20相交线 平行线 垂线.doc

1、相交线 平行线 垂线（一）一、内容： 对顶角的定义，邻补角的定义，对顶角的性质； 垂线的概念，垂线的性质，点到直线的距离； 同位角、内错角、同旁内角的概念 二、技能要求： 1、会过一个已知点画已知直线的垂线。 2、会过已知直线外一点，画已知直线的平行线。 3、会度量点到直线的距离。 4、会识别同位角、内错角、同旁内角。 5、理解对顶角，邻补角概念及性质，并会利用其进行推理与计算。 三、重要的数学思想： 1、数形结合的思想：把计算、推理与图形结合起来，以形辅算，以算辅形的思想。 2、方程的思想：利用方程（组）求解几何未知量的思想。 四、主要数学能力： 1、空间想象能力：从培养自己观察几何图形的位

2、置关系的能力入手，逐步提高自己认图能力和抽象、概括几何概念的能力，从而培养自己的空间想象能力。 2、运算能力：通过几何计算，在熟练技能的基础上，培养运算能力。 3、逻辑推理能力：在初步掌握推理技能的基础上，逐步培养自己灵活运用各种推理形式的能力。 4、思维能力：在本章的学习中，要从几何语言能力的培养入手，在文字语言，符号语言，图形语言的相互转化训练中，逐步规范自己的演绎思维（因果思维），归纳思维，类比思维等模式，为发展自己的思维能力打下好的基础。 五、知识点分析： 1、关于对顶角的概念： （1） 对顶角概念的本质：两条相交直线形成的四个角中，有公共顶点，没有公共边，这样的两个角叫对顶角。 如图

3、：直线 AB、CD 相交于 O（已知） 1 和2 是对顶角，3 和4 是对顶角（对顶角定义）， 用对顶角概念的本质来判断某两个角是否是对顶角。 （2）对顶角的性质：对顶角相等。这就是说：如果这两个角是对顶角，那么这两个角就相等，这个性质反过来不成立，相等的两个角不一定是对顶角。 AOC 和BOD 是对顶角（已知）， AOD 和BOC 是对顶角（已知）， AOC=BOD（对顶角相等） AOD=BOC （对顶角相等） 注意： 既然两条直线相交可有对顶角，就可以直接说两角相等。 直线 AB 和直线 CD 相交于 O（如图）， AOC=DOB（对顶角相等）， AOD=BOC （对顶角相等）， 注意：两

4、条直线相交组成两对对顶角。 例 1、判断下列说法是否正确，并举例说明： （1）有公共顶点的两个角是对顶角。 （2）有公共顶点且一边互为反向延长线的两个角是对顶角。 （3）有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角。 （4）相等的两个角是对顶角。 （5）互为对顶角的两个角的余角相等。 （6）顶点相对的角是对顶角。 （7）有公共顶点且相等的两个角是对顶角。 （8）两条直线相交，有公共顶点的两个角是对顶角。 （9）两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角。 解：（1）错，举例如图（1） 1，2 不是对顶角。 （2）错，举例如图（2） 1，2 不是对顶角。 （3）错，举例如图（3） 1，

5、2 不是对顶角。 （4）错，举例如图（4） 图中1=2，但都不是对顶角。 对顶角是两个角处于一种特殊的位置关系，相等的角是两个角的度量关系，这两个是不同范畴的概念，对顶角的大小相等，但相等的角不一定是对顶角。 （5）错。举例如图（5），AOD=BOC 对顶角必相等，但并没有说对顶角一定是锐角，它们也可能是钝角，如图中AOD 和BOC 。钝角没有余角。所以对顶角不一定有余角。 （6）错，举例如图（6），1 和2 不是 对顶角。 （7）错，举例如图（7），1 和2 不是对顶角。 （8）错，举例如图（8），1 和2 不是对顶角。 （9）对。 例 2、如图直线 AB，CD，EF 相交于 O 点，写出图

