基于matlab的数值计算中的优化技术_毕业论文.doc

1、 Hefei University毕 业 论 文 （ 设 计 ）BACHELOR DISSERTATION论 文 题 目 ： 基 于 matlab 的 数 值 计 算 中 的 优 化 技 术 学 位 类 别 ： 理 学 学 位 学 科 专 业 ： 信 息 与 计 算 科 学 基 于 matlab 的 数 值 计 算 中 的 优 化 技 术中 文 摘 要优 化 是 人 们 寻 求 的 目 标 ， 数 值 计 算 中 优 化 技 术 采 用 的 好 ， 能 从 时 间 与 空 间 上 得 到 巨大 的 好 处 。 一 个 算 法 除 了 正 确 外 ， 还 要 空 间 能 存 贮 程 序 数 据

2、， 且 运 行 时 间 短 ， 因 而 算 法优 化 技 术 就 很 重 要 ， 一 个 程 序 无 法 存 贮 到 计 算 机 内 存 中 ， 或 运 行 时 慢 得 无 法 等 候 是 没 有任 何 实 际 意 义 的 。 由 于 数 值 计 算 的 优 化 技 术 有 很 多 方 面 ， 为 此 选 用 数 值 积 分 进 行 说 明 ，数 值 积 分 计 算 有 很 多 的 方 法 ， 用 不 同 的 方 法 所 计 算 的 积 分 精 确 度 不 同 ， 所 需 要 的 时 间 也不 同 ， 通 过 一 些 实 例 的 分 析 ， 对 优 化 技 术 进 行 归 纳 与 总 结 。本

3、 论 文 是 基 于 matlab 在 数 值 计 算 中 的 优 化 技 术 ， 优 化 技 术 是 算 法 设 计 的 重 要 而 关键 的 课 题 ， 本 论 文 选 取 数 值 分 析 中 的 一 些 著 名 的 优 化 技 术 进 行 讨 论 ， 并 在 matlab 中加 以 实 现 ， 通 过 tic、 tuc、 cputime 等 函 数 的 使 用 对 其 进 入 深 入 分 析 。关键字：数值计算；优化技术；matlab；数值积分Numerical optimization technique based on MATLABABSTRACTOptimization is t

4、hat people seek target and numerical optimization technique used is good. It can get huge benefits from the time and space. An algorithm not only in order to right, but also space can store data, and short running time. So the algorithm optimization technique is very important and a program cannot b

5、e stored in the computer memory, or run slow and practical of significance. The optimization technology of numerical calculation is used in many respects. The numerical integration is described and numerical integral calculation has many methods. Integral accuracy is calculated by different methods

6、and the time required is different also, and through the analysis of some examples, and summarizes the optimization technique.This paper is to optimize the technology based on MATLAB in the numerical calculation. Optimization technique is the key task in the algorithm design, this paper selects some

7、 well-known optimization techniques in numerical analysis are discussed, and implemented in MATLAB, through in-depth analysis using tic, tuc and cputime and other functions of the entry.KEYWORD: numerical calculation; optimization techniques;MATLAB;numerical integration第 一 章 前 言 .1第 二 章 数 值 积 分 的 计

8、算 .22.1 数 值 求 积 公 式 的 构 造 .22.1.1 求 积 公 式 的 推 导 .22.1.2 几 个 低 次 牛 顿 -科 特 斯 求 积 公 式 .42.2 复 化 求 积 公 式 .62.2.1 复 化 梯 形 求 积 公 式 .62.2.2 复 化 辛 浦 生 求 积 公 式 .62.2.3 复 化 科 特 斯 求 积 公 式 .72.3 高 精 度 数 值 积 分 算 法 .72.3.1 龙 贝 格 求 积 公 式 .8第 三 章 线 性 方 程 组 的 求 解 .103.1 线 性 方 程 组 的 介 绍 .103.2 线 性 方 程 组 的 迭 代 法 .113.

9、2.1 Jacobi 迭 代 法 .113.2.2 Gauss-Seidel 迭 代 法 .123.2.3 SOR 迭 代 法 .13第 四 章 各 种 求 积 公 式 的 MATLAB 编 程 实 现 与 应 用 .144.1 对 数 值 积 分 运 行 结 果 及 其 分 析 .144.1.1 数 值 积 分 运 行 结 果 .144.1.1 数 值 积 分 运 行 结 果 分 析 .154.1 线 性 方 程 组 运 行 结 果 及 其 分 析 .154.2.1 线 性 方 程 组 运 行 结 果 .154.2.2 线 性 方 程 组 运 行 结 果 分 析 .16附 录 .17参 考

10、文 献 .23致 谢 .241第 一 章 前 言数 值 计 算 是 有 效 使 用 数 字 计 算 机 求 数 学 问 题 近 似 解 的 方 法 与 过 程 ， 以 及 由 相 关 理 论构 成 的 学 科 。 数 值 计 算 主 要 研 究 如 何 利 用 计 算 机 更 好 的 解 决 各 种 数 学 问 题 ， 包 括 连 续 系统 离 散 化 和 离 散 形 方 程 的 求 解 ， 并 考 虑 误 差 、 收 敛 性 和 稳 定 性 等 问 题 。 从 数 学 类 型 分 ，数 值 运 算 的 研 究 领 域 包 括 数 值 逼 近 、 数 值 微 分 和 数 值 积 分 、 数 值

