1、 1 5.1.2 垂线(一)典型例题【例 1】 两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直； 两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这条直线互相垂直； 两条直线相交，若所成的四个角相等，则这两条直线垂直；两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线垂直.其中说法正确的有( )A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个【解析】 题中的 4 个说法，都是关于两条直线垂直的判定问题.根据垂直定义，只要推出两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，就可以判断两条直线互相垂直.是垂直的定义，所以正确；有一组对顶角互补，因为对顶角相等，所以这两个角都是 90，所以正确；两条直线
2、相交，所成的四个角相等，都是 90，所以正确；有一组邻补角相等，而邻补是互补的 ，所以这两个角都是 90，所以正确.【答案】 D【例 2】 如图 516，过点 A、B 分别画 OB、OA 的垂线.图 516 图 517【解析】 画线段或射线的垂线，就是画这条线段或射线所在直线的垂线，本例中的垂足分别在 OB 的反向延长线上和 OA 的延长线上.【答案】如图 517 所示，直线 AE 为过点 A 与 OB 垂直的直线，垂足为 E;直线 BD为过点 B 与 OA 垂直的直线，垂足为 D.【例 3】 如图 518，点 O 为直线 AB 上一点，OC 为一射线， OE 平分AOC，OF平分BOC(1)
3、若BOC=50，试探究 OE、OF 的位置关系；(2)若BOC=(0 x180) ，(1)中 OE、OF 的位置关系是否仍成立?请说明理由，由此你发现了什么规律? 2 图 518【解析】 要探究 OE、OF 的位置关系，可先用三角尺或量角器检测EOF 的大小来判断 OE、OF 的关系，再通过计算加以说明；第 (2)问用代数代表示 EOF，再归纳出结论.【答案】 (1)由量角器测得EOF=90,因此 OEOF.由邻补角的定义，可得AOC=180 BOC=130.由 OE 平分AOC，OF 平分BOC 可得COF= BOC=25，21COE= AOC=65.21所以EOF= COF+COE=90.
4、因此 OEOF.(2)OE OF 仍成立.因为AOC=180，COF= ，21COE= (180)=90 .21所以EOF= COF+COE= +(90 )=90.由此发现:无论BOC 度数是多少，EOF 总等于 90.即邻补角的平分线互相垂直.课前热身1.两条直线互相垂直时，所得 的四个角中有_个直角.2.过一点_ _条直线与已知直线垂直.课上作业3.如图 519，OAOB 于 O，直线 CD 经过点 O，AOD=35，则BOC=_.4.如图 520，直线 AB 与 CD 相交于点 O，EOAB 于 O，则1 与2 的关系是_. 3 图 519 图 5205.如图 521，O 是直线 AB
5、上一点 OCOD，有以下两个结论 :AOC 与BOD 互为余角；AOC、COD、BOD 互为邻补角.其中说法正确的是 _(填序号).图 521 图 5226.如图 522，已知 OCAB，OE OD，则图中互余的角共有 _对.课下作业一、填空题(每题 5 分，共 50 分)7.如果 CDAB 于 D，自 CD 上任一点向 AB 作垂线，那么所画垂 线均与 CD 重合，这是因为_.8.如图 523，直线 AB、CD、EF 交于一点 O，COEF 且GOB=30，AOC=40，则COE=_.9.从钝角AOB 的顶点 O 引射线 OCOA，若ACOCOB=3 1，则AOB=_.10.如图 524，直
6、线 AB、CD 相交于 O，EOAB，OB 平分DOF ，若EOC=115，则BOF=_.COF=_.图 523 图 524二、选择题(每题 5 分，共 10 分)11.如图 525，PQR 等于 138，SQQR，TQ PQ 则SQT 等于( )A.42 B.64 C.48 D.24 4 图 525 图 52612.如图 526 所示，AB、CD 相交于点 O，OE AB，那么下列结论错误的是( )A.AOC 与COE 互为余角 B.BOD 与 COE 互为余角C.COE 与BOE 互为补角 D.AOC 与BOD 是对顶角三、解答题(每题 20 分，共 40 分)13.OC 把AOB 分成两
7、部分且有下列两个等式成立：AOC= 直角+ BOC；BOC= 平角 AOC，问31312(1)OA 与 OB 的位置关系怎样?(2)OC 是否为 AOB 的平分线?并写出判断的理由.14.如图 527，已知 AB、C D、EF 相交于点 O，EFAB，OG 为COF 的平分线，OH为DOG 的平分线.(1)若AOC COG=4 7 ，求DOF 的大小；(2)若AOC DOH=829，求COH 的大小.图 527 5 参考答案课前热身1.两条直线互相垂直时，所得 的四个角中有_个直角.答案：42.过一点_ _条直线与已知直线垂直.答案：有且只有课上作业3.如图 519，OAOB 于 O，直线 C
8、D 经过点 O，AOD=35，则BOC=_.答案：1254.如图 520，直线 AB 与 CD 相交于点 O，EOAB 于 O，则1 与2 的关系是_.图 519 图 520答案：互为余角5.如图 521，O 是直线 AB 上一点 OCOD，有以下两个结论 :AOC 与BOD 互为余角；AOC、COD、BOD 互为邻补角.其中说法正确的是 _(填序号).图 521 图 522答案： 6 6.如图 522，已知 OCAB，OE OD，则图中互余的角共有 _对.答案：4课下作业一、填空题(每题 5 分，共 50 分)7.如果 CDAB 于 D，自 CD 上任一点向 AB 作垂线，那么所画垂 线均与
9、 CD 重合，这是因为_.答案：过一点 有且只有一条直线与已知直线垂直8.如图 523，直线 AB、CD、EF 交于一点 O，COEF 且GOB=30，AOC=40，则COE=_.答案：209.从钝角AOB 的顶点 O 引射线 OCOA，若ACOCOB=3 1，则AOB=_.答案：12010.如图 524，直线 AB、CD 相交于 O，EOAB，OB 平分DOF ，若EOC=115，则BOF=_.COF=_.图 523 图 524答案：25；130二、选择题(每题 5 分，共 10 分)11.如图 525，PQR 等于 138，SQQR，TQ PQ 则SQT 等于( )A.42 B.64 C.
10、48 D.24图 525 7 答案：A12.如图 526 所示，AB、CD 相交于点 O，OE AB，那么下列结论错误的是( )A.AOC 与COE 互为余角 B.BOD 与 COE 互为余角C.COE 与BOE 互为补角 D.AOC 与BOD 是对顶角图 526答案：C三、解答题(每题 20 分，共 40 分)13.OC 把AOB 分成两部分且有下列两个等式成立：AOC= 直角+ BOC；BOC= 平角 AOC，问31312(1)OA 与 OB 的位置关系怎样?(2)OC 是否为 AOB 的平分线?并写出判断的理由.答案：(1)OAOB (2)O(C 为AOB 的平 分线，因为 BOC=AOC=45.14.如图 527，已知 AB、C D、EF 相交于点 O，EFAB，OG 为COF 的平分线，OH为DOG 的平分线.图 527(1)若AOC COG=4 7，求 DOF 的大小；(2)若AOC DOH=829，求COH 的大小.答案：(1)DOF=110 (2)COH=107.5
