1、1直线、平面平行的判定及其性质 测试题A一 、 选 择 题1下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ; B一个平面内的两条直线平行于另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2 E， F， G 分别是四面体 ABCD 的棱 BC， CD， DA 的中点，则此四面体中与过 E， F， G 的截面平行的棱的条数是 A0 B1 C2 D3 3 直线 及平面 ， ，使 /ab成立的条件是（ ）,abc，A /, B , C /,cb D /,ab4若直线 m 不平行于平面 ，且 m ，则下列结论成立的是（ ）
2、A 内的所有直线与 m 异面 B 内不存在与 m 平行的直线C 内存在唯一的直线与 m 平行 D 内的直线与 m 都相交5下列命题中，假命题的个数是（ ） 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交； 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行； 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行； 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行； a 和 b 异面，则经过 b 存在唯一一个平面与 平行A4 B3 C2 D16已知空间四边形 D中， ,MN分别是 ,AB的中点，则下列判断正确的是（ ）A 12MNC B 1C D 2二 、 填 空 题7在四面体 ABCD 中，M， N 分
3、别是面ACD，BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是_.8如下图所示，四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， P 分别为其所在棱的中点，能得到 AB/面 MNP 的图形的序号的是 9正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 DD 中点，则 BD1 和平面 ACE 位置关系是 1三 、 解 答 题2D CA BB1A1C110.如图，正三棱柱 的底面边长是 2，侧棱长是 ，D 是 AC 的中点.求证： 平面13 /1CB.BDA111.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，M，N，G 分别是 AA1，CD，CB ，CC 1 的中点， 求证：
4、（1）MN/B 1D1 ；（2）AC 1/平面 EB1D1 ；（3）平面 EB1D1/平面 BDG. B一 、 选 择 题1 ， 是 两 个 不 重 合 的 平 面 ， a， b 是 两 条 不 同 直 线 ， 在 下 列 条 件 下 ， 可 判 定 的 是 （ ） A ， 都平行于直线 a， b B 内有三个不共线点到 的距离相等Ca， b 是 内两条直线，且 a，b Da，b 是两条异面直线且 a ，b ，a ，b2两条直线 a，b 满足 ab，b ，则 a 与平面 的关系是（ ）Aa Ba 与 相交 Ca 与 不相交 Da 3设 ,表示直线， ,表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的
5、是（ ）A ，则 / B /， b，则 /bC /,ab，则 /ab D ,Pa，则 a4 一 条 直 线 若 同 时 平 行 于 两 个 相 交 平 面 ， 那 么 这 条 直 线 与 这 两 个 平 面 的 交 线 的 位 置 关 系 是 （ ）A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定5.下列四个命题中，正确的是（ ）夹在两条平行线间的平行线段相等；夹在两条平行线间的相等线段平行；如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A B C D6a，b 是两条异面直线，A 是不在 a，b 上的点，则下列结
6、论成立的是A过 A 有且只有一个平面平行于 a，b 3B过 A 至少有一个平面平行于 a，bC过 A 有无数个平面平行于 a， bD过 A 且平行 a， b 的平面可能不存在二、填空题7a，b，为三条不重合的直线， ， ， 为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题： aaccb; ;其中正确的命题是_.（将正确的序号都填上）8设平面 ，A，C ，B，D ，直线 AB 与 CD 交于 S，若AS=18，BS=9，CD =34，则 CS=_.9如图，正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G ，H 分别是棱CC1，C 1D1，DD 1，DC 中点，N 是 BC 中点，点 M 在
