1、三角函数三三 角角 部部 分分 高高 中中 数数 学学 总总 复复 习习 1. 与 （0 360）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）：Zkk,360|终边在 x 轴上的角的集合： Zk,180|终边在 y 轴上的角的集合： ,9| 终边在坐标轴上的角的集合： Zk,0|终边在 y=x 轴上的角的集合： ,4518| 终边在 轴上的角的集合：Zkk,0| 若角 与角 的终边关于 x 轴对称，则角 与角 的关系：k360若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则角 与角 的关系：18若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系： k0角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系：9362
2、. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.3. 三角函数的定义域：三角函数 定义域sinx)(f Rx|cosxtanxf Zk,21| 且cotx)(f x|且secx kRx,|且cscx)(f Zx|且4. 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三xkcot)2cot(ananssi)i(xcot)ct(anassi)i(公 式 组 一sinxc=1taxcosini2x+s=1oeitaeta2yxSINCO三 角 函 数 值 大 小 关 系 图sinxco24表
3、 示 第 一 、 二 、 三 、四 象 限 一 半 所 在 区 域 12413sixco三角函数公式组四 公式组五 公式组六 xcot)ct(anassi)i(xcot)2t(ansi)i(xcot)t(ansi)i(（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二sincs)cs( csin2ioo 222sin1cosiocs sincsin)si( 2tan1taioii cositan1t)tan(21costt)t(公式组三 公式组四 公式组五2tan1si2tan1costat2, , , .4675cos1in 42615cos7in 3275cot1tan 3215cot7tan5.
4、正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： xAysin（A、 0）定义域 R R R值域 1,1,R R ,周期性 222奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 当 非奇非偶,0当 奇函数coscs21sinocosinsi21sinco2isinosiccsiisinco1sicotanZkx,21|且 Zkx,|且ytytxysxysi sin)21cos(s)si(cttasi)2(csinotta三角函数单调性2,k上为增函数； 23,k上为减函数（ ）Z,1k；上为增函数 1,2k上为减函数（ ）Zk2,上为增函数（ ）Zk上为减函1,k数（ ）Z)(21),(Ak上为增函数； )(
5、23),(Ak上为减函数（ ）Zk注意： 与 的单调性正好相反； 与 的单调性也同样相反.一般地，若xysinxysi xycosxycs在 上递增（减） ，则 在 上递减（增）.)(xf,ba)(xf,ba 与 的周期是 .ico 或 （ ）的周期 .)sn(xy)s(xy02T的周期为 2 （ ，如图，翻折无效）. ta2T 的对称轴方程是 （ ） ，对称中心（ ） ； 的对称轴方程是)sin(xy 2kxZ0,k)cos(xy（ ） ，对称中心（ ） ； 的对称中心（ ）.kxZ0,1)tan(xy,2ycos)s(2cos 原 点 对 称当 ； .tan,1)(2Zktan,1)(2Z
6、k 与 是同一函数,而 是偶函数，则xycosi )(xy)cos()21n()( xk.函数 在 上为增函数 .（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域， 为增函数，xytaR xytan同样也是错误的.定义域关于原点对称是 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称)(xf（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数： ，奇函数： ）)(xf)(xffOyx三角函数奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： 是奇函数， 是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）xytan)31tan(xy奇函数特有性质：若 的定义域，则 一定有 .（ 的定义域，则无此性质）x0)(
7、f0)(f xysin不是周期函数； 为周期函数（ ） ；ysinT是周期函数（如图） ； 为周期函数（ ） ；coxco的周期为 （如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 21sxy.Rkff),(5)( 有 .abbabay cos)sin(sinco2 y2反函数知识要点一、反三角函数.1. 反三角函数：反正弦函数 是奇函数，故 ， （一定要注明定xyarcsinxxarcsin)arcsin(1,义域，若 ，没有 与 一一对应，故 无反函数）,xxyi注： ， ， .)sin(arc1,2,arcsix反余弦函数 非奇非偶，但有 ， .yos kx2)arcos()(1,x注
8、： ， ， .x,0o 是偶函数， 非奇非偶，而 yin和 in为奇函数.csr反正切函数： ，定义域 ，值域（ ） ， 是奇函数，actn),(,2yarct， .xr)artn(注： ， .t,反余切函数： ，定义域 ，值域（ ） ， 是非奇非偶.cyot),(,xrcyot， .kxrrc2)()ot(x注： ， .at, 与 互为奇函数， 同理为奇而 与 非奇非ysin)1csinyxyarctnxyarcosxarcyot偶但满足 .1,2)o(1,2ro)rc( kxkx 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：的取值范围 解集 的取值范围 解集a a 的解集 的解集xsin xcos1
