1、数列知识点和常用的解题方法归纳一、 等差数列的定义与性质定 义 ： 为 常 数 ，adandn n1 1()等 差 中 项 ： ， ， 成 等 差 数 列xAyAxy2前 项 和nSanadn112性 质 ： 是 等 差 数 列n（ ） 若 ， 则 ；1mpqaamnpq（ ） 数 列 ， ， 仍 为 等 差 数 列 ；2212akbnnSSn， ， 仍 为 等 差 数 列 ；3（ ） 若 三 个 数 成 等 差 数 列 ， 可 设 为 ， ， ；3ad（ ） 若 ， 是 等 差 数 列 ， 为 前 项 和 ， 则 ；4 21abTnabSTnn m（ ） 为 等 差 数 列 （ ， 为 常
2、数 ， 是 关 于 的 常 数 项 为52Sabnnn0 的二次函数）Saan n n的 最 值 可 求 二 次 函 数 的 最 值 ； 或 者 求 出 中 的 正 、 负 分 界2项，即：当 ， ， 解 不 等 式 组 可 得 达 到 最 大 值 时 的 值 。adaSnn1 100当 ， ， 由 可 得 达 到 最 小 值 时 的 值 。nn110如 ： 等 差 数 列 ， ， ， ， 则aSaSnnnn83112（ 由 ， n1213又 ， Saa31322213 Sanann121312827）二、等比数列的定义与性质定 义 ： （ 为 常 数 ， ） ，aqqaqn n 1 10等
3、比 中 项 ： 、 、 成 等 比 数 列 ， 或xGyGxyxy2前 项 和 ： （ 要 注 意 ）nSnaqn1()!性 质 ： 是 等 比 数 列an（ ） 若 ， 则 1mpqaamnpq（ ） ， ， 仍 为 等 比 数 列2232SSnn三、你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 1、公式法2、 na求由（ 时 ， ， 时 ， ）SnaSnn21 13、求差（商）法如 ： 满 足 an n25112解： a514时 ， ， an 22221时 ，得 ： n an1 n421()练习数 列 满 足 ， ， 求aSaannnn11534（ 注 意 到 代 入 得 ： Snnn1 1又 ，
4、是 等 比 数 列 ，Snn144naS2311时 ， 4、叠乘法例 如 ： 数 列 中 ， ， ， 求anan n11解： an n2131 123， 又 ， n5、等差型递推公式由 ， ， 求 ， 用 迭 加 法afaan n110()fann22331时 ， 两 边 相 加 ， 得 ：()ffn12()() afn03()练习数 列 ， ， ， 求aannnn112（ ）a236、等比型递推公式cdcdn1 010、 为 常 数 ， ， ，可 转 化 为 等 比 数 列 ， 设 axnnacn1令 ， ()xdc1 是 首 项 为 ， 为 公 比 的 等 比 数 列adcadcn11 n
5、 n1 adccnn11练习数 列 满 足 ， ， 求aannn11934（ ）an847、倒数法例 如 ： ， ， 求aannn112由 已 知 得 ： 11annn 21an112an为 等 差 数 列 ， ， 公 差 为12ann三、 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗？1、公式法：等差、等比前 n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如 ： 是 公 差 为 的 等 差 数 列 ， 求adan kn1解： 由 1101aadkkk 11dknkn 111231daaann练习求 和 ： 123123n（ ， ）aSnn3、错位相减法：若 为 等
6、 差 数 列 ， 为 等 比 数 列 ， 求 数 列 （ 差 比 数 列 ） 前 项babnnn n和 ， 可 由 求 ， 其 中 为 的 公 比 。Sqq如 ： xxn n123413nx224121： Sn nxxn12时 ，Snn312时 ，4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。aaSnnn1212相 加111annn练习已 知 ， 则fxffff()()()()22341（ 由 fxxx()1112222 原 式 ffff()()()1213141）2010 年高考数学试题分类汇编数列（2010 浙江理数） （3）设 为等比数列 的前 项和， ，则nSna258
7、0a52S（A）11 （B）5 （C ） （D）81解析：解析：通过 ，设公比为 ，将该式转化为 ，解250aq0832qa得 =-2，带入所求式可知答案选 D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列q的通项公式与前 n 项和公式，属中档题（2010 全国卷 2 理数） （4）.如果等差数列 na中， 34512a，那么127.a（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】 17345441274()12, 282aaaa（2010 辽宁文数） （3）设 为等比数列 的前 项和，已知 ，nSn 34S，则公比23Saq（A