7、四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足 时，有 MN平面 B1BD D1三、解答题10.如图，在正四棱锥 PA中， Aa,点 E在棱 PC上 问点 E在何处时，/PAEB平 面，并加以证明.11.如下图，设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别为 AB，PD 上的点，且 = ，求证：MBANPD直线 MN平面 PBC.C1.平面内两正方形 ABCD 与 ABEF，点 M， N 分别在对角线 AC,FB 上，且 AM:MC=FN:NB，沿 AB 折起，使得 DAF=900(1)证明：折叠后 MN/平面 CBE；（2）若 AM:MC=2：3，在线段 AB 上是否存在一点 G，
8、使平面 MGN/平面 CBE?若存在，试确定点 G 的位置.2.设平面 平面 ，AB、CD 是两条异面直线，M，N 分别是 AB，CD 的中点，且A，C ，B，D ，求证：MN平面 .EPD CBA4ABCDEM Nab5参考答案A一、选择题1D 【提示】当 时， 内有无数多条直线与交线 平行，同时这些直线也与平面 平行.故ll A，B，C 均是错误的2C 【提示】棱 AC，BD 与平面 EFG 平行，共 2 条.3C【提示】 /,ab则 /a或 ,b异面；所以 A 错误； /,ab则 /a或 ,b异面或 ,a相交，所以 B 错误； 则 /或 ,a异面，所以 D 错误； ,c， 则 /， 这是
9、公理 4，所以 C 正确.4B 【提示】若直线 m 不平行于平面 ，且 m ，则直线 m 于平面 相交， 内不存在与 m 平行的直线.5B 【提示】错误.过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.过直线外一点有无数个平面和这条直线平行平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.6. D 【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7平面 ABC，平面 ABD【提示】连接 AM 并延长，交 CD 于 E，连结 BN 并延长交 CD 于 F，由重心性质可知，E、F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E，由 = = 得 M
10、NAB.因此，MN平面 ABC 且 MN平面 ABD.MANB218. 【提示】对于，面 MNP/面 AB,故 AB/面 MNP.对于，MP/AB, 故 AB/面 MNP,对于，过 AB 找一个平面与平面 MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故不能推证 AB/面 MNP.9平行【提示】连接 BD 交 AC 于 O，连 OE，OEB D ，OEC 平面 ACE，B D 平面 ACE.1 1三、解答题10.证明：设 与 相交于点 P，连接 PD，则 P 为 中点，1AB1AD 为 AC 中点， PD/ .C1又 PD 平面 D， /平面 D 1B111.证明：（1） M、N 分别是 CD、CB
11、的中点， MN/BD又 BB1 DD1, 四边形 BB1D1D 是平行四边形. /所以 BD/B1D1.又 MN/BD，从而 MN/B1D1 6（2） （法 1）连 A1C1，A 1C1 交 B1D1 与 O 点四边形 A1B1C1D1 为平行四边形，则 O 点是 A1C1 的中点E 是 AA1 的中点， EO 是 AA1C1 的中位线，EO/AC 1.AC1 面 EB1D1 ，EO 面 EB1D1，所以 AC1/面 EB1D1 （法 2）作 BB1 中点为 H 点，连接 AH、C 1H，E、H 点为 AA1、BB 1 中点，所以 EH C1D1，则四边形 EHC1D1 是平行四边形，所以 E
12、D1/HC1/又因为 EA B1H，则四边形 EAHB1 是平行四边形，所以 EB1/AHAH HC1=H， 面 AHC1/面 EB1D1.而 AC1 面 AHC1，所以 AC1/面 EB1D1（3）因为 EA B1H，则四边形 EAHB1 是平行四边形，所以 EB1/AH/因为 AD HG，则四边形 ADGH 是平行四边形，所以 DG/AH，所以 EB1/DG又 BB1 DD1, 四边形 BB1D1D 是平行四边形. 所以 BD/B1D1./BD DG=G， 面 EB1D1/面 BDG B一、选择题1D【提示】A 错，若 ab，则不能断定 ；B 错，若 A，B ，C 三点不在 的同一侧，则不