11、 代 数 、 最 优 化 方 法 、 常微 分 方 程 数 值 解 法 、 积 分 方 程 数 值 解 法 、 偏 微 分 方 程 数 值 解 法 、 计 算 几 何 、 计 算 概 率 统计 等 。 随 着 计 算 机 的 广 泛 应 用 和 发 展 ， 许 多 计 算 领 域 的 问 题 ， 如 计 算 物 理 、 计 算 力 学 、计 算 化 学 、 计 算 经 济 学 等 都 可 归 结 为 数 值 计 算 问 题 。优 化 是 人 们 寻 求 的 目 标 ， 数 值 计 算 中 优 化 技 术 采 用 的 好 ， 能 从 时 间 与 空 间 上 得 到 巨大 的 好 处 。 一 个

12、算 法 除 了 正 确 外 ， 还 要 空 间 能 存 贮 程 序 数 据 ， 且 运 行 时 间 短 ， 因 而 算 法 优 化 技 术 就 很 重 要 ， 一 个 程 序 无 法 存 贮 到 计 算 机 内 存 中 ， 或 运 行 时 慢 得 无 法 等 候 是 没 有任 何 实 际 意 义 的 。 在 研 究 基 于 matlab 在 数 值 计 算 中 的 优 化 技 术 有 很 多 方 面 求 数 值 积 分就 是 具 有 代 表 性 的 一 点 。 求 某 函 数 的 定 积 分 时 ， 在 多 数 情 况 下 ， 被 积 函 数 的 原 函 数 很 难 用 初 等 函 数 表 达

13、 出 来 ，因 此 能 够 借 助 微 积 分 学 的 牛 顿 -莱 布 尼 兹 公 式 计 算 定 积 分 的 机 会 是 不 多 的 。 另 外 ， 许 多实 际 问 题 中 的 被 积 函 数 往 往 是 列 表 函 数 或 其 他 形 式 的 非 连 续 函 数 ， 对 这 类 函 数 的 定 积 分 ，也 不 能 用 不 定 积 分 方 法 求 解 。 由 于 以 上 原 因 ， 数 值 积 分 的 理 论 与 方 法 一 直 是 计 算 数 学 研究 的 基 本 课 题 。 通 过 这 个 课 题 的 研 究 ， 我 们 将 会 更 好 地 掌 握 运 用 数 值 积 分 算 法

14、求 特 殊积 分 函 数 的 定 积 分 的 一 些 基 本 方 法 、 理 论 基 础 ； 并 且 通 过 matlab 软 件 编 程 的 实 现 ，得 出 计 算 数 值 积 分 的 最 优 化 的 方 法 ， 并 应 用 于 实 际 生 活 中 。2第 二 章 数 值 积 分 的 计 算2.1 数 值 求 积 公 式 的 构 造人 们 根 据 积 分 的 定 义 得 出 Newton-Leibniz 求 定 积 分 的 公 式 ,但 是 这 些 公 式 并 不 是能 求 出 所 有 式 子 的 积 分 ,而 是 针 对 许 多 特 殊 的 例 子 ,但 是 有 许 多 都 是 球 不

15、出 来 的 ,如 : , 等 。1sin0xed21sinx所 以 采 用 积 分 的 几 何 意 义 来 设 计 出 积 分 公 式 从 而 求 出 近 似 值 。2.1.1 求 积 公 式 的 推 导建 立 数 值 积 分 公 式 的 途 径 比 较 多 ， 其 中 最 常 用 的 优 两 种 ：（ 1） 对 于 连 续 函 数 ， 优 积 分 中 值 定 理 ：()fxbafdaf(,)ab(2.1)其 中 是 被 积 函 数 在 积 分 区 间 上 的 平 均 值 。 因 此 ， 如 果 能 给 出 求 平 均 值()f()fx的 一 种 近 似 方 法 ， 相 应 地 就 可 以 得

16、 到 计 算 定 积 分 的 一 种 数 值 方 法 。()f（ 2） 先 用 某 种 简 单 函 数 近 似 逼 近 ， 然 后 在 区 间 的 积 分 值 近 似()x()fx()x,ab表 示 在 区 间 上 的 定 积 分 ， 即 取()fx,ab()()baafxdx (2.1)一 般 情 况 下 ， 我 们 可 以 取 为 前 面 介 绍 的 插 值 多 项 式 或 拟 合 多 项 式()fx()Lx进 行 近 似 计 算 。 若 取 为 插 值 多 项 式 ， 则 相 应 得 到 的 数 字 微 分 公 式 就 是 插()Px()xnL值 型 求 积 公 式把 区 间 等 分 ，

