1r2 时 函数 、 是二阶常系数齐次线性微xrey1xr12分方程的两个线性无关的解 这是因为 是方程的解 又xrey1xrrxrxrr qepeeqp
3、 111111 )()2()()( 0211 pex所以 也是方程的解 且 不是常数 xry1xeyr12因此方程的通解为 xrxreCy112(3)特征方程有一对共轭复根 r1, 2i 时 函数 ye(i)x、ye (i)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数 yexcosx、ye xsinx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数 y1e(i)x 和 y2e(i)x 都是方程的解 而由欧拉公式 得y1e(i)xex(cosxisinx) y2e(i)xex(cosxisinx)y1y22excosx )(21cosyy1y22iexsinx ini故 excosx、y 2e
4、xsinx 也是方程解 可以验证 y 1excosx、y 2exsinx 是方程的线性无关解 因此方程的通解为yex(C1cosxC2sinx ) 求二阶常系数齐次线性微分方程 ypyqy0 的通解的步骤为 第一步 写出微分方程的特征方程r2prq0第二步 求出特征方程的两个根 r1、r 2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 例 1 求微分方程 y2y3y0 的通解 解 所给微分方程的特征方程为r22r30 即(r1)(r3)0 其根 r11 r23 是两个不相等的实根 因此所求通解为yC1exC2e3x 例 2 求方程 y2yy0 满足初始条件 y|x04、y |
5、x02 的特解 解 所给方程的特征方程为r22r10 即(r1) 20 其根 r1r21 是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为y(C1C2x)ex 将条件 y|x04 代入通解 得 C14 从而y(4C2x)ex 将上式对 x 求导 得y(C24C2x)ex 再把条件 y|x02 代入上式 得 C22 于是所求特解为x(42x)ex 例 3 求微分方程 y2y5y 0 的通解 解 所给方程的特征方程为r22r50 特征方程的根为 r112i r212i 是一对共轭复根 因此所求通解为yex(C1cos2xC2sin2x) n 阶常系数齐次线性微分方程 方程y(n) p1y(n1)p2 y
6、(n2) pn1ypny0 称为 n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn1 pn 都是常数 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到 n 阶常系数齐次线性微分方程上去 引入微分算子 D 及微分算子的 n 次多项式 L(D)=Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn则 n 阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn)y0 或 L(D)y0注 D 叫做微分算子 D0yy Dyy D2yy D3yy Dnyy(n) 分析 令 yerx 则L(D)yL(D)erx(rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn)erxL(r)erx
7、因此如果 r 是多项式 L(r)的根 则 yerx 是微分方程 L(D)y0 的解 n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程 L(r)rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn0称为微分方程 L(D)y0 的特征方程 特征方程的根与通解中项的对应 单实根 r 对应于一项 Ce rx 一对单复根 r1 2 i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx) k 重实根 r 对应于 k 项 e rx(C1C2x Ck xk1) 一 对 k 重复根 r1 2 i 对应于 2k 项 ex(C1C2x Ck xk1)cosx( D1D2x Dk xk1)sinx 例 4 求方程 y(4)2y5y0 的通解
8、解 这里的特征方程为r42r35r20 即 r2(r22r5)0 它的根是 r1r20 和 r3 412i 因此所给微分方程的通解为yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x) 例 5 求方程 y(4) 4y0 的通解 其中 0 解 这里的特征方程为r4 40 它的根为 )1(2,i)1(24,3ir因此所给微分方程的通解为 )sincos(212xCxeyx )2sincos(432 xCxex二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程 方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中 p、q 是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的
9、通解 yY(x)与非齐次方程本身的一个特解 yy*(x)之和 yY(x) y*(x) 当 f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法 一、 f(x)Pm(x)ex 型当 f(x)Pm(x)ex 时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为 y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (1)如果 不是特征方程 r2prq0 的根 则 2pq0 要使上式成立 Q(x)应设为 m 次多项式 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定 b0 b1 bm 并得所求特解 y*Qm(x)ex (2)如果 是特