6、中所有的对顶角。 分析： 识别图中的对顶角应从这个较复杂的图形中分解出三个基本图形（即定义图形）即直线 AB、CD 相交于 O；直线 AB，EF 相交于 O；直线 CD，EF 相交于 O。由于两条直线相交组成对顶角，所以上述图中共有 6 对对顶角。 解：图中共有 6 对对顶角，它们是：AOC 和BOD ，AOD 和BOC；AOF 和BOE，AOE 和BOF ；COF 和DOE，COE 和DOF。 2、关于垂线的概念。 （1）垂线是相交线的特殊情况，当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫另一条直线的垂线。由这点出发来判定两条直线是否垂直，反之若两直

7、线垂直那么交角都是直角。 BOC=90 0（已知）， CDAB 于 O（已知）， CDAB（垂直定义）， BOC=90 0（垂直定义）， 这是判定两条直线互相垂直的依据 这是两条直线垂直的性质 （2）垂线的性质：性质一是说垂线的存在性和唯一性，性质二是说垂线段最短。 3、关于点到直线的距离的概念：由垂线段最短这个性质得到“点到直线的距离”的概念。这个概念与“点到点的距离”一样，是一个数量概念，指的是垂线段的长。（即直线外一点到垂足的距离） 例 3、判断下列说法是否正确，若错误请说明理由： （1）画点到直线 L 的距离，（2）作出 A，B 两点距离。 （3）过直线 AB 外一点 C，画 AB 的

8、垂线，并使它过 AB 上一点 D。 （4）过直线 AB 上一点 C，画 AB 的垂线，并使它过 AB 外一点 D。 解：（1）错，因为从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。点到直线的距离是垂线段的长度，所以是不能画的，只能度量。 （2）错，因为连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离，所以两点的距离也要经过度量得到。 （3）错，因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，因此过 C 点画 AB 的垂线不一定能过 AB 上的 D 点，除非 D 点正好是垂足。 （4）错， 与（3）题理由相同，过 C 点画 AB 的垂线不一定能过 AB 外的一点 D。 例 4、如图按要求作：（1）过

9、 E 点作直线 CD 的垂线。 （2）量出 F 点到直线 AB 的距离。 （3）量出 EF 两点的距离。 解：（1）过 E 作 ENCD 于 N，（注意 EN 要画成垂线，不要画成线段 EN）。 （2）先做出线段 FMAB 于 M，再量出 FM 的长为约 1.2cm，F 点到直线 AB 的距离约为1.2cm。 （3）先连结 EF，再量出线段 EF 的长约为 1.9cm, E、F 两点的距离约为 1.9cm。（不要画垂线） 4、 三线八角的概念：两条直线被第三条直线所截，按其不同的位置构成了同位角、内错角、同旁内角，关键在于辨别哪是第三条截线。 如图，直线 CD、EF 被 AB 所截得的， 同位

10、角：1 和5；2 和6；4 和8；3 和7（共 4 对）。 内错角：4 和6，3 和5（共 2 对）。 同旁内角：4 和5，3 和6（共 2 对）。 通过细心观察进一步归纳概括这三种角的异同。 相同点：每对同位角，内错角或同旁内角都以三条直线为边。 不同点：顶点不同。 如图 甲中直线 AB、CD 被 EF 所截时，将所有的同位角单独移出将是图乙中的形状，每对同位角均有一边落在第三条直线 EF 上，其他两边分别在直线 AB 和直线 CD 上。 图乙：（四个图形多么象字母“F”字。）图丙： 将内错角移出如图丙，（二个图形多么象字母“Z”字）图丁：将同旁内角移出如图丁，（二个图形可想象为字母“U”字

11、） 例 5、如图（1） 1 和2 是哪两条直线被哪条直线所截得的什么角，（2）AB、CD 被 BD所截的内错角是哪些角。 分析：（1）为了排除干扰，可将1 和2 分解出来，如图甲。不难看出1 和2 是由直线AD，BC 被直线 AC 所截而成的内错角。 （2）也象解（1）一样，将直线 AB、CD 和 BD 这三条直线分解出来，观察分解图乙，可迅速准确做出回答。AB、CD 被 BD 所截的内错角是3 和4。 较复杂的图形中为了观察方便，可将有关的三条直线用色笔描出来，还可把有关的角画上记号，使图形清晰可辨。开始也可以从复杂图形中分解出基本图形，在基本图形上辨认，逐步形成头脑中的想象能力，这是迅速准

