b按这个次序构成右手系.doc

1、b 按 这 个 次 序 构 成 右 手 系 。 若 a、 b 共 线 ， 则 ab=0。向 量 的 向 量 积 性 质 ： ab 是 以 a 和 b 为 边 的 平 行 四 边 形 面 积 。aa=0。a b = ab=0。向 量 的 向 量 积 运 算 律ab=-ba；（ a） b=（ ab） =a（ b） ；（ a+b） c=ac+bc.注 ： 向 量 没 有 除 法 ， “向 量 AB/向 量 CD”是 没 有 意 义 的 。6、 三 向 量 的 混 合 积定 义 ： 给 定 空 间 三 向 量 a、 b、 c， 向 量 a、 b 的 向 量 积 ab， 再 和 向 量 c 作 数 量积

2、 (ab)c， 所 得 的 数 叫 做 三 向 量 a、 b、 c 的 混 合 积 ， 记 作 (a,b,c)或 (abc)， 即 (abc)=(a,b,c)=(ab)c混 合 积 具 有 下 列 性 质 ：1、 三 个 不 共 面 向 量 a、 b、 c 的 混 合 积 的 绝 对 值 等 于 以 a、 b、 c 为 棱 的 平 行 六 面体 的 体 积 V， 并 且 当 a、 b、 c 构 成 右 手 系 时 混 合 积 是 正 数 ； 当 a、 b、 c 构 成 左 手 系时 ， 混 合 积 是 负 数 ， 即 (abc)=V（ 当 a、 b、 c 构 成 右 手 系 时 =1； 当 a

3、、 b、 c 构 成左 手 系 时 =-1）2、 上 性 质 的 推 论 ： 三 向 量 a、 b、 c 共 面 的 充 要 条 件 是 (abc)=03、 (abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)4、 (ab)c=a(bc)向 量 的 三 角 形 不 等 式1、 a - b a+b a + b ； 当 且 仅 当 a、 b 反 向 时 ， 左 边 取 等 号 ； 当 且 仅 当 a、 b 同 向 时 ， 右 边 取 等 号 。2、 a - b a-b a + b 。 当 且 仅 当 a、 b 同 向 时 ， 左 边 取 等 号 ； 当 且 仅 当 a、 b

4、 反 向 时 ， 右 边 取 等 号 。定 比 分 点定 比 分 点 公 式 （ 向 量 P1P=向 量 PP2）设 P1、 P2 是 直 线 上 的 两 点 ， P 是 l 上 不 同 于 P1、 P2 的 任 意 一 点 。 则 存 在 一 个实 数 ， 使 向 量 P1P=向 量 PP2， 叫 做 点 P 分 有 向 线 段 P1P2 所 成 的 比 。若 P1（ x1,y1)， P2(x2,y2)， P(x,y)， 则 有OP=(OP1+OP2)(1+)； （ 定 比 分 点 向 量 公 式 ）x=(x1+x2)/(1+),y=(y1+y2)/(1+)。 （ 定 比 分 点 坐 标 公

5、 式 ）我 们 把 上 面 的 式 子 叫 做 有 向 线 段 P1P2 的 定 比 分 点 公 式三 点 共 线 定 理若 OC=OA +OB ,且 +=1 ,则 A、 B、 C 三 点 共 线三 角 形 重 心 判 断 式在 ABC 中 ， 若 GA +GB +GC=O,则 G 为 ABC 的 重 心 编 辑 本 段 其 他向 量 共 线 的 条 件若 b0， 则 a/b 的 重 要 条 件 是 存 在 唯 一 实 数 ， 使 a=b。若 设 a=（ x1， y1） ， b=（ x2， y2） ， 则 有 x1y2=x2y1。零 向 量 0 平 行 于 任 何 向 量 。向 量 垂 直 的

6、 重 要 条 件a b 的 充 要 条 件 是 ab=0， 即 x1x2+y1y2=0。零 向 量 0 垂 直 于 任 何 向 量 . 编 辑 本 段 向 量 与 矢 量 的 一 些 区 别学 过 高 中 物 理 便 知 道 矢 量 ， 学 过 高 等 代 数 便 知 道 向 量 ， 两 个 相 似 的 概 念 其 实 是 存在 不 同 的 。 矢 量 是 一 个 几 何 中 的 概 念 ， 表 示 一 个 具 有 方 向 和 大 小 的 量 ， 有 起 点 和 终 点。 从 矢 量 的 几 何 定 义 出 发 ， 是 很 难 研 究 的 。 顺 应 数 学 中 几 何 概 念 代 数 化 的

