1、1与代数相关的分类讨论问题一、考点聚焦分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。(1).实数的分类。(2).绝对值、算术根 02a(3).各类函数的自变量取值范围(4).函数的增减性：0,kyxyx时 随 的 增 大 而 增 小时 随 的 增 大 而 减 大 0,2ayaxbc时 抛 物 线 开 口 向 上时 抛 物 线 开 口 向 下(5).点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。(6).三角形的分类、四边形的分类二、热点
2、分析热点 1：与数与式有关的分类讨论【例 1】化简：x-1 2(9)x热点 2：与方程有关的分类讨论【例 2】解方程：（a-2）x=b-1 分析：对于方程 ax=b，一般要对字母 a,b 进行分类讨论当 a0 时方程有惟一解 x= ;ab当 a=0,b=0 时，方程有无数个解；当 a=0,b0 时，方程无解试解关于 x 的方程 1x)(热点 3：与函数及图象有关的分类讨论【例 3】 设一次函数 的图象不经过第一象限，求 a 的取值范围。2yax=-+-解：由题意得： 0,1.-（4）当 时， 。综上所述，当 时， ；当 时， ；当 时，04x或 12y小结：函数图象的位置与函数值的大小有密切的
3、关系，在同一平面直角坐标系中，函数图象位于上方，对应点的纵坐标较大，对应的函数值也较大。因此，分类的关键是正确地确定两个函数图象的交点坐标。【例 5】 （2010 湖南怀化）图 9 是二次函数 的图象，kmxy2)(其顶点坐标为 M(1,-4).（1）求出图象与 轴的交点 A,B 的坐标； x（2）将二次函数的图象在 轴下方的部分沿 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时， 的取值范围.)1(bxy b【变式】就 的取值范围，讨论.直线 与此图象有公)1(xy共点的个数图 93【答案】解;(1) 因为 M(1,-4) 是二次函数
4、 的顶点坐标，kmxy2)(所以 324)1(2xxy令 解之得 .,032 ,1A，B 两点的坐标分别为 A（-1，0） ，B（3,0）(2) 在二次函数的图象上存在点 P，使 MABAS45设 则 ，又 ,),(yxpySPAB21 8421 .5842即二次函数的最小值为-4， .y当 时， .5y4,2x或故 P 点坐标为（-2，5）或（4，5）7 分（3）如图 1，当直线 经过 A 点时，可得)1(by8 分.b当直线 经过 B 点时，可得)(x.3由图可知符合题意的 的取值范围为b13b三、重点巩固1.一等腰三角形的两边长分别为 5 和 10，则此等腰三角形的周长为A.20 或 2
5、5 B.20 C.25 D.以上都不对2.设 a、b 为实数，则下列四个命题中正确的有_个.若 a+b=0，则|a|=|b| 若|a|+|b|=0，则 a=b=0 若 a2+b2=0，则 a=b=0 若|a+b|=0 ，则 a=b=0A.1 B.2 C.3 D.43.直线 y=x-1 与坐标轴交于 A、B 两点，点 C 在 x 轴上，且 ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 最多有_ 个.A.4 B.3 C.2 D.14.O 中，AOB=84 ，则弦 AB 所对的圆周角是A.42 B.138 C.84 D.42或 138二、填空题6.已知|x|=3 ，|y |=2，且 xy0，则 x+y
6、的值等于_.7. 若( x2 x1) 1，则 x_8.已知两圆的半径分别是 5 cm 和 6 cm，且两圆相切，则圆心距是_.图 149.已知O 的直径为 14 cm，弦 AB=10 cm，点 P 为 AB 上一点，OP=5 cm，则 AP 的长为_ cm.10.用 16 cm 长的铁丝弯成一个矩形，用 18 cm 长的铁丝弯成一个有一条边长为 5 cm 的等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等，则矩形的边长为_.三、解答题11. 一次函数 y=kx+b，当3xl 时，对应的 y 值为 ly9， 求 kb 的值12.某水果品公司急需汽车，但又无力购买.公司经理想租一辆，一出租公司的出
7、租条件为：每百千米租费 110 元；一个体出租司机的条件为：每月租 800 元工资，另外每百千米付 10元油费.那么该水果品公司租哪家合算？13. .抛物线 经过点 A (1，0)2yxb 求 b 的值； 设 P 为此抛物线的顶点，B（a，0） （a1）为抛物线上的一点，Q 是坐标平面内的点如果以 A、B、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形，试求线段 PQ 的长14.在一次国际象棋比赛中，每个选手都要与其他选手比赛一局.评分规则是：每局赢者记 2分，输者记 0 分，如果平局，每个选手每人各记 1 分.现在恰好有四个同学统计了比赛中全部选手得分总和，他们的结果分别是：1 979、1 980、1