8、）3 （B）4 （C）5 （D）6解析：选 B. 两式相减得， ， .343a4433,aaq（2010 辽宁理数） （6）设a n是有正数组成的等比数列， 为其前 n 项和。已nS知 a2a4=1, ,则37S5（A） (B) (C) (D) 1314172【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由 a2a4=1 可得 ，因此 ，又因为241q12aq，联力两式有 ，所以 q= ,所以231()7Sq(3)012，故选 B。5543142（2010 全国卷 2 文数）(6)如果等差数列 中， + + =12，那么na345a+
9、 + =1a27a（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35【解析】C：本题考查了数列的基础知识。 ， 34512a4a127174()28aa（2010 江西理数）5.等比数列 中， ， =4，函数n18，则 （ ）128()()fxaxa 0fA B. C. D. 629125【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有 x 项均取 0，则只与函数 的一次项有关；得： 。0ffx 41212381()aa（2010 江西理数）4. 21lim3nx（ ）A. 53B. 2 C. 2 D. 不存在【
10、答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。 13lim()2nn（2010 安徽文数）(5)设数列 的前 n 项和 ，则 的值为na2nS8a（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）645.A【解析】 .8764915aS【方法技巧】直接根据 即可得出结论.(2)nnaS（2010 重庆文数） （2）在等差数列 中， ，则 的值为na1905a（A）5 （B）6来源:高 （）求数列2 an的前 n 项和 Sn.解 （）由题设知公差 d0，由 a11， a1， a3， a9成等比数列得 ，2d8解得 d1， d0（舍去） ， 故 an的通项 an1+（
11、 n1）1 n.()由（）知 =2n，由等比数列前 n 项和公式得2maSm=2+22+23+2n= =2n+1-2.(1)（2010 全国卷 2 文数） （18） （本小题满分 12 分）已知 是各项均为正数的等比数列，且na，1212()34534516()aa（）求 的通项公式；n（）设 ，求数列 的前 项和 。2()nnbanbnT【解析】本题考查了数列通项、前 项和及方程与方程组的基础知识。（1）设出公比根据条件列出关于 与 的方程求得 与 ，可求得数列的通项公1ad1ad式。（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出 BN 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和
12、即可求得。（2010 江西理数）22. （本小题满分 14 分）证明以下命题：（1） 对任一正整 a,都存在整数 b,c(bc)，使得 成等差数列。22abc， ，（2） 存在无穷多个互不相似的三角形 ，其边长 为正整数且nnn， ，成等差数列。22nnabc， ，【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。（1）考虑到结构要证 ， ；类似勾股数进行拼凑。22acb证明：考虑到结构特征，取特值 满足等差数列，只需取 b=5a，c=7a，1,57对一切正整数 a 均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明
13、：当 成等差数列，则 ，22nnbc， ， 22nnbacb分解得： ()()nac选取关于 n 的一个多项式， 做两种途径的分解24(1)n24(1)()(2)n24(1)n对比目标式，构造 ，由第一问结论得，等差数列成立，21nabc考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数 m，n，若 m， 相似：则三边对应成比例n， 22211n由比例的性质得： ，与约定不同的值矛盾，故互不相似。nn（2010 安徽文数） （21） （本小题满分 13 分)设 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 轴的正半轴上，且12,nC x都与直线 相切，对每一个正整数 ,圆3yxn都与圆
14、相互外切，以 表示 的半径，已n1nnrnC知 为递增数列.r()证明： 为等比数列；n（）设 ，求数列 的前 项和. 1rnr【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】 （1）求直线倾斜角的正弦，设 的圆心为 ，得 ，同nC(,0)n2nr理得 ，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关2nr系，即 中 与 的关系，证明 为等比数列；（2）利用（1）的结论求1nnr的通项公式，代入数列 ，然后用错位相减法求和.nrnnnn n+1+1n+1n n11nn n12331,si,2r1r22rr3qrr3*3r
