1、4.4 函数的极值及其求法一、什么是极值？极值的定义 设函数 在 的某个邻域内恒有或（ ）成立，则称 是函数 的一个极大值(或极小值)极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点可见，极大值就是局部最大值，极小值就是局部最小值二、哪些点有可能是极值点？分析图形 先观察极大值点 ，函数在 的左边是单调增加的，而在 的右边变成单调减少的了其它极大值点处，同样地函数在其左边单调增加，在其右边单调减少思考：在极小值点的左右两边，函数的单调性有没有什么变化？有什么样的变化？请同学们自行思考当前讲授可见，极值点就是函数单调增减区间的交界点例 4.3.2 讨论函数 的单调区间 提示 解 (1)函数
2、的定义域为 (2) 令 ，得驻点， (无不可导的点)(3)列表分析 0 0 可见，函数在区间 和 上单调减少，在区间 上单调增加答：函数的单调减少区间为 和 ，单调增加区间为 在例 4.3.2 中， 是极小值点， 是极大值点极小值是 ，极大值是 例 4.3.3 求 的单调区间 提示 解 (1)定义域为 (2) ，令 ，得驻点 此外 是不可导的点(3)列表分析0 2+ 0 + 答： 的单调增加区间是 和 ， 的单调减少区间是 在例 4.3.3 中，函数有极大值点 ，极大值为 ；极小值点 ，极小值为 结论：对于连续函数，只有驻点和不可导的点才有可能是极值点 三、求极值的方法及步骤方法一（第一充分条
3、件：利用一阶导数） 步骤：(1)求出函数的驻点和不可导的点(2)以上述点划分定义域，列表分析，确定函数的单调区间(3)从表中找出单调性发生变化的交界点(即极值点)，并求出这些点处的函数值，即得所求极值说明：在极值点的左右，若一阶导数符号从变到，则该点为极小值点；若一阶导数符号从变到，则该点为极大值点；若一阶导数不变号，则该点不是极值点方法二（第二充分条件：利用二阶导数） 对于函数的驻点（即一阶导数为零的点），考察该点处的二阶导数如果不为零，则该点为极值点；如果为零，则无法判断在极值点处，若二阶导数值大于零，则该点为极小值点，若二阶导数值小于零，则该点为极大值点典型例题 例题 4.4.1 求 的
4、极值解：定义域为 (1) 求驻点和不可导的点 令 ，得驻点： ， ， 无不可导的点(2) 列表分析 0 1 0 + 0 + 0 -极小值无极值极大值答：极小值点为 ，极小值为 ；极大值点为 ，极大值为 特别注意： 1. 在 的左右，一阶导数不变号（均大于零），意味着函数在该点左右单调性无变化，所以该点不是极值点2. 驻点可能是极值点，但并非一定是极值点例如本题中的 是驻点但不是极值点对于不可导的点，也有类似的结论定理（极值的必要条件）：如果函数在点 处可导且取得极值，则必有 ，即 一定是驻点例题 4.4.2 求函数 的极值 提示 解 定义域为 (1)求驻点和不可导的点，令 ，得驻点： ， ， 无不可导的点(2) 列表分析 0 1+ 0 - 0 + 0 -极大值极小值极大值答：函数在 处取得极小值，极小值为 ；在 处取得极大值，极大值为 例题 4.4.3 试问 a 为何值时，函数 在 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值 提示 1 解 ，显然 在 处可导，又题设 在处取得极值，所以应有，即，亦即从而解得 提示 2 又在 处，有所以函数 在 处取得极大值，极大值为