7、 潮 流 ， 显 然 把矢 量 的 概 念 用 代 数 方 法 来 表 示 ， 就 好 量 化 地 定 义 矢 量 的 运 算 并 进 一 步 研 究 各 种 复 杂 的 运算 （ 加 乘 带 微 分 ） 。 笛 卡 尔 同 学 是 个 好 同 学 ， 坐 标 系 的 出 现 方 便 了 矢 量 的 代 数 定 义 。 把一 个 矢 量 r 放 置 在 一 个 人 为 规 定 的 坐 标 系 下 ， 3 维 坐 标 系 的 x-y-z 轴 上 分 别 有 了 3 个基 矢 量 i-j-k（ 长 度 为 1） ， 把 这 个 矢 量 的 起 点 和 终 点 向 三 个 轴 上 投 影 ， 得 到

8、 三 个 投 影 矢量 a*i,b*j,c*k,那 么 a,b,c（ 属 于 R） 便 是 矢 量 r 在 这 个 坐 标 系 下 的 坐 标 ,即 r=a b c*transposei j k=i j k*transposea b c。 如 此 讲 来 ， 基 本 把 人 搞 晕 ， 来 点 儿 干 脆 的， 就 是 把 矢 量 r 平 移 使 得 其 起 点 与 坐 标 系 原 点 重 合 ， 则 其 终 点 的 坐 标 就 是 这 个 矢 量 的 坐标 ， 以 坐 标 系 原 点 为 起 点 的 矢 量 被 称 为 矢 径 。 矢 量 的 坐 标 transposea b c（ 即 矢量

9、 的 代 数 定 义 ） 便 是 代 数 学 中 常 常 出 现 的 向 量 。 两 个 概 念 常 常 被 混 为 一 谈 是 不 对 的 ， 不仅 仅 因 为 矢 量 是 几 何 概 念 而 向 量 数 学 中 ， 既 有 大 小 又 有 方 向 的 量 叫 做 向 量 （ 亦 称矢 量 ） 。注 ： 在 线 性 代 数 中 的 向 量 是 指 n 个 实 数 组 成 的 有 序 数 组 ， 称 为 n 维 向 量 。 =（a1， a2， ， an） 称 为 n 维 向 量 .其 中 ai 称 为 向 量 的 第 i 个 分 量 。（ “a1“的 “1“为 a 的 下 标 ， “ai“的

10、“i“为 a 的 下 标 ,其 他 类 推 ） 。 编 辑 本 段 向 量 的 来 源向 量 （ 或 矢 量 ） ， 最 初 被 应 用 于 物 理 学 很 多 物 理 量 如 力 、 速 度 、 位 移 以 及 电 场 强度 、 磁 感 应 强 度 等 都 是 向 量 大 约 公 元 前 350 年 前 ， 古 希 腊 著 名 学 者 亚 里 士 多 德 就 知道 了 力 可 以 表 示 成 向 量 ， 两 个 力 的 组 合 作 用 可 用 著 名 的 平 行 四 边 形 法 则 来 得 到 “向量 ”一 词 来 自 力 学 、 解 析 几 何 中 的 有 向 线 段 最 先 使 用 有

11、向 线 段 表 示 向 量 的 是 英 国 大 科学 家 牛 顿 从 数 学 发 展 史 来 看 ， 历 史 上 很 长 一 段 时 间 ， 空 间 的 向 量 结 构 并 未 被 数 学 家 们 所 认 识， 直 到 19 世 纪 末 20 世 纪 初 ， 人 们 才 把 空 间 的 性 质 与 向 量 运 算 联 系 起 来 ， 使 向 量 成 为具 有 一 套 优 良 运 算 通 性 的 数 学 体 系 向 量 能 够 进 入 数 学 并 得 到 发 展 ， 首 先 应 从 复 数 的 几 何 表 示 谈 起 18 世 纪 末 期 ，挪 威 测 量 学 家 威 塞 尔 首 次 利 用 坐

12、 标 平 面 上 的 点 来 表 示 复 数 a bi， 并 利 用 具 有 几 何 意义 的 复 数 运 算 来 定 义 向 量 的 运 算 把 坐 标 平 面 上 的 点 用 向 量 表 示 出 来 ， 并 把 向 量 的 几 何表 示 用 于 研 究 几 何 问 题 与 三 角 问 题 人 们 逐 步 接 受 了 复 数 ， 也 学 会 了 利 用 复 数 来 表 示 和研 究 平 面 中 的 向 量 ， 向 量 就 这 样 平 静 地 进 入 了 数 学 但 复 数 的 利 用 是 受 限 制 的 ， 因 为 它 仅 能 用 于 表 示 平 面 ， 若 有 不 在 同 一 平 面 上