15、.rxC解 ： （ ） 将 直 线 y=的 倾 斜 角 记 为 ,则 有 ta=设 的 圆 心 为 （ ， 0） ， 则 由 题 意 得 知 ， 得 ； 同 理， 从 而 ， 将 代 入 ，解 得故 为 公 比 的 等 比 数 列 。（ ） 由 于 ， ， 故 ， 从 而 ，记 S21n1121n 11,r*3.*3()3.3*(),93923*()424nnnnnn nnnS则 有 ,得2S【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项 与 之间的关系，然后根据这个递推关系，结na1合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若
16、数列的通项公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前 n 项和 乘以公nS比，然后错位相减解决.（2010 重庆文数） （16） （本小题满分 13 分， （）小问 6 分， （）小问 7 分. ）已知 是首项为 19，公差为-2 的等差数列， 为 的前 项和.na nSan（）求通项 及 ；nS（）设 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 的通项公b nb式及其前 项和 .nT（2010 浙江文数） （19） （本题满分 14 分）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为d 的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 +15=0。56（）若 =5，求 及 a1；5S6（）
17、求 d 的取值范围。（2010 重庆理数） （21） （本小题满分 12 分， （I）小问 5 分， （II）小问 7 分）在数列 中， =1， ，其中实数 。na1112*nnacN0c（I） 求 的通项公式；（II） 若对一切 有 ，求 c 的取值范围。*kN21kz（2010 山东文数） （18） （本小题满分 12 分）已知等差数列 满足： ， . 的前 n 项和为 .na375726ananS（）求 及 ；S（）令 （ ）,求数列 的前 n 项和 .21nbanNnbnT（2010 北京文数） （16） （本小题共 13 分）已知 为等差数列，且 ， 。|na36a0（）求 的通项公
18、式；|（）若等差数列 满足 ， ，求 的前 n 项和公|nb182123ba|nb式解：（）设等差数列 的公差 。nad因为 36,0所以 解得125da10,2ad所以 0()nn（）设等比数列 的公比为bq因为 21234,8ab所以 即 =38q所以 的前 项和公式为nb1()4(3)nnnqS（2010 北京理数） （20） （本小题共 13 分）已知集合 对于121|(,),0,2()n nSXxxin， ，定义 A 与 B 的差为12(,)AaBbS12|,|);nBaA 与 B 之间的距离为 1()|idAab（）证明： ，且 ;,nnCSBS有 (,)(,)dACBdA（）证明
19、： 三个数中至少有一个是偶数(),d() 设 P ，P 中有 m(m2)个元素，记 P 中所有两元素间距离的平均值为n(P).d证明： （P） .2(1)m（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）证明：（I）设 ， ，12(,.)nAa12(,.)nBb12(,.)nCcS因为 ， ，所以 , i0ib0ia(.)从而 12(|,|,.|)nnBbS又 1(,)|niiidACac由题意知 ， ， .iaibi0,(,2)in当 时， ;0ic|iiicab当 时，1i|(1)|ii iiiab所以 1(,)|(,)niidACBabdAB(II)设 ， ，12,.na2,.n12(,
20、.)nCcS， ， .(,)dABk(,)dCl(,)dBh记 ，由（I）可知0,.nOS()(,)(,)AOAk,dCdCl()(,)Bh所以 中 1 的个数为 ， 的 1|,2.ibank|(,2.)ican的个数为 。l设 是使 成立的 的个数，则t|iicihlkt由此可知， 三个数不可能都是奇数，,klh即 , , 三个数中至少有一个是偶数。()dAB()C()d（III ） ,其中 表示 中所有两个元素间距离的2,1)ABPm,(,)ABP总和，设 种所有元素的第 个位置的数字中共有 个 1， 个 0i itimt则 =,(,)ABPd1()niit由于 it()im2(,.)4i所以 ,(,)ABPd2n从而22,1()(,)4(1)ABPmmnCC（2010 四川理数） （21） （本小题满分 12 分）已知数列a n满足 a10，a 22，且对任意 m、n N*都有a2m1 a 2n1 2a mn1 2(mn) 2（）求 a3，a 5；（）设 bna 2n1 a 2n1 (nN *)，证明：b n是等差数列；
