1、坐标平移教案教学目标1使学生理解坐标轴平移的意义和作用，掌握平移公式的导出过程2指导学生运用运动变换的思想、类比的思想正确理解新旧坐标之间的关系在此基础上掌握移轴公式的应用，学会用待定系数法及配方法化简曲线的方程3培养学生勇于探索及严谨的思维方式，大胆创新、勇于进取的思维品质教学重点与难点1用运动变换的思想导出平移公式2正确利用平移公式化简方程3对平移公式的正确理解是本节的难点教学过程一、问题的提出(创设情境)生：(很容易得出)顶点 A1(-4，0)，A 2(4，0)；B 1(0，-3)，B 2(0，3)B1(0，-3)，B 2(0，3)吗？(学生讨论)师：应该如何求？生：转化为中心在坐标原点
2、的椭圆标准方程师：怎样转化？此时学生讨论，得出两种方案一是平移坐标轴，将坐标原点移到椭圆的中心二是移图，将椭圆的中心移到坐标原点；而椭圆长轴短轴的长度不变师：两种方法的目的都是要将椭圆方程化为最简单的标准方程我们知道对于同一个点，由于选取的坐标系不同，点的坐标也不同(计算机演示)在xOy 坐标系下，点 A(-2，3)，在 xOy坐标系下，点 A(-2，0)(如图2-61)师：能否让 A 点的坐标再简单些？此时学生很自然的想到将 y轴再移至过点 A 且垂直于 x轴的位置上，此时点 A(0，0)，(如图 2-62)，这说明将直角坐标系经过平移变换得到一个适当的直角坐标系后，可以使点的坐标简化生：将
3、坐标原点移至椭圆的中心 O(-2，3)，过 O分别作 x 轴，y 轴的平行线，得到 x轴，y轴得到新坐标系“xOy(计算机演示坐标轴的平移过程，学生一目了然)(学生说，教师板书)点 O的坐标 椭圆的方程师：把一个坐标系经过平移变换转化为适当的直角坐标系，可以改变曲线的方程，而保持曲线的形状不变化简曲线的方程后，便于研究曲线的性质师：(指出)移图的问题的实质是移轴的反问题，我们统一研究平移坐标轴问题二、坐标轴平移的定义师：坐标轴平移时，坐标原点，坐标轴方向及单位长度是否都改变？(可用计算机再一次演示)生：只改变坐标原点的位置，坐标轴的方向和长度单位均不改变师：如何给坐标轴平移下定义？学生自己归纳
4、坐标轴平移定义，教师给予修改完善，最后师生共同得出定义(计算机打出或投影以下定义)坐标轴的方向和单位长度都不改变，只改变坐标原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴平移，简称移轴三、寻觅、探索移轴公式师：从上例我们看到，坐标轴平移前后，对于同一个椭圆，在两个不同坐标系下的方程不同(计算机演示坐标轴的平移过程)(让学生看到合理地选择坐标系，可得到结构完美而简单的标准方程)师：请同学们观察方程的两种不同形式，什么变了？什么没变？生：椭圆中心的坐标变了，椭圆的长轴、短轴的长度没变，也就是椭圆的形状没变师：(引导学生)我们知道在 xOy 坐标系下，中心坐标(-2，3)，在xOy坐标系下，中心坐标(0，0
5、)同学们能否得出中心的新旧坐标间的关系？生：通过观察两个坐标系下的方程知，在 xOy 坐标系下椭圆方程为师：观察得很好，从中我们可以得出椭圆的中心在原坐标系和在新师：显然中心可在平面内的任意位置：如何得出一般情况？(如图 2-63，计算机演示)设 O在原坐标系 xOy 中的坐标为(h，k)，以 O为新坐标系原点平移坐标轴，建立新坐标系 xOy，平面内任意一点 M 在原坐标系中的坐标为(x，y)，在新坐标系中的坐标为(x，y)，请同学们指出点 M 新旧坐标间的关系说明：问题提出后，学生们便开始讨论，请学生画图，并写出推导过程，最后由老师总结归纳出推理全过程设点 M 到 x 轴、y 轴的垂线的垂足
6、分别是 M1、M 2，到 x轴、y(师生共同小结推导公式的过程)推导公式分两步进行第一步，用有向线段的数量表示 x，y，h，k，x和 y第二步，由图可推导出(请学生自己总结出“记公式”的方法)随后投影打出练习 1新原点 O的坐标 点 P 在 xOy 坐标系中的坐标 点 P 在 xOy坐标系中坐标O(4，5) (3，-6) (_，_)O( ，-1)(_，_)(- ，0)O(_，_) (3，-2) (-2，1)说明：可请一个学生给出数，由另一个学生求解，从而引起兴趣四、实例练习，掌握方法1应用平移公式化简方程由于点在不同坐标系中其坐标不同，所以用点组成的曲线在不同的坐标系中其方程也不同当新原点 O
7、选得适当时，平移坐标轴可将曲线方程化简例 1 平移坐标轴，把原点移到 O(2，-1)，求下列曲线关于新坐标系的方程，并且画出新坐标轴和曲线分析 因为坐标系的改变，曲线上每一点的坐标都相应地改变所以，曲线的方程也要改变设曲线上任意一点的新坐标为(x，y)，说明师生共同分析解题思路后，让学生自己完成解题的全过程2利用坐标轴的平移化简二元二次方程师：我们知道，由于坐标系的不同，方程的形式也不同，选择得当可使方程简化，选择不当还可能使方程更繁，因此我们研究如何选择新坐标系来化简方程例 2 平移坐标轴化简方程 x2-y2+8x-14y-133=0，并画出新坐标系和方程的曲线师：利用坐标轴平移达到化简方程