13、的 力作 用 于 同 一 物 体 ， 则 需 要 寻 找 所 谓 三 维 “复 数 ”以 及 相 应 的 运 算 体 系 19 世 纪 中 期 ，英 国 数 学 家 哈 密 尔 顿 发 明 了 四 元 数 （ 包 括 数 量 部 分 和 向 量 部 分 ） ， 以 代 表 空 间 的 向 量 他 的 工 作 为 向 量 代 数 和 向 量 分 析 的 建 立 奠 定 了 基 础 随 后 ， 电 磁 理 论 的 发 现 者 ， 英国 的 数 学 物 理 学 家 麦 克 思 韦 尔 把 四 元 数 的 数 量 部 分 和 向 量 部 分 分 开 处 理 ， 从 而 创 造 了 大量 的 向 量 分

14、 析 三 维 向 量 分 析 的 开 创 ， 以 及 同 四 元 数 的 正 式 分 裂 ， 是 英 国 的 居 伯 斯 和 海 维 塞 德 于 19 世 纪 8O 年 代 各 自 独 立 完 成 的 他 们 提 出 ， 一 个 向 量 不 过 是 四 元 数 的 向 量 部 分 ， 但 不独 立 于 任 何 四 元 数 他 们 引 进 了 两 种 类 型 的 乘 法 ， 即 数 量 积 和 向 量 积 并 把 向 量 代 数推 广 到 变 向 量 的 向 量 微 积 分 从 此 ， 向 量 的 方 法 被 引 进 到 分 析 和 解 析 几 何 中 来 ， 并 逐 步完 善 ， 成 为 了

15、一 套 优 良 的 数 学 工 具 。 编 辑 本 段 向 量 的 表 示1、 代 数 表 示 ： 一 般 印 刷 用 黑 体 小 写 字 母 、 、 或 a、 b、 c 等 来 表 示， 手 写 用 在 a、 b、 c等 字 母 上 加 一 箭 头 表 示 。2、 几 何 表 示 ： 向 量 可 以 用 有 向 线 段 来 表 示 。 有 向 线 段 的 长 度 表 示 向 量 的 大 小 ，箭 头 所 指 的 方 向 表 示 向 量 的 方 向 。 （ 若 规 定 线 段 AB 的 端 点 A 为 起 点 ， B 为 终 点 ， 则线 段 就 具 有 了 从 起 点 A 到 终 点 B 的

16、 方 向 和 长 度 。 这 种 具 有 方 向 和 长 度 的 线 段 叫 做 有 向线 段 。 ）3、 坐 标 表 示 ：1) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 分 别 取 与 x 轴 、 y 轴 方 向 相 同 的 两 个 单 位 向 量 i， j 作为 一 组 基 底 。 a 为 平 面 直 角 坐 标 系 内 的 任 意 向 量 ， 以 坐 标 原 点 O 为 起 点 作 向 量 OP=a。 由 平 面 向 量 基 本 定 理 知 ， 有 且 只 有 一 对 实 数 （ x， y） ， 使 得 a=向 量 OP=xi+yj，因 此 把 实 数 对 （ x， y） 叫 做 向 量

17、 a 的 坐 标 ， 记 作 a=（ x， y） 。 这 就 是 向 量 a 的 坐 标表 示 。 其 中 （ x， y） 就 是 点 P 的 坐 标 。 向 量 OP 称 为 点 P 的 位 置 向 量 。2) 在 立 体 三 维 坐 标 系 中 ,分 别 取 与 x 轴 、 y 轴 ,z 轴 方 向 相 同 的 3 个 单 位 向 量 i， j, k 作 为 一 组 基 底 。 若 a 为 该 坐 标 系 内 的 任 意 向 量 ， 以 坐 标 原 点 O 为 起 点 作 向 量 OP=a。 由 空 间 基 本 定 理 知 ， 有 且 只 有 一 对 实 数 （ x， y, z） ， 使

18、得 a=向 量 OP=xi+yj+zk， 因 此 把 实 数 对 （ x， y, k） 叫 做 向 量 a 的 坐 标 ， 记 作 a=（ x， y, z） 。 这 就 是 向 量a 的 坐 标 表 示 。 其 中 （ x， y, k） ,也 就 是 点 P 的 坐 标 。 向 量 OP 称 为 点 P 的 位 置 向 量。3) 当 然 ,对 于 空 间 多 维 向 量 ,可 以 通 过 类 推 得 到 ,此 略 . 编 辑 本 段 向 量 的 模 和 向 量 的 数 量向 量 的 大 小 ， 也 就 是 向 量 的 长 度 (或 称 模 )。 向 量 a 的 模 记 作 |a|。注 ：1、