13、能断定；C 错，若 ab，则不能断定 ；D 正确.2C【提示】若直线 a，b 满足 ab，b ，则 a 或 a 3D 【提示】根据面面平行的性质定理可推证之.4C【提示】设 =l，a ，a，过直线 a 作与 、 都相交的平面 ，记 =b，=c，则 ab 且ac，bc.又 b ， =l，bl.al .5A【提示】6 D【提示】过点 A 可作直线 aa，bb，则 ab=A，a，b可确定一个平面，记为 .如果 a ，b，则 a ，b .由于平面 可能过直线 a、b 之一，因此，过 A 且平行于 a、b 的平面可能不存在.二、填空题7.8.68 或 368【提示】如图（1） ，由 可知 BDAC， =
14、 ，即 = ，SC=68.SABCD189S34SABCa b(1)2D如图（2） ，由 知 ACBD ， = = ，即 = .SBADCS918347SC= .3689M HF【提示】易证平面 NHF平面 BD D1 B1，M 为两平面的公共点，应在交线 HF 上.三、解答题10解：当 E 为 PC 中点时， /PAE平 面 证明：连接 AC，且 CO，由于四边形 ABCD 为正方 形，O 为 AC 的中点，又 E 为中点，OE 为ACP 的中位线， /PA，又 B平 面 ， /BD平 面 .11证法一：过 N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连接 RB，依题 意得 NRDC= = = =
15、 NR=MB.NR DCAB，四边形 MNRB 是平行四边形.PDMBBMDCMNRB.又RB 平面 PBC，直线 MN平面 PBC.证法二：过 N 作 NQAD 交 PA 于点 Q，连接 QM， = = ，QM PB.又MBANPDQNQADBC，平面 MQN平面 PBC.直线 MN平面 PBC.C 1.（1）证明：设直线 AN 与 BE 交与点 H，连接 CH， , .ANFHBNA又 ,则 = ，MN/CH.MCM又 ,MN/平面 CBE.CBEE平 面，平 面 (2)解：存在，过 M 作 MGAB,垂足为 G，则 MG/BC, MG/平面 CBE,又 MN/平面 CBE， ,平面 MG
16、N/平面 CBE.N即 G 在 AB 线上，且 AG:GB=AM:MC=2：32.证明：连接 BC，AD，取 BC 的中点 E，连接 ME、NE，则 ME 是BAC 的中位线，故 MEAC.ME ，ME .同理可证，NEBD.又 ，设 CB 与 DC 确定的平面 BCD 与 平 面 交 于 直 线 CF， 则 CF BD， NE CF.而 NE 平 面 ， CF ， NE .又 MENE=E， 平面 MNE ，而 MN 平面 MNE，MN平面 .OFA BCDPE8一 、 选 择 题1下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ;B一个平面内的两条直线平行于
17、另一个平面C一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 2 E， F， G 分别是四面体 ABCD 的棱 BC， CD， DA 的中点，则此四面体中与过 E， F， G 的截面平行的棱的条数是 A0 B1 C2 D3 3 直线 ,abc， 及平面 ， ，使 /ab成立的条件是（ ）A /, B , C /,cb D /,ab4若直线 m 不平行于平面 ，且 m ，则下列结论成立的是（ ）A 内的所有直线与 m 异面 B 内不存在与 m 平行的直线C 内存在唯一的直线与 m 平行 D 内的直线与 m 都相交5下列命题中，假命题的个数是（ ） 一条直线平行于一
18、个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交； 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行； 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行； 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行； a 和 b 异面，则经过 b 存在唯一一个平面与 平行A4 B3 C2 D16已知空间四边形 D中， ,MN分别是 ,AB的中点，则下列判断正确的是（ ）A 12MNC B 1C D 2二 、 填 空 题7在四面体 ABCD 中，M， N 分别是面ACD，BCD 的重心，则 四面体的四个面中与 MN 平行的是_.8如下图所示，四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点， M， N， P 分别为其所在棱的中点，
