1、 中小学 1 对 1 课外辅导专家1经开学习中心学科教师辅导讲义学员姓名： 年 级：初三 课 时 数：3 课时学科教师： 辅导科目：数学 授课时间段：17：30-19:30 课 题 中考 三角函数应用题教学目的 1、复习巩固解直角三角形知识点2、使学生熟练解三角函数应用题教学内容解直角三角形小题和大题中都有可能出现，小题会出现选题中，大题出现在 20 题！考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：C=90 A+B=902、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为 a， b
2、，斜边长为 c，那么 a2 b2 c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有下面关系：a 2b 2c 2，那么这个三角形是直角三角形。考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为 c） ；（2）若 c2 a2 b2，则ABC 是以C 为直
3、角的三角形；若 a2 b2 c2，则此三角形为钝角三角形（其中 c 为最大边） ；若 a2 b2 c2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）知识梳理考试大纲中小学 1 对 1 课外辅导专家24. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为 的线段n考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在ABC 中，C=90 锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记为 sinA，即 casin斜 边的 对 边A锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记为 cosA，即 bco斜 边的
4、 邻 边锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记为 tanA，即 atan的 邻 边的 对 边A锐角 A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记为 cotA，即 abcot的 对 边的 邻 边2、锐角三角函数的概念锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数 30 45 60Sin a 21223Cos a 31Tan a 1 3Cot a 31考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据
5、在 RtABC 中，C=90，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c。（1）三边之间的关系： （勾股定理） ；22cba（2）锐角之间的关系：A+B=90；中小学 1 对 1 课外辅导专家3（3）边角之间的关系：正弦 sin，余弦 cos，正切 tan；(4) 面积公式： （ 为 c 边上的高） 。habSc21考点五、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰:ihll (2)坡面的铅直高度 和水平宽度 的比叫做坡度(
6、坡比)。用字母 表示，即 。坡度一般写成 的形式，hl ihil1:m如 等。 把坡面与水平面的夹角记作 (叫做坡角 )，那么 。1:5itanhl3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，OA、OB、OC、OD 的方向角分别是：45、135、225。实际应用【例 1】如图：我渔政 310 船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在 A 点观测到我渔船 C 在北偏东 60方向的我国某传统渔场捕鱼作业若渔政 310 船航向不变，航行半小时后到达 B 点，观测到我渔船 C 在东北方向上问：渔政310 船再按原航向航行多长时间，离渔船 C 的距离最近？（渔船 C 捕鱼时移动距
7、离忽略不计，结果不取近似值 ）中小学 1 对 1 课外辅导专家4【例 2】某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在 B 点测得旗杆顶端 E 点的仰角为 45，小军站在点 D 测得旗杆顶端 E 点的仰角为 30，已知小明和小军相距（BD）6 米，小明的身高（AB）1.5 米，小军的身高（CD）1.75 米，求旗杆的高 EF 的长 （结果精确到 0.1，参考数据：1.41， 1.73）【例 3】海中两个灯塔 A、 B，其中 B 位于 A 的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 C 处测得灯塔 A 在西北方向上，灯塔 B 在北偏东 30方向上，渔船不改变航
8、向继续向东航行 30 海里到达点 D，这是测得灯塔 A 在北偏西60方向上，求灯塔 A、 B 间的距离 （计算结果用根号表示，不取近似值）【例 4】如图，一楼房 AB 后有一假山，其坡度为 i=1： ，山坡坡面上 E 点处有一休息亭，测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC=25 米，与亭子距离 CE=20 米，小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为 45，求楼房 AB 的高 （注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）中小学 1 对 1 课外辅导专家5【例 6】解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁（）如图，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度 AB 等于 47m，从 A
9、B 的中点 C 处开启，则 AC 开启至 A C的位置时， A C的长为 m；（）如图，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长 PQ，在观景平台 M 处测得 PMQ=54，沿河岸 MQ 前行，在观景平台 N 处测得 PNQ=73，已知 PQ MQ， MN=40m，求解放桥的全长 PQ（ tan541.4， tan733.3，结果保留整数） 【例 7】如图，在湖边高出水面 5m 的山顶 A 处看见一架直升机停留在湖面上空某处，观察到飞机底部标志 P 处的仰角为 45，又观察到其在湖中之像的俯角为 65，试求飞机距湖面的高度 h （精确到 001m）tan652145【例 8】已知：如图，山顶建有 8