19、向 量 的 模 是 非 负 实 数 ， 是 可 以 比 较 大 小 的 。2、 因 为 方 向 不 能 比 较 大 小 ， 所 以 向 量 也 就 不 能 比 较 大 小 。 对 于 向 量 来 说 “大 于 ”和 “小 于 ”的 概 念 是 没 有 意 义 的 。 例 如 ， “向 量 AB向 量 CD”是 没 有 意 义 的 。 编 辑 本 段 特 殊 的 向 量单 位 向 量长 度 为 单 位 1 的 向 量 ， 叫 做 单 位 向 量 与 向 量 a 同 向 且 长 度 为 单 位 1 的 向 量 ，叫 做 a 方 向 上 的 单 位 向 量 ， 记 作 a0， a0=a/|a|。零

20、向 量长 度 为 0 的 向 量 叫 做 零 向 量 ， 记 作 0 零 向 量 的 始 点 和 终 点 重 合 ， 所 以 零 向 量 没有 确 定 的 方 向 ， 或 说 零 向 量 的 方 向 是 任 意 的 。相 等 向 量长 度 相 等 且 方 向 相 同 的 向 量 叫 做 相 等 向 量 向 量 a 与 b 相 等 ， 记 作 a=b规 定 ： 所 有 的 零 向 量 都 相 等 当 用 有 向 线 段 表 示 向 量 时 ， 起 点 可 以 任 意 选 取 。 任 意 两 个 相 等 的 非 零 向 量 ， 都可 用 同 一 条 有 向 线 段 来 表 示 ， 并 且 与 有

21、向 线 段 的 起 点 无 关 同 向 且 等 长 的 有 向 线 段 都 表示 同 一 向 量 。自 由 向 量始 点 不 固 定 的 向 量 ， 它 可 以 任 意 的 平 行 移 动 ， 而 且 移 动 后 的 向 量 仍 然 代 表 原 来 的 向量 。在 自 由 向 量 的 意 义 下 ， 相 等 的 向 量 都 看 作 是 同 一 个 向 量 。数 学 中 只 研 究 自 由 向 量 。滑 动 向 量沿 着 直 线 作 用 的 向 量 称 为 滑 动 向 量 。固 定 向 量作 用 于 一 点 的 向 量 称 为 固 定 向 量 （ 亦 称 胶 着 向 量 ） 。位 置 向 量对

22、于 坐 标 平 面 内 的 任 意 一 点 P， 我 们 把 向 量 OP 叫 做 点 P 的 位 置 向 量 ， 记 作 ：向 量 P。相 反 向 量与 a 长 度 相 等 、 方 向 相 反 的 向 量 叫 做 a 的 相 反 向 量 ， 记 作 -a。 有 -（ -a） =a；零 向 量 的 相 反 向 量 仍 是 零 向 量 。平 行 向 量方 向 相 同 或 相 反 的 非 零 向 量 叫 做 平 行 （ 或 共 线 ） 向 量 向 量 a、 b 平 行 （ 共 线 ）， 记 作 a b零 向 量 长 度 为 零 ， 是 起 点 与 终 点 重 合 的 向 量 ， 其 方 向 不 确

23、 定 ， 我 们 规 定 ： 零 向量 与 任 一 向 量 平 行 平 行 于 同 一 直 线 的 一 组 向 量 是 共 线 向 量 。共 面 向 量平 行 于 同 一 平 面 的 三 个 （ 或 多 于 三 个 ） 向 量 叫 做 共 面 向 量 。空 间 中 的 向 量 有 且 只 有 以 下 两 种 位 置 关 系 ： 共 面 ； 不 共 面 。只 有 三 个 或 三 个 以 上 向 量 才 谈 共 面 不 共 面 。 编 辑 本 段 向 量 的 运 算设 a=（ x， y） ， b=(x， y)。1、 向 量 的 加 法向 量 的 加 法 满 足 平 行 四 边 形 法 则 和 三