10、征方程 r2prq0 的单根 则 2pq0 但 2p0 要使等式Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) 成立 Q(x) 应设为 m1 次多项式 Q(x)xQm(x) Qm(x)b0xm b1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定 b0 b1 bm 并得所求特解 y*xQm(x)ex (3)如果 是特征方程 r2prq0 的二重根 则 2pq0 2p0 要使等式Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) 成立 Q(x) 应设为 m2 次多项式 Q(x)x2Qm(x) Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定 b0 b
11、1 bm 并得所求特解y*x2Qm(x)ex 综上所述 我们有如下结论 如果 f(x)Pm(x)ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f(x)有形如y*xk Qm(x)ex的特解 其中 Qm(x)是与 Pm(x)同次的多项式 而 k 按 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为 0、1 或 2 例 1 求微分方程 y2y3y3x1 的一个特解 解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数 f(x)是 Pm(x)ex 型( 其中 Pm(x)3x1 0) 与所给方程对应的齐次方程为y2y3y0 它的特征方程为r22r30 由于这里 0 不是特征方程的根 所以应设特解
12、为y*b0xb1 把它代入所给方程 得3b0x2b03b13x1 比较两端 x 同次幂的系数 得 3b03 2b03b11 10由此求得 b01 于是求得所给方程的一个特解为3 *xy例 2 求微分方程 y5y6yxe2x 的通解 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且 f(x)是 Pm(x)ex 型( 其中 Pm(x)x 2) 与所给方程对应的齐次方程为y5y6y0 它的特征方程为r25r 60 特征方程有两个实根 r12 r23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为YC1e2xC2e3x 由于 2 是特征方程的单根 所以应设方程的特解为y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得
13、2b0x2b0b1x 比较两端 x 同次幂的系数 得 2b01 2b0b10 10由此求得 b11 于是求得所给方程的一个特解为 xexy2)(*从而所给方程的通解为 xxeC2321)(提示y*x(b0xb1)e2x(b0x2b1x)e2x (b0x2b1x)e2x(2b0xb1)(b0x2b1x)2e2x (b0x2b1x)e2x2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22e2x y*5y*6y*(b0x2b1x)e2x5(b0x2b1x)e2x6(b0x2b1x)e2x2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22e2x5(2b0xb1)(b0x2b1x)2e2x6(b0x2b1x
14、)e2x2b04(2b0xb1)5(2b0xb1)e2x2b0x2b0b1e2x 方程 ypyqyexPl (x)cosxPn(x)sinx的特解形式应用欧拉公式可得exPl(x)cosxPn(x)sinx2)(2) ieexniil inlxinl Pix )(1(21 iiePe)()(其中 而 mmaxl n 21ixnl21ixnl设方程 ypyqyP(x)e(i)x 的特解为 y1*xkQm(x)e(i)x 则 必是方程 的特解 (1)*imkQ iPqp其中 k 按 i 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取 0 或 1 于是方程 ypyqyexPl(x)cosxPn(x)sinx
15、的特解为imkimkeQx)(*)sin(cosico xxxexk exR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx 综上所述 我们有如下结论 如果 f(x)ex Pl(x)cosxPn(x)sinx 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)的特解可设为y*xk exR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx 其中 R(1)m(x)、R (2)m(x)是 m 次多项式 mmaxl n 而 k 按 i (或 i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取 0 或 1 例 3 求微分方程 yyxcos2x 的一个特解 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且 f(x)属于
16、exPl(x)cosxPn(x)sinx型( 其中 0 2 Pl(x)x Pn(x)0） 与所给方程对应的齐次方程为yy0 它的特征方程为r210 由于这里 i2i 不是特征方程的根 所以应设特解为y*(axb)cos2x(cxd )sin2x 把它代入所给方程 得(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x 比较两端同类项的系数 得 b0 c0 19于是求得一个特解为 xxy2sino3*提示 y*(axb)cos2x(cxd)sin2xy*acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x (2cxa2d)cos2x(2ax2bc)sin2xy*2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2bc)cos2x (4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2x y* y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x由 得 b0 c0 0341dac31a9