10、0 米高的铁塔 BC，为了测量山的高度，测量人员在一个小山坡的 P 处，测得塔的底部 B 点的仰角为 45，塔顶 C 的仰角为 60，若小山坡的坡角为 30，坡长 MP=40 米，请问，测量人员用这种方法能测量出山的高度吗？如果能，山的高度是多少？（精确到 1 米，参考数据 ）21.4,3.72中小学 1 对 1 课外辅导专家61、如图，在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15方向的 A 处，若渔船沿北偏西 75方向以 40 海里/小时的速度航行，航行半小时后到达 C 处，在 C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60方向上，则 B、C 之间的距离为（ ） A 20 海里 B 10
11、 海里 C 20 海里 D 30 海里2、为解决停车难的问题，在如图一段长 56 米的路段开辟停车位，每个车位是长 5 米宽 2.2 米的矩形，矩形的边与路的边缘成 45角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位 （ 1.4）3、某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度. 如图，矩形 CDEF 为公益广告牌，CD 为公益广告牌的高，DM 为楼房的高，且 C、D、M 三点共线. 在楼房的侧面 A 处，测得点 C 与点 D 的仰角分别为 45和 37.3，BM=15 米. 根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高（CD 的长）. （结果精确到 0.1米，参考数据
12、：sin37.30.6060，cos37.30.7955，tan37.30.7618）限时检测中小学 1 对 1 课外辅导专家104、人常说：这山望着那山高！那山比这山高多少？小华带着好奇，想用所学知识测量一下两山间的高度差。如图，他在山顶 A 处，测得对面山顶 P 处的仰角为 53，然后，他登上山顶 A 处的一座高约为 10 米的楼，在楼顶选择了A 处正上方的 B 处，测得对面山顶 P 处的仰角为 51。请你利用小华测得的数据，求山顶 P 处比山顶 A 处高多少米(结果精确到 1 米)?(参考数据 sin510.7771, cos510.6293,tan511.2349,sin530.798
13、6,cos530.6018,tan531.3270)5、小明想利用所学知识测量公园门前热气球直径的大小。如图，当热气球升到某一位置时，小明在点 A 处测得热气球底部点 C、中部点 D 的仰角分别为 50和 60。已知点 O 为热气球的中心，EAAB,OBAB,OBOD,，点 C 在 OB上，AB=30 米，且点 E、A、B、O、D 在同一平面内。根据以上信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到 0.1） 6、某市在一道路拓宽改造过程中，发现原来道路两边的路灯除照亮路面的圆的面积不能满足需要外，亮度效果足以满足拓宽后的设计标准，因此，经设计人员研究，只要将路灯的灯杆增加一定的高度，使其照亮路面圆
14、的面积为原来的 2 倍即可。已知原来路灯灯高为 7.5 米，请你求出原灯杆至少再增加多少米，才能符合拓宽后的设计要求？（结果精确到 0.1 米） 中小学 1 对 1 课外辅导专家11、如图所示，在 300m 高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为 30和 60，则塔高 CD 为 （ ）A .200m B.180m C. 150m D.100m2、如图，某海监船向正西方向航行，在 A 处望见一艘正在作业渔船 D 在南偏西 45方向，海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东 45方向，又航行了半小时到达 C 处，望见渔船 D 在南偏东 60方向，若海监船的速度为 50 海里/小时，则 A，
15、B 之间的距离为 （取 ，结果精确到 0.1 海里） 3、某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺来测量这一条河流的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点 B(点 B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点 D 所确定的直线垂直于河岸)小明在 B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点 D 处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离 AB=1.7 米；小明站在原地转动后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变） ，这时视线通过帽檐落在了 DB 延长线上的点 E 处，此时小亮测得 BE=9.6 米，小明的眼睛距离地面的距离 CB
16、=1.2 米。根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽 BD 是多少米？课后作业中小学 1 对 1 课外辅导专家14、一天晚上，黎明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 D 的高度如图，当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立时身高 AM 与影子长 AE 正好相等；接着李明沿 AC 方向继续向前走，走到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB=1.25m，已知李明直立时的身高为 1.75m，求路灯的高 CD 的长 （结果精确到 0.1m5、如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭 A 处测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位
17、于北偏东 65方向，然后，他从凉亭 A 处沿湖岸向东方向走了 100 米到 B 处，测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东 45方向（点 A、B、C 在同一平面上） ，请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐 C 处与湖岸上的凉亭 A 处之间的距离（结果精确到 1 米） （参考数据 sin250.4226，cos250.9063，tan250.4663，sin650.5563，cos650.4226，tan652.1445）6、一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：先测出沙坑坑沿的圆周长 34.54 米；甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于 B 时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点 A 看到坑底 S（甲同学的视线起点 C 与点 A，点 S 三点共线） ，经测量：AB=1.2 米，BC=1.6 米根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高） （ 取 3.14，结果精确到 0.1 米）中小学 1 对 1 课外辅导专家1