24、角 形 法 则 。AB+BC=AC。a+b=(x+x， y+y)。a+0=0+a=a。向 量 加 法 的 运 算 律 ：交 换 律 ： a+b=b+a；结 合 律 ： (a+b)+c=a+(b+c)。2、 向 量 的 减 法如 果 a、 b 是 互 为 相 反 的 向 量 ， 那 么 a=-b， b=-a， a+b=0. 0 的 反 向 量 为 0AB-AC=CB. 即 “共 同 起 点 ， 指 向 被 减 ”a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).3、 数 乘 向 量实 数 和 向 量 a 的 乘 积 是 一 个 向 量 ， 记 作 a， 且 a = a 。当 0 时

25、 ， a 与 a 同 方 向 ；当 0 时 ， a 与 a 反 方 向 ；当 =0 时 ， a=0， 方 向 任 意 。当 a=0 时 ， 对 于 任 意 实 数 ， 都 有 a=0。注 ： 按 定 义 知 ， 如 果 a=0， 那 么 =0 或 a=0。实 数 叫 做 向 量 a 的 系 数 ， 乘 数 向 量 a 的 几 何 意 义 就 是 将 表 示 向 量 a 的 有 向 线段 伸 长 或 压 缩 。当 1 时 ， 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 在 原 方 向 （ 0） 或 反 方 向 （ 0） 上伸 长 为 原 来 的 倍 ；当 1 时 ， 表 示 向 量 a 的 有 向

26、线 段 在 原 方 向 （ 0） 或 反 方 向 （ 0） 上缩 短 为 原 来 的 倍 。数 与 向 量 的 乘 法 满 足 下 面 的 运 算 律结 合 律 ： (a)b=(ab)=(ab)。向 量 对 于 数 的 分 配 律 （ 第 一 分 配 律 ） ： (+)a=a+a.数 对 于 向 量 的 分 配 律 （ 第 二 分 配 律 ） ： (a+b)=a+b.数 乘 向 量 的 消 去 律 ： 如 果 实 数 0 且 a=b， 那 么 a=b。 如 果 a0 且 a=a， 那 么 =。4、 向 量 的 数 量 积定 义 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a,b。 作 OA=a,OB=

27、b,则 角 AOB 称 作 向 量 a 和 向 量 b的 夹 角 ， 记 作 a,b 并 规 定 0 a,b 定 义 ： 两 个 向 量 的 数 量 积 （ 内 积 、 点 积 ） 是 一 个 数 量 ， 记 作 ab。 若 a、 b 不 共线 ， 则 ab=|a|b|cos a， b ； 若 a、 b 共 线 ， 则 ab=+- a b 。向 量 的 数 量 积 的 坐 标 表 示 ： ab=xx+yy。向 量 的 数 量 积 的 运 算 律ab=ba（ 交 换 律 ） ；(a)b=(ab)(关 于 数 乘 法 的 结 合 律 )；（ a+b)c=ac+bc（ 分 配 律 ） ；向 量 的

28、数 量 积 的 性 质aa=|a|的 平 方 。a b = ab=0。|ab|a|b|。 （ 该 公 式 证 明 如 下 ： |ab|=|a|b|cos| 因 为 0|cos|1， 所 以 |ab|a|b|）向 量 的 数 量 积 与 实 数 运 算 的 主 要 不 同 点1、 向 量 的 数 量 积 不 满 足 结 合 律 ， 即 ： (ab)ca(bc)； 例 如 ： (ab)2a2b2。2、 向 量 的 数 量 积 不 满 足 消 去 律 ， 即 ： 由 ab=ac (a0)， 推 不 出 b=c。3、 |ab|a|b|4、 由 |a|=|b| ， 推 不 出 a=b 或 a=-b。5、

29、 向 量 的 向 量 积定 义 ： 两 个 向 量 a 和 b 的 向 量 积 （ 外 积 、 叉 积 ） 是 一 个 向 量 ， 记 作 ab。 若 a、 b 不 共 线 ， 则 ab 的 模 是 ： ab =|a|b|sin a， b ； ab 的 方 向 是 ： 垂 直 于a 和 b， 且 a、 b 和 ab 按 这 个 次 序 构 成 右 手 系 。 若 a、 b 共 线 ， 则 ab=0。向 量 的 向 量 积 性 质 ： ab 是 以 a 和 b 为 边 的 平 行 四 边 形 面 积 。aa=0。a b = ab=0。向 量 的 向 量 积 运 算 律ab=-ba；（ a） b=