9、 1 yx=cos|图 象 1/2yx|cos+图 象三角函数=1 =1 aZkakx,rcsin2|aZkax,rcos2|1 1 1| k| 的解集： 的解集：tnkx,arct| cot kx,ctr|三角恒等变换与求值练习【课前训练】1已知 ( , )，sin = ,则 tan( )等于（ ）2534A. B.7 C. D.77 712若 的内角 满足 ，则 （ ）ABC2sin3AsincoAA. B C D153155533“等式 sin(+)=sin2 成立“是“、 成等差数列“的 ( )A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件4已知
10、 ， ，则 。2sin5tan5如果 ，且 是第四象限的角，那么 co1 )2cos(6 s03inta702cs4ta27已知 40,sin25（）求 的值；（）求 的值。co5tan()48已知 ， 求 和 的值5tancot24或cos2in()49已知函数 .()sin(),2fxxR(I)求 的最小正周期；(II)求 的的最大值和最小值；(III)若 ，求 的值.f 3()4fsin2三角函数【针对练习】1函数 ysin2xcos2x 的最小正周期是 （ ）（A）2 （B ）4 （C ） （D）4 22若 f（tanx）=sin2x ，则 f（1）的值是 （ ）A.sin2 B.1
11、C. D.1213已知 f（x） = ，当 （ ， ）时，f （sin2 ）f（sin2 ）可化简为x4523A.2sin B.2cos C.2sin D.2cos4函数 y= sin2+4sin x,x 的值域是（ ）212R(A) , (B) , (C) (D)323121,2 21,25若 ， , ，则 的值等于（ ,(0)3cos()1sin()2cos()）（A） （B） （C） （D）321326已知 ，sin( )= sin 则 cos =_.,4,53,1447函数 的最小正周期是 _。sincoyx8已知 则 .),0(,1cs)cos(2i39已知 是第一象限的角，且 ，求
12、 的值。53sin4co2三角函数10已知 .)3tan(si,257cos,107)4sin( 及求参考答案【课前训练】1答案：A 解析：由 则 ， = ，选 A.3(,)sin,253ta4tan()1tan72答案：A 解析：由 sin2A2sinAcosA0，可知 A 这锐角，所以 sinAcosA0，又，故选 A2(sinco)1si3答案：A 解析：若等式 sin(+)=sin2 成立，则 +=k+(1) k2，此时 、 、 不一定成等差数列，若 、 成等差数列，则 2=+，等式 sin(+)=sin2 成立，所以“等式 sin(+)=sin2 成立”是“ 、 成等差数列”的必要而
13、不充分条件。选 A4答案：2 解析：由 ， cos ，所以 2.25sin5tan5答案： 解析：已知6 26cos()sin(1cos).25【试题精析】【例 1】 【解】00000cos213i73in1cos2cos44incss 原 式000000 00cos2(3)2(1ini)4 si s2n4si2co.【例 2】 【解】()由 ，得 ，所以 0,sin53cos52sinicossinicos231.（） ，n4ta3tan1ta().47【例 3】 【解】解法一：由 得 则5co,2sico5,i24,sin2.si5因为 所以(,)42(,)31n三角函数sin(2)sin
14、2.cos2.in444232.510解法二：由 得 解得 或 由已知5tat,1ta,ttanta.故舍去 得 因此，(,)421tn,2n2.25si,cos.那么 且23cossi,54siico,故 in()in.co2.in444232.510【例 4】 【解】 )4sin(cosi)si( xxxxf（） 的最小正周期为 ;) 21T（） 的最大值为 和最小值 ；(xf （）因为 ，即 ,即 43)37sincosinco4161672sin【针对练习】1答案：D 解析: 所以最小正周期为 ,故选 D1si2csiyxx42T2答案：B 解析：f（1）=ftan（ ） =sin =
15、1.423答案：D 解 析 ： f（ sin2） f（ sin2） = sin1sin1= sin cos sin+cos. （ ， ） ，1sin cos 0.4532cossin 0，cos+sin 0.原式=cossin +cos+sin=2cos.4答案 C 解析： ，故214sin1cos2sinsi2i12 xxxy选择 C。【名师点拔】本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为 或bAyi的模式。bxAycos5解：由 ，则 ， ，又 ,(0,)242 （ ， ） 24 （ ， ）， ，所以 ，3cos()1sin6 6 解得 ，所以 ，故选 B co()2三角函数6答案
16、： 5 解析： ， ，33,sin,4512sin()43(,2)， ， ，则3(,)42co()5cocos4= =cos()4ssin()i()4451256()37.答案： 解析：函数 = sin2x，它的最小正周期是 .sincoyx218.答案： 解析： 由已知条件得 .即 .32或 1cos2sin3 0sin2i3解得 .由 0 知 ，从而 .sinsin或 2si3或9解： =)42cos(i sinco12sinco)(2cos)in( 22 由已知可得 sin , 原式= .131431510解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cos(in2)4sin(027即 57cosin由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin(co57)sin)(cosin(cosin25722 故 51sinco由式和式得 .因此， ，由两角和的正切公式54cs,343ta.12583431tan1)4tan( 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得 2sin2cos57解得 ,由53sin,259sin即 57coi,10)4sin( 可 得三角函数由于 ，故 在第二象限，于是 .057sinco,0cs57sin且 53sin从而 54io以下同解法一.