19、能得到 AB/面 MNP 的图形的序号的是 9正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 DD 中点，则 BD1 和平面 ACE 位1 置关系是 三 、 解 答 题10.如图，正三 棱柱 的底面边长1CBA是 2，侧棱长是 ，D 是 AC 的中点.求证：3 平面 ./1D9D CA BB1A1C111.如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，M，N，G 分别是 AA1，CD，CB ，CC 1 的中点， 求证：（1）MN/B 1D1 ；（2）AC 1/平面 EB1D1 ；（3）平面 EB1D1/平面 BDG. B一 、 选 择 题1 ， 是 两 个 不 重 合 的 平 面 ，
20、 a， b 是 两 条 不 同 直 线 ， 在 下 列 条 件 下 ， 可 判 定 的 是 （ ） A ， 都平行于直线 a， bB 内有三个不共线点到 的距离相等Ca， b 是 内两条直线，且 a，bDa，b 是两条异面直线且 a ，b ，a，b2两条直线 a，b 满足 ab，b ，则 a 与平面 的关系是（ ）Aa Ba 与 相交 Ca 与 不相交 Da3设 ,表示直线， ,表示平面，P 是空间一点，下面命题中正确的是（ ）A ，则 / B /， b，则 /bC /,ab，则 /ab D ,Pa，则 a4 一 条 直 线 若 同 时 平 行 于 两 个 相 交 平 面 ， 那 么 这 条
21、直 线 与 这 两 个 平 面 的 交 线 的 位 置 关 系 是 （ ）A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定5.下列四个命题中，正确的是（ ）夹在两条平行线间的平行线段相等；夹在两条平行线间的相等线段平行；如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行A B C D6a，b 是两条异面直线，A 是不在 a，b 上的点，则下列结论 成立的是A过 A 有且只有一个平面平行于 a，b B过 A 至少有一个平面平行于 a，bC过 A 有无数个平面平行于 a， bD过 A 且平行 a， b 的平面可能不存在二
22、、填空题7a，b，为三条不重合的直线， ， ， 为三个不重合的平 面，直线均不在平面内，给出六个命题： aaccbab; ;其中正确的命题是_.（将正确的序号都填上）8设平面 ，A，C ，B，D ，直线 AB 与 CD 交于 S，若10AS=18，BS=9，CD =34，则 CS=_.9如图，正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F，G ，H 分别是棱 CC1，C 1D1，DD 1，DC 中点，N 是 BC 中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足 时，有 MN平面 B1BD D1三、解答题10.如图，在正四棱锥 PA中， Aa,点 E在棱 P上 问点 E在何处时，
23、/PAEBD平 面，并加以证明.11.如下图，设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点，M，N 分别为 AB，PD 上的点，且 = ，求证：MBANPD直线 MN平面 PBC.C1.平面内两正方形 ABCD 与 ABEF，点 M， N 分别在对角线 AC,FB 上，且AM:MC=FN:NB，沿 AB 折起，使得 DAF=900(1)证明：折叠后 MN/平面 CBE；（2）若 AM:MC=2：3，在线段 AB 上是否存在一点 G，使平面 MGN/平 面 CBE?若存在，试确定点 G 的位置.2.设平面 平面 ，AB、CD 是两条异面直线，M，N 分别是 AB，CD 的中点，且A，C ，B，D
24、，求证：MN平面 .ABCDEM NabEPD CBA11参考答案A一、选择题1D 【提示】当 时， 内有无数多条直线与交线 平行，同时这些直线也与平面 平行.故ll A，B，C 均是错误的2C 【提示】棱 AC，BD 与平面 EFG 平行，共 2 条.3C【提示】 /,ab则 /a或 ,b异面；所以 A 错误； /,ab则 /a或 ,b异面或 ,a相交，所以 B 错误； 则 /或 ,a异面，所以 D 错误； ,c， 则 /， 这是公理 4，所以 C 正确.4B 【提示】若直线 m 不平行于平面 ，且 m ，则直线 m 于平面 相交， 内不存在与 m 平行的直线.5B 【提示】错误.过平面外一
25、点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.过直线外一点有无数个平面和这条直线平行平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.6. D 【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.二、填空题7平面 ABC，平面 ABD【提示】连接 AM 并延长，交 CD 于 E，连结 BN 并延长交 CD 于 F，由重心性质可知，E、F 重合为一点，且该点为 CD 的中点 E，由 = = 得 MNAB.因此，MN平面 ABC 且 MN平面 ABD.MANB218. 【提示】对于，面 MNP/面 AB,故 AB/面 MNP.对于，MP/AB, 故 AB/面