30、（ ab） =a（ b） ；（ a+b） c=ac+bc.注 ： 向 量 没 有 除 法 ， “向 量 AB/向 量 CD”是 没 有 意 义 的 。6、 三 向 量 的 混 合 积定 义 ： 给 定 空 间 三 向 量 a、 b、 c， 向 量 a、 b 的 向 量 积 ab， 再 和 向 量 c 作 数 量积 (ab)c， 所 得 的 数 叫 做 三 向 量 a、 b、 c 的 混 合 积 ， 记 作 (a,b,c)或 (abc)， 即 (abc)=(a,b,c)=(ab)c混 合 积 具 有 下 列 性 质 ：1、 三 个 不 共 面 向 量 a、 b、 c 的 混 合 积 的 绝 对

31、值 等 于 以 a、 b、 c 为 棱 的 平 行 六 面体 的 体 积 V， 并 且 当 a、 b、 c 构 成 右 手 系 时 混 合 积 是 正 数 ； 当 a、 b、 c 构 成 左 手 系时 ， 混 合 积 是 负 数 ， 即 (abc)=V（ 当 a、 b、 c 构 成 右 手 系 时 =1； 当 a、 b、 c 构 成左 手 系 时 =-1）2、 上 性 质 的 推 论 ： 三 向 量 a、 b、 c 共 面 的 充 要 条 件 是 (abc)=03、 (abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)4、 (ab)c=a(bc)向 量 的 三 角 形

32、不 等 式1、 a - b a+b a + b ； 当 且 仅 当 a、 b 反 向 时 ， 左 边 取 等 号 ； 当 且 仅 当 a、 b 同 向 时 ， 右 边 取 等 号 。2、 a - b a-b a + b 。 当 且 仅 当 a、 b 同 向 时 ， 左 边 取 等 号 ； 当 且 仅 当 a、 b 反 向 时 ， 右 边 取 等 号 。定 比 分 点定 比 分 点 公 式 （ 向 量 P1P=向 量 PP2）设 P1、 P2 是 直 线 上 的 两 点 ， P 是 l 上 不 同 于 P1、 P2 的 任 意 一 点 。 则 存 在 一 个实 数 ， 使 向 量 P1P=向 量

33、 PP2， 叫 做 点 P 分 有 向 线 段 P1P2 所 成 的 比 。若 P1（ x1,y1)， P2(x2,y2)， P(x,y)， 则 有OP=(OP1+OP2)(1+)； （ 定 比 分 点 向 量 公 式 ）x=(x1+x2)/(1+),y=(y1+y2)/(1+)。 （ 定 比 分 点 坐 标 公 式 ）我 们 把 上 面 的 式 子 叫 做 有 向 线 段 P1P2 的 定 比 分 点 公 式三 点 共 线 定 理若 OC=OA +OB ,且 +=1 ,则 A、 B、 C 三 点 共 线三 角 形 重 心 判 断 式在 ABC 中 ， 若 GA +GB +GC=O,则 G 为

34、 ABC 的 重 心 编 辑 本 段 其 他向 量 共 线 的 条 件若 b0， 则 a/b 的 重 要 条 件 是 存 在 唯 一 实 数 ， 使 a=b。若 设 a=（ x1， y1） ， b=（ x2， y2） ， 则 有 x1y2=x2y1。零 向 量 0 平 行 于 任 何 向 量 。向 量 垂 直 的 重 要 条 件a b 的 充 要 条 件 是 ab=0， 即 x1x2+y1y2=0。零 向 量 0 垂 直 于 任 何 向 量 . 编 辑 本 段 向 量 与 矢 量 的 一 些 区 别学 过 高 中 物 理 便 知 道 矢 量 ， 学 过 高 等 代 数 便 知 道 向 量 ，

35、两 个 相 似 的 概 念 其 实 是 存在 不 同 的 。 矢 量 是 一 个 几 何 中 的 概 念 ， 表 示 一 个 具 有 方 向 和 大 小 的 量 ， 有 起 点 和 终 点。 从 矢 量 的 几 何 定 义 出 发 ， 是 很 难 研 究 的 。 顺 应 数 学 中 几 何 概 念 代 数 化 的 潮 流 ， 显 然 把矢 量 的 概 念 用 代 数 方 法 来 表 示 ， 就 好 量 化 地 定 义 矢 量 的 运 算 并 进 一 步 研 究 各 种 复 杂 的 运算 （ 加 乘 带 微 分 ） 。 笛 卡 尔 同 学 是 个 好 同 学 ， 坐 标 系 的 出 现 方 便