8、984、1 985，经核实确定有一位同学统计无误.通过以上数据，你能计算出这次比赛中共有多少名选手参加吗？请试试看！【备课资源】1、某 公 司 销 售 一 种 新 型 节 能 产 品 ， 现 准 备 从 国 内 和 国 外 两 种 销 售 方 案 中 选 择 一 种 进 行 销售 若 只 在 国 内 销 售 ， 销 售 价 格 y（ 元 /件 ） 与 月 销 量 x（ 件 ） 的 函 数 关 系 式 为 y = x 150，成 本 为 20 元 /件 ， 无 论 销 售 多 少 ， 每 月 还 需 支 出 广 告 费 62500 元 ， 设 月 利 润 为 w 内（ 元 ） （ 利 润 = 销
9、 售 额 成 本 广 告 费 ） 若 只 在 国 外 销 售 ， 销 售 价 格 为 150 元 /件 ， 受各种不确定因素影响，成本为 a 元/件（a为常数，10a40） ，当月销量为 x（件）时，每月还需缴纳 x2 元的附加费，设月利润10为 w 外 （元） （利润 = 销售额成本附加费） （1）当 x = 1000 时，y = 元/ 件，w 内 = 元；（2）分别求出 w 内 ，w 外 与 x 间的函数关系式（不必写 x 的取值范围） ；（3）当 x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求 a 的值；（4）如果某月要将 5000 件
10、产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内5还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线 2(0)yaxbc的顶点坐标是 24(,)bac2、在直角坐标系中，二次函数 的图像经过点 和点 2yxbc(01)， (42)，（1）求这条二次函数的函数关系式 （3 分）（2）如图，在边长一定的矩形 中， 点 在 轴右侧沿抛物线ABCDCy滑动，在滑动过程中 轴， 在 的下方当点 在 轴上时，yxbcx ABDy落在 轴上AB求边 的长 （2 分）C当矩形 在滑动过程中被 轴分成两部分的面积比为 ，求点 的坐标 （5 分）D1:4C【答案详解】1 答案：C提示：腰可能是 5，也可能为
11、10，但又要考虑三角形的构成条件.2 答案：C提示：根据绝对值的性质.3 答案：A提示：分四种情况.如下图.4 答案：DxyO（A）CDB6提示：弦所对的圆周角有两种情况二、填空题6 答案：1 或-1提示：|x|=3，|y|=2，所以 x=3，y=2,再由 xy0 确定 x+y.7 答案：-5提示： 的值为零时，分子为 0，所以 x=5，但分母不能为 0.54|2x8 答案：11 cm 或 1 cm提示：两圆相切，包括外切和内切.9 答案：4 或 6提示：点 P 为 AB 上一点，P 可能靠近 A，也可能靠近 B.10 答案：3，5 或 2，6提示：若以 5 cm 的边为底边时，则等腰三角形的
12、面积为 15 cm2.若以 5 cm 的边为腰时，则等腰三角形的面积为 12 cm2.设矩形的一边长为 x cm，则另一边为(8-x) cm,根据题意，得 x(8-x)=15 或 x(8-x)=12，解方程 x(8-x)=15，得 x1=3， x2=5.解方程 x(8-x)=12，得 x3=2， x4=6.当矩形面积为 15 cm2 时，一边为 3 cm，另一边为 5 cm；当矩形面积为 12 cm2 时，一边为 2 cm，另一边为 6 cm.11 解：6 或 1412 答案：（1）当行驶里程为 8 百千米时，两家公司一样合算;（2）当行驶里程大于 8 百千米时，个体公司合算;（3）当行驶里程
13、小于 8 百千米时，出租公司合算.提示：根据题意，列出两家公司的费用与行驶里程之间的函数关系式，然后再根据不等关系比较两家公司的费用大小.13 答案： b=0 PQ=4 或 PQ=214 答案：有 45 名选手.提示：设有 n 名选手，则得分总数必为偶数.2 =1 984 无整数解.)1(由 2 =1 980,解得 n1=45，n 2=-44（舍去）.【备课资源详解】1、解：（1）140 57500；（2）w 内 = x（y -20）- 62500 = x2130 x ，10650w 外 = x2（150 ） x10a7（3）当 x = = 6500 时，w 内 最大；分)10(23由题意得
14、， 2214()(650)13(5)410a解得 a1 = 30，a 2 = 270（不合题意，舍去） 所以 a = 30 （4）当 x = 5000 时，w 内 = 337500， w 外 = 500若 w 内 w 外 ，则 a32.5；若 w 内 = w 外 ，则 a = 32.5；若 w 内 w 外 ，则 a32.5所以，当 10 a 32.5 时，选择在国外销售；当 a = 32.5 时，在国外和国内销售都一样；当 32.5 a 40 时，选择在国内销售2、解：（1）由已知，得 10642ca， 60bc， 21yx（2） ，点 在 轴上，CDy点 的横坐标为 1在 中，当 时， 260yxx5边 的长为 5B 矩形边长一定， BC当矩形 在 轴上方部分的面积占这个矩形面积的 时，ADx 15， 点 的纵坐标为 1C，2610x即 ，9123x()C，8当矩形 在 轴上方部分的面积占这个矩形面积的 时，ABCDx 45， 点 的纵坐标为 45，26104x即 ，1233xx， 2(4)C， (4)，