17、 其 分 点 为 、 ， 过 这 个 节,abn(0,1,)ixahi bahn13点 ， 可 以 构 造 一 个 次 插 值 多 项 式 ：n0()()()niiiiwxLxf(2.13)其 中 ， 用 代 替 被 积 分 函 数 则 有01()()nwx ()nLx()fx0()() ()()bbbn iaaaiiiwfdfdx0 ()()(nbiaiiixf0()niiAfx (2.14)其 中 。()biaiiwxAd上 式 叫 做 牛 顿 -科 茨 公 式 ， 使 用 牛 顿 -科 茨 公 式 关 键 是 计 算 系 数 ， 用 变 量 替 换iA， 于 是xath1()()nwxa

18、thttn (2.15)而 !nii i这 样 ()biaiixAdw10()!()nihttnhdxii0()!)nitti (2.16)记 ()01(1)!)ninihttnCdxi (.7)4则 ()niiAbaC (2.18)这 时 是 不 依 赖 于 函 数 和 区 间 的 常 数 ， 可 以 事 先 计 算 出 来 ， 叫 做 牛 顿()niC()fx,-科 茨 系 数 。 表 2.1 牛 顿 -科 茨 系 数n()niC121646318381479045245790512861261864035928035035407128719728127871512808935092835

19、046350496392.1.2 几 个 低 次 牛 顿 -科 特 斯 求 积 公 式1、 梯 形 求 积 公 式定 义 2.1 在 牛 顿 -科 特 斯 求 积 公 式 中 ， 如 果 取 ， 用 一 次 多 项 式 代 替 被 积 函 数 ，1n即 用 梯 形 面 积 代 替 曲 边 梯 形 的 面 积 ， 则 有 (1)(1)10()()bbaafxdLxacfxf其 中 ， , 查 表 可 得 代 入 上 式 得 出0()fxf1f(1)()021()()()bbaaafxdLxfb (2.19)5称 式 为 梯 形 求 积 公 式(2.19)根 据 牛 顿 -科 特 斯 求 积 公

20、式 的 误 差 理 论 ， 梯 形 求 积 公 式 的 误 差 估 计 为(2) 31 ()(!12baf baRxdxf是 被 积 函 数 二 阶 导 数 在 点 的 取 值 ，()f()fx ,2、 辛 浦 生 求 积 公 式定 义 2.2 在 牛 顿 -科 特 斯 求 积 公 式 中 ， 如 果 取 ， 用 二 次 多 项 式 代 替 被 积 函 数 ，2n即 曲 边 用 抛 物 线 代 替 ， 则 有 (2)(2)(2)201()() bbaafxdLxacfxfcfx其 中 ， ， ， ,查 表 可 得 ， ， 代 入 上 式 得 出0x12(2)()06(2)1321()()()(

21、63bbaa abfxdLxafff 2.10称 式 为 辛 浦 生 求 积 公 式 ， 也 称 抛 物 线 求 积 公 式 。2.10辛 浦 生 求 积 公 式 的 误 差 估 计 式55(4) (4)21()4!20280babaRfff,ab3、 科 特 斯 求 积 公 式定 义 2.4 在 牛 顿 -科 特 斯 求 积 公 式 中 ， 如 果 取 时 ， 牛 顿 科 特 斯 公 式 为4n 01234()7()32()()()7()9baafxdfxffxffx 2.1称 式 为 科 特 斯 求 积 公 式 。2.1同 理 可 求 得 其 误 差 估 计 式6()42()94baRff

22、(,)ab62.2 复 化 求 积 公 式2.2.1 复 化 梯 形 求 积 公 式在 上 一 节 求 积 分 的 过 程 只 是 求 粗 约 的 近 似 值 ， 所 以 应 根 据 积 分 的 可 加 性 ， 可 以 将 区间 分 为 许 多 部 分 使 得 积 分 值 更 加 接 近 精 确 值 ， 从 而 优 化 了 梯 形 积 分 公 式 ， 辛 普 生 积 分公 式 和 科 特 斯 积 分 公 式 ， 这 就 是 复 化 求 积 分 公 式 的 思 想 。定 义 2.5 将 积 分 区 间 进 行 等 分 ， 记 为 ,abNbahN在 每 个 小 区 间 上 用 梯 形 公 式 求

23、 和 ， 得kxah1,kx(0,1)1 100()()()2kNNbx kka khfdfdfxf若 将 所 得 的 近 似 值 记 为 ， 整 理 得NT1()()2()2Nb kNa khfxdfafbfxT 2.1称 式 为 复 化 梯 形 公 式 。 记 为 2.1NT复 化 梯 形 公 式 的 截 断 误 差2()(1TbaRfhf2.2.2 复 化 辛 浦 生 求 积 公 式在 辛 普 生 积 分 公 式 上 加 以 复 化 可 以 得 到 复 化 辛 普 生 积 分 公 式 。定 义 2.6 将 积 分 区 间 分 成 等 分 ， 分 点 为 ， ,ab2Nmkxah(0,1)kN在 每 个 小 区 间 上 。 用 Simpson 公 式 求 积 分 ，bahN2(1,)kx得 到12211()()()4()3mmbN kka khSfxdfafbfxfx 2.