36、了 矢 量 的 代 数 定 义 。 把一 个 矢 量 r 放 置 在 一 个 人 为 规 定 的 坐 标 系 下 ， 3 维 坐 标 系 的 x-y-z 轴 上 分 别 有 了 3 个基 矢 量 i-j-k（ 长 度 为 1） ， 把 这 个 矢 量 的 起 点 和 终 点 向 三 个 轴 上 投 影 ， 得 到 三 个 投 影 矢量 a*i,b*j,c*k,那 么 a,b,c（ 属 于 R） 便 是 矢 量 r 在 这 个 坐 标 系 下 的 坐 标 ,即 r=a b c*transposei j k=i j k*transposea b c。 如 此 讲 来 ， 基 本 把 人 搞 晕 ，

37、 来 点 儿 干 脆 的， 就 是 把 矢 量 r 平 移 使 得 其 起 点 与 坐 标 系 原 点 重 合 ， 则 其 终 点 的 坐 标 就 是 这 个 矢 量 的 坐标 ， 以 坐 标 系 原 点 为 起 点 的 矢 量 被 称 为 矢 径 。 矢 量 的 坐 标 transposea b c（ 即 矢量 的 代 数 定 义 ） 便 是 代 数 学 中 常 常 出 现 的 向 量 。 两 个 概 念 常 常 被 混 为 一 谈 是 不 对 的 ，不 仅 仅 因 为 矢 量 是 几 何 概 念 而 向 量 是 代 数 概 念 ， 而 且 向 量 在 代 数 中 早 就 被 扩 充 到 n

38、维 ， 早 已 超 出 了 现 实 生 活 3 维 空 间 的 限 制 。 另 外 ， 一 个 矢 量 或 者 说 一 个 点 （ 当 矢 量 为矢 径 时 ， 矢 量 就 跟 其 终 点 一 一 对 应 ） 是 客 观 存 在 ， 在 不 同 的 坐 标 系 下 将 有 不 同 的 坐 标 表示 ， 也 就 是 说 ， 一 个 矢 量 或 者 一 个 点 可 以 有 很 多 （ 无 穷 ） 向 量 与 其 对 应 。 记 住 向 量 （ 3维 及 其 以 下 ） 是 矢 量 的 代 数 表 示 就 可 以 了 。有 了 代 数 定百 度 一 下您查询的关键词是：相量法 。如果打开速度慢，可以

39、尝试快速版；如果想保存快照，可以添加到搜藏。(百度和网页 http:/ 的作者无关，不对其内容负责。百度快照谨为网络故障时之索引，不代表被搜索网站的即时页面。)第八章 相量法 内容:复数正弦量相量法的基础电路定律的相量形式8. 1 复数一,复数的几种形式:1,代数形式:F = a + j ba=Re F b=Im F 2,三角形式:F=|F| (cos+jsin)+1abF0+j3,指数形式:F=|F|欧拉公式:极坐标形式: F=|F| 一,复数的运算:则 F1F2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减运算直角坐标若 F1=a1+jb1, F2=a2+jb2加减法可用图解法.平行四边形法(2

40、) 乘除运算极坐标(指数形式 )若 F1=|F1| 1 ,若 F2=|F2| 2除法:模相除,角相减.乘法:模相乘,角相加.则:F1F2ReImOF1+ F2F1- F2例 1. 解:例 2. 解:上式(3) 旋转因子:复数 ejq =cosq +jsinq =1qA ejq 相当于 A 逆时针旋转一个角度 q ,而模不变.8. 2 正弦量一. 正弦量:按正弦规律变化的量 .瞬时值表达式:i(t)=Imsin(w t+y)i+_u波形:tiO/ T周期 T (period)和频率 f (frequency) :频率 f :每秒重复变化的次数.周期 T :重复变化一次所需的时间.f =1/T单位

41、:Hz,赫(兹)单位:s,秒(1) 幅值 (amplitude) (振幅, 最大值 )Im:反映正弦量变化幅度的大小.(2) 角频率(angular frequency)w :每秒变化的角度(弧度), 反映正弦量变化快慢. 二,正弦量的三要素:tiO/ T(3) 初相位(initial phase angle)y :反映了正弦量的计时起点 . (wt+y )表示正弦量随时间变化的进程 ,称之为相位角.它的大小决定该时刻正弦量的值 .Im2 t单位: rad/s ,弧度 / 秒i(t)=Imsin(w t+y)峰-峰值:2 Im同一个正弦量,计时起点不同,初相位不同.tiO=0= /2=- /2

