1、- 1 -线性代数 B强化训练题一解答一、单项选择题1. D 2. D 3. A 4. C 5. B二、填空题1. ; 2. ; 3. 相关; 4. 5. 131230,1;.k三、计算下列行列式1. 10D解：101013.22. 已知 其中 试求 其中 是元素 的,abcdD0,abcd14234,AAijija代数余子式.解：因为 又因为 所以 14243440,bAbA0,b142340.四、设矩阵 矩阵 满足 其中 为 的伴随矩阵, 是0,1B*28,AE*AE阶单位矩阵, 求3.B解：由 得 即*28,AE*28,A28,B由于 可逆, 则 所以 则,(),AE18()B- 2 -
2、110420204020848284.10五、设矩阵 求矩阵 的列向量组的一个极大无关组, 并把不属于2124,46397AA极大无关组的列向量用极大无关组线性表示出来.解：对 施行初等行变换化为行最简形矩阵:A知 的秩为 , 故 的列向量组的极大无关21210443,46397A3组含有 个向量, 且由行最简形矩阵可得 的第一、第二、第四个列向量 为列向量组的一A124,个极大无关组; 此时 的第三、第五个列向量 可表示为A35,3125124,43.六、常数 取何值时, 方程组 无解, 有惟一解或有无穷多解? 当方程组有无k123kxk穷多解时求其通解.解： 21()1,kAk(1) 当
3、且 时, , 由克莱姆法则知, 方程组有惟一解 ;2k10A(2) 当 时, 该方程组的增广矩阵为- 3 -21512204,B因为 所以方程组无解;(),()3,RAB(3) 当 时, 该方程组的增广矩阵为1k2120,B因为 所以方程组有无穷多解; ()13,RA其通解由上面的行最简形矩阵应得 其中 为任意常数. 122100,kx12,k七、设 且 又设 有特征值 且属于 的特征向量为1453,0aAb1,A1A, 试求 和 及 的值.(1,)Ta解：由于 故 A,A即 , 解得(4)153ba1,4,3.ab此时, 显然有 .A八、设二次型 其中二次型矩阵 的特征值之221231313
4、(,) (0),fxaxbxA和为 , 特征值之积为1.(1) 求 的值; ab(2) 求一正交变换把二次型 化成标准型( 需写出正交变换及标准型).123(,)fx- 4 -解：(1) 二次型的矩阵为 02,abA设 的特征值为 则有A123,123()a2123041,b解得 ,;ab(2) 由 得 的特征值 2102()3,EAA123,对于特征值 12,1010,24EA故相应的特征向量为 1(0,)(,01)TT规范正交化 得 12,12,5对于特征值 3,10402,21EA故相应的特征向量为 3(1,0),T单位化得 32(,5令 则 即为所求矩阵, 所求变换为123105(,)
5、,2PP- 5 -即 , 即 ,PxyTx12133()5yxyx相应的二次型的标准形为 221213(,).fyy九、证明题1设向量组 线性无关, 向量 可由向量组 线性表示, 而向量 不能由向量12:,mA 1A2组 线性表示, 证明 个向量 必线性无关.122,m证：设有 个数 使得 m12,mkk 1 12(),0mkk因为向量 可由向量组 线性表示, 所以存在 个数 使得1A2,mll则有 12mll 11212112()()(),mmmklklkk如 则 可由向量组 线性表示, 矛盾! 故 则有0,mk 0,120又由于向量组 线性无关, 所以 12:,mA 12,mkk则 个向量 线性无关.122设矩阵 是 阶非零矩阵 , 且满足 证明矩阵 的秩268,305141AB4,ABOB.()1RB证：因为 所以221680,3051410A()3,RA则四元齐次线性方程组 的基础解系中含有 个解向量, 而矩阵 的列向量均为x431B的解向量, 则 的列向量组的秩为 , 即矩阵 的秩为 , 即0xBB()1.