26、MNP,对于，过 AB 找一个平面与平面 MNP 相交，AB 与交线显然不平行，故不能推证 AB/面 MNP.9平行【提示】连接 BD 交 AC 于 O，连 OE，OEB D ，OEC 平面 ACE，B D 平面 ACE.1 1三、解答题10.证明：设 与 相交于点 P，连接 PD，则 P 为 中点，1AB1AD 为 AC 中点， PD/ .C1又 PD 平面 D， /平面 D 1B111.证明：（1） M、N 分别是 CD、CB 的中点， MN/BD又 BB1 DD1, 四边形 BB1D1D 是平行四边形. /所以 BD/B1D1.又 MN/BD，从而 MN/B1D1 12（2） （法 1）
27、连 A1C1，A 1C1 交 B1D1 与 O 点四边形 A1B1C1D1 为平行四边形，则 O 点是 A1C1 的中点E 是 AA1 的中点， EO 是 AA1C1 的中位线，EO/AC 1.AC1 面 EB1D1 ，EO 面 EB1D1，所以 AC1/面 EB1D1 （法 2）作 BB1 中点为 H 点，连接 AH、C 1H，E、H 点为 AA1、BB 1 中点，所以 EH C1D1，则四边形 EHC1D1 是平行四边形，所以 ED1/HC1/又因为 EA B1H，则四边形 EAHB1 是平行四边形，所以 EB1/AHAH HC1=H， 面 AHC1/面 EB1D1.而 AC1 面 AHC
28、1，所以 AC1/面 EB1D1（3）因为 EA B1H，则四边形 EAHB1 是平行四边形，所以 EB1/AH/因为 AD HG，则四边形 ADGH 是平行四边形，所以 DG/AH，所以 EB1/DG又 BB1 DD1, 四边形 BB1D1D 是平行四边形. 所以 BD/B1D1./BD DG=G， 面 EB1D1/面 BDG B一、选择题1D【提示】A 错，若 ab，则不能断定 ；B 错，若 A，B ，C 三点不在 的同一侧，则不能断定；C 错，若 ab，则不能断定 ；D 正确.2C【提示】若直线 a，b 满足 ab，b ，则 a 或 a 3D 【提示】根据面面平行的性质定理可推证之.4C
29、【提示】设 =l，a ，a，过直线 a 作与 、 都相交的平面 ，记 =b，=c，则 ab 且ac，bc.又 b ， =l，bl.al .5A【提示】6 D【提示】过点 A 可作直线 aa，bb，则 ab=A，a，b可确定一个平面，记为 .如果 a ，b，则 a ，b .由于平面 可能过直线 a、b 之一，因此，过 A 且平行于 a、b 的平面可能不存在.二、填空题7.8.68 或 368【提示】如图（1） ，由 可知 BDAC， = ，即 = ，SC=68.SABCD189S34SABCa b(1)2D如图（2） ，由 知 ACBD ， = = ，即 = .SBADCS9183413SC=
30、.3689M HF【提示】易证平面 NHF平面 BD D1 B1，M 为两平面的公共点，应在交线 HF 上.三、解答题10解：当 E 为 PC 中点时， /PAE平 面 证明：连接 AC，且 CO，由于四边形 ABCD 为正方 形，O 为 AC 的中点，又 E 为中点，OE 为ACP 的中位线， /PA，又 B平 面 ， /BD平 面 .11证法一：过 N 作 NRDC 交 PC 于点 R，连接 RB，依题 意得 NRDC= = = = NR=MB.NR DCAB，四边形 MNRB 是平行四边形.PDMBBMDCMNRB.又RB 平面 PBC，直线 MN平面 PBC.证法二：过 N 作 NQA
31、D 交 PA 于点 Q，连接 QM， = = ，QM PB.又MBANPDQNQADBC，平面 MQN平面 PBC.直线 MN平面 PBC.C 1.（1）证明：设直线 AN 与 BE 交与点 H，连接 CH， , .ANFHBNA又 ,则 = ，MN/CH.MCM又 ,MN/平面 CBE.CBEE平 面，平 面 (2)解：存在，过 M 作 MGAB,垂足为 G，则 MG/BC, MG/平面 CBE,又 MN/平面 CBE， ,平面 MGN/平面 CBE.N即 G 在 AB 线上，且 AG:GB=AM:MC=2：32.证明：连接 BC，AD，取 BC 的中点 E，连接 ME、NE，则 ME 是BAC 的中位线，故 MEAC.ME ，ME .同理可证，NEBD.又 ，设 CB 与 DC 确定的平面 BCD 与 平 面 交 于 直 线 CF， 则 CF BD， NE CF.而 NE 平 面 ， CF ， NE .又 MENE=E， 平面 MNE ，而 MN 平面 MNE，MN平面 .OFA BCDPE