42、一般规定:| | .一个电路中的许多相关的正弦量,计时零点必须相同.三,正弦量的性质:正弦量的微分,积分,同频正弦量的代数和等运算,结果仍为一个同频率的正弦量.四,周期量的有效值周期性电流,电压的瞬时值随时间而变,为了衡量其大小工程上采用有效值来表示.用大写字母表示.物理意义:周期性电流 i 流过电阻 R,在一周期 T 内吸收的电能,等于一直流电流 I 流过 R , 在时间 T 内吸收的电能,则称电流 I 为周期性电流 i 的有效值.均方根值正弦电流,电压的有效值设 i(t)=Imsin( t+ )同理,可得正弦电压有效值与最大值的关系:若一交流电压有效值为 U=220V,则其最大值为 Um

43、311V;U=380V, Um 537V.工程上说的正弦电压,电流一般指有效值,如设备铭牌额定值,电网的电压等级等.但绝缘水平,耐压值指的是最大值.因此,在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑.测量中,电磁式交流电压,电流表读数均为有效值.*注意 区分电压,电流的瞬时值,最大值,有效值的符号.五,同频率正弦量的相位差 (phase difference).设 u(t)=Umsin(w t+y u), i(t)=Imsin(w t+y i)则 相位差 即相位角之差:j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y ij 0, u 领先( 超前)I j 角,或 i 落后( 滞后)

44、u j 角(u 比 i 先到达最大值);j 0 00 m4 或 mm 或 m4 为所求的 m 的取值范围.【例 10.】已知点 H(-3,0),点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且=0,=-(1)当 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹方程;(2)过点 T(-1,0)作直线 l 交轨迹 C 与 A,B 两点,若在 x 轴上垂直一点 E,使=, 且与的夹角为 600,求的值【解】设 M(x,y),由=-得 P(),Q()由=0 得: 点 Q 在 x 轴正半轴上,x0即所求的轨迹方程为:(x0)(抛物线去掉顶点 )(2)设直线 l:y=k(x+1)(k

45、0),代入得:设 A(),B(),则 线段 AB 的中点坐标为()线段 AB 的垂直平分线方程为:(x-) 在中,令 y=0,得 (与 x 轴的交点)=,且与的夹角为 600,ABE 为等边三角形点 E 到直线 AB 的距离为|AB|而|AB|= 解得: 代入 从而【例 11.】在坐标平面内,设 O 是坐标原点,=,=,点 A 满足+=(-4,-2),点集 S=P|P 为平面内的点且满足条件:|PF1|-|PF2|=2(1)求点 A 的坐标 ;(2)若 P1,P2S,且,又点 Q 满足=-,求点 Q 的轨迹方程.【解】设 A,则=,=+=(-4,-2),即 A(2,1)(2)由|PF1|-|P

46、F2|=2 得点 P 的轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线的一支(即集合 S 所表示的图形 )其方程为:P1,P2S,P1,P2 都在双曲线上.,即点 A,P1,P2 三点共线又=-知:Q 是线段 P1P2 的中点.问题转化为:过点 A 作直线交双曲线与 P1,P2 两点,求 P1P2 的中点 Q 的轨迹方程.按求弦的中点的轨迹方法可得;【例 12.】如图,O 为坐标原点 ,A,A1 为 x 轴上的定点,且=(),=(), 点 B 在过 A 且方向向量是(1,k)的直线 l 上,且=0,点 M 在线段 AB 上,且=,当 k 变化时,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线.【解】由题意知

47、:A(),A1(),=0 下面求点 M 的轨迹方程:解法一:设 M(x,y),B(),直线 l 的方向向量为(1,k), 直线 l 的斜率为 k由=,得=,即即: 点 M 在线段 AB 上,又 A,M,B 共线,即: 由,消去 t 并化简得: (y0)即为所求轨迹方程.当 a=1 时,表示圆(不含 A,A1)当 a0 且 a1 时 ,表示椭圆(不含 A,A1)解法二:依题意;点 M 是有向线段 AB 的内分点,令 =,则 (0)消去 得: (y0)下同解法一.【解题回顾】这里是典型的用参数法求轨迹方程的思想,把动点的坐标 x,y 与参数的关系分别解出,消去参数并化简得到.【例 13.】如图,抛物线上有两点 A(),B(),且=0,又=(0,-2),(1)求证:(2)若=-2,求 AB 所在直线方程.【解】由题意得:A(),B() =0,() =(),=()()-()=(-)(+2)=0即:【解题回顾】本题体现了向量方法证明三点共线问题的一般方法.本题的实质是课本上一道题的改编,原题为:过抛物线的顶点 O 作两条互相垂直的弦OA,OB,与抛物线交于 A,B 两点,求证 AB 必过定点( 定点为 AB 与 x 轴的交点)(2)=-2 B 为或,得或-AB 的方程为:y=