12、确观察复杂图形的重要方法。六、简化的“三段论证模式”。 几何命题的推理证明，采用的是 3 段论式，即大前提、小前提、结论。例如： 对顶角相等（大前提）， 1 与2 是对顶角（小前提）， 1=2（结论）， 大前提：一般性的判断。小前提：是与大前提相关联的特殊判断。二个判断做出的新的判断是结论。 在几何命题论证的过程中，则把大前提做为推证的依据，填注在结论后面的括号内，以说明这个结论是根据大前提得来的。一个命题的推证过程要由几个这样的 3 段式构成。 1 和2 是对顶角（已知）， 1=2（对顶角相等）， 1+2=90 0（已知） 又2+3=90 0（已知） (小前提) 1=3（同角的余角相等） 结

13、论 大前提测试选择题1如图， AB 交 CD 于 O，OE 是顶点为 O 的一条射线，图中的对顶角和邻补角各有（ ）组。 （A）1 组，3 组 （B）2 组，4 组 （C）2 组，6 组 （D）3 组，8 组 2 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，且AOD+BOC=100 0. 则AOC 是（ ）度 （A）100 0 （B）90 0 （C）150 0 （D）130 0 3如图， 直线 AB 与直线 CD 相交于 O，OE 平分AOD，BOC=BOD30 0，则COE 的度数是（ ） （A）110 0 （B）142.5 0 （C）150 0 （D）75 0 4已知，在同一平面内，过点 O 作

14、 ONAB，又过点 O 作 OMAB，所以 OM 与 ON 重合，其理由是（ ） （A）过两点只有一条直线 （B）经过一点只有一条直线垂直于已知直线 （C）过一点只能作一条垂线 （D）垂线段最短5直线 AB，CD 相交于点 O，OEAB 于 O，且DOE=4COE，则AOD 的度数是（ ） （A）120 0 （B）150 0 （C）98 0 （D）126 0 答案与解析答案：1、C 2、D 3、B 4、B 5、D解析： 1 答案：（C） 解析：判断对顶角和邻补角的依据是它们的定义，此外在判断的时候也有规律可循，如判断在直线 AB 上的邻补角时可以这样作，先在看角 AOB 被 OE 所分成的两个

15、角，它们是邻补角，被射线 OC 也分成了两个角也是邻补角。依据这样的方法判断，可以保证不重不漏，共有 6 组邻补角。 2 答案：（D） 解析：由对顶角相等可得AOD，BOC 都是 500，再由邻补角的定义可得AOC 的度数是1300 3 答案：（B） 解析：设BOC 为 x0,BOD 为 y0 ，由条件得 解得 COE=180 0 750=142.50 4 答案：（B） 5 答案（D） 解析：由已知条件可先得到 DOE+COE=180 0， 4COE+COE=180 0 5COE=180 0 COE=36 0 COB=36 0+900=1260 AOD=126 0中考解析相交线、平行线 相交线

16、、对顶角考点扫描: 1理解对顶角、邻补角的概念； 2理解对顶角的性质及其推证过程，会用它进行推理和计算 名师精讲: 1对顶角和邻补角的概念 两条直线相交所得的四个角中，有公共顶点，没有公共边的两个角叫做对顶角；或者说两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫做对顶角；还可以说成一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角 两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点，和一条公共边的两个角叫做邻补角邻补角也可以看成是一条直线与端点在这条直线上的一条射线组成的两个角 2对顶角、邻补角的共同特点 对顶角和邻补角都是具有特殊位置和数量关系的角，是两条直线相交得到的对顶角“有公共顶点，