8、的目的最重要的是应该确定什么？生：新坐标原点 O的位置师：此题中新坐标原点不知，正是我们要找的，此时可利用什么关系？生：可利用移轴公式 x=x+h，yy+k问：要将原方程化简，应该不含哪一项？生：不含一次项，可达到将原方程化简的目的师：此时应该怎么办？生：(自然得出)令 2h+8=0，2k+14=0，得出 h=-4，k=-7学生们很高兴，这正是我们要找的新原点 O在原坐标系中的坐标 O(-4，-7)师：非常好！我们只须将 h=-4，k=-7 代入方程得到 x 2-y 2=100，多漂亮的一个方程！生：是等轴双曲线师：可见当我们化简方程后，在新坐标系下，方程的本来面目就显现出来了师：回顾化简方程
9、的过程，我们用的是什么数学方法？生：待定系数法(请学生整理过程，并画出新坐标系和方程的曲线)师：对上例题后反思，我们由待定系数法求出 h=-4，k=-7，此时师：很好，我们可以整理验证一下x2+8x+16-y2-14-49=100，即 x2-y2+8x-14y-133=0得到了原方程，这给我们一个启发生：若将原方程配方，化成配方后的标准方程(逆向变化)，然后再平移坐标轴化简方程同学们一致赞同，请学生们将上述过程步步逆推，得出结论然后再出一题让学生亲自做，体会妙处练习：化简方程 9x2+36x+16y2-96y+36=0解 将方程配方 9(x2+4x)+16(y2-6y)+36=09(x+2)2
10、+16(y-3)2=169师：这种化简方程的方法叫配方法请同学们比较这两种方法的相同点，不同点生：两种方法的目的都是要化简方程，待定系数法是先设移轴公式师：由上例说明对于缺 xy 项的二元二次方程 Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C 不同时为零)，利用坐标轴平移，可使新方程没有一次项(或没有一个一次项和常数项)，从而化成圆锥曲线的标准方程从此结果我们清楚地看到，经过平移变换后，曲线上点的坐标变了，而曲线的形状没变例 3 证明二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图形是一条抛物线师：如何证？思路是什么？生：只须将原方程化简，若得到抛物线的标准方程就可以证明它是抛物线师：思路正确，用什么
11、方法化简？生：可以用配方法师：观察到方程中缺 xy 和 y2项，可将原方程按 x 配方(下面由学生完成)为顶点，对称轴平行于 y 轴的抛物线当 a0 时，开口向上，当 a0 时，开口向下3巩固练习(投影)(1)坐标轴平移后，使点 P(1，1)的坐标变为(2，-1)，则原坐标系的原点的新坐标是 A(-1，2) B(1，-2)C(3，0)D(0，3)(2)平移坐标轴，把原点移到 O(2，-3)，使 M(x，y)变成 M(-3，1)，则M 点在原坐标系中的坐标为 A(-1，-2)B(1，2)C(-5，4)D(5，-4)(3)平移坐标轴，把原点移到 O(-3，-2)，则 P(2，-3)的新坐标是 A(
12、-5，1) B(5，1)C(5，-1)D(4，0)(4)经过平移变换 x2-y2+28x-14y+47=0 可化简为_说明可由学生自编自解题目五、小结(师生共同完成)1本课推导出移轴公式设 O在原坐标系中的坐标为(h，k)以 O为原点平移坐标轴，建立新坐标系 xOy设平面内任意一点 M 在原坐标系中的坐标为(x，y)，在新坐标系中的坐标为(x，y)，2利用坐标轴的平移化简不含 xy 项的二元二次方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C 不同时为零)的方法有两种，一是待定系数法，二是配方法六、作业第 105 页练习第 105 页练习九 1，2，3设计说明(一)通过教学使学生理解坐标轴平移的
13、意义与作用由于同一个点，在不同的坐标系中有不同的坐标同一条曲线在不同的坐标系中有不同的方程因此可以不改变曲线的位置、形状和大小而只改变坐标系来化简曲线方程通过坐标变换把原坐标系下较复杂的二元二次方程转化为新坐标系下的标准方程，便于研究它的几何性质(二)在教学方式上采用“助探式”教学法在教学活动中，注意揭示和反映教学发展过程，尽可能地介绍数学概念的形成背景，产生原因及新概念的作用在课堂教学中要充分体现教师的主导作用及学生的主体地位引导学生积极参与，选择适当的切入点，使全体学生都参与到教学全过程中来，既教给学生数学知识，又教会学生思考，并且在整个教学过程中要渗透、使用运动变换的数学思想在推导平移公式时，首先由具体的椭圆方程出发，逐步引导学生由特殊到一般，去寻觅、探索移轴公式，再让学生感受公式的作用及对研究问题的便利让学生充分参与思考，参与创造，教师要给学生创设参与的情境如由待定系数法化简方程后，引导学生由逆向思维的过程而自然得出配方法化简方程