17、没有公共边”，两个角的两条边分别互为反向延长线邻补角“有公共顶点，和一条公共边”，另一条边互为反向延长线 3对顶角和邻补角的性质 对顶角相等；邻补角互补 注意：邻补角与补角是两个不同的概念，邻补角不但有数量上的关系，还有位置上的关系，互补的两个角只有数量关系，没有位置关系；两个角互为邻补角，这两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角；一个角的补角可以有很多个，但一个角的邻补角有且只有两个 中考典例: 1（浙江省）如图直线 AB 与 CD 交于 O 点，若AOD120，则COB 的补角是_考点：对顶角、补角 评析：该题虽然求的是COB 的补角的大小，其实是考查对顶角的性质，即对顶角相等，根

18、据对顶角定义，可知COB 与AOD 是对顶角，所以COB=120 ，则它的补角为 60 真题专练： 1.（南通市）如图已知直线 L1与 L2相交，1402 的度数是 2（河北省）如图，AB、CD 相交于点 O，OB 平分DOE，若DOE=60，则AOC 的度数是 答案：1、140； 2、30（提示：DOE=60 又 OB 平分DOE, BOD=30，由对顶角性质可知AOC=30）垂 线考点扫描: 1掌握垂线、垂线段等概念，会用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线； 2了解斜线、斜线段等概念，理解垂线段最短的性质； 3掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离 名师精讲: 1垂线的定义及其

19、性质 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足垂直用符号“”表示 两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况线段、射线之间的垂直关系，是指它们所在的直线互相垂直画线段的垂线时，垂足可以在线段上，也可以在线段的延长线上 垂线的性质：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成“垂线段最短” 垂线和垂线段是两个不同的概念，前者是直线，后者是线段另外，空间里的垂直关系有：直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直 2点到直线的距离 从直线外一点到这条直

20、线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离 注意：点到直线的距离是指垂线段的长度，它是一个数量，不能说“垂线段是距离”、“作出点到直线的距离”，这些都是常见的错误同位角、内错角、同旁内角考点扫描: 会识别同位角、内错角和同旁内角 名师精讲: 同位角、内错角、同旁内角是指两条直线被第三条直线所截得到的八个角中，有一条公共边，但没有公共顶点的两个角之间的特殊位置关系 两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角（两个角分别在两条直线的同一侧，并且在第三条直线的同旁叫做同位角）两个角都在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两旁，这样的一对角叫做内错角；两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这

21、样的一对角叫做同旁内角 要正确地找出上述三类角，首先要找出构成这些角的“三线”，分清哪两条直线是被截直线，哪条是截线在截线的同旁找同位角、同旁内角；在截线的两旁找内错角，它们都是成对出现的，在图形比较复杂时，对于给定的两个角，两个角的公共边所在直线是截线，另外两边所在直线是被截的二直线 中考典例： 1（西藏）如图ADE 与DEC 是（ ） A、同位角 B、对顶角 C、内错角 D、同旁内角考点：同位角、内错角、同旁内角 评析：ADE 与DEC 的公共边是 DE，DE 所在直线是第三条直线，另两角边 AD、EC 所在直线是被截的两条直线ADE 与DEC 位于被截二直线之间，截线两旁因此ADE 与D

22、EC 是内错角应选 C 2（无锡市）根据题意完成下列填写，如图 L1与 L2是同一平面内的两条相交直线，它们有 1 个交点，如果在这个平面内再画第三条直线 L3，那么这三条直线最多可有_个交点；如果在平面内再画第四条直线 L4，那么这四条线段最多可有_个交点；由此我们可以猜想：在同一平面内 6 条直线最多可有_个交点，n（n 为大于 1 的整数）条直线最多可有_个交点（用含 n 的代数式表示）考点：两直线交点，探索规律的能力，用代数式表达规律的能力 评析：该题是寻找规律的探索性试题能够考查学生的空间想象力和探索规律的能力该题新颖别致，是今后的命题方向两条直线相交，最多有一个交点；再画第三条直线 l3，与前面的两条都相交，可增加 2 个交点，即三条直线两两相交，最多有 1+2 个交点再画第四条直线 l4，与前面的三条都相交，可增加 3 个交点，即四条直线两两相交，最多有 1+2+3 个交点由此推断，6 条直线相交，最多有 1+2+3+4+5=15 个交点，n 条直线相交，最多有1+2+3+(n-1)= 个交点