1、精 华 名 师 辅 导教学内容：平行线等分线段定理【基础知识精讲】本节内容是平行线等分线段定理及其两个推论，两个推论实际上是定理的特例，也是重要的定理.1.平行线等分线段定理.一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.定理的证明：借助梯形常见的辅助线，把梯形分成平行四边形和三角形，用平行四边形，三角形的相关知识进行证明(见教材 P180页的证明过程).定理的变式图形：(图 4.10-1)2.平行线等分线段两个定理推论推论 1 经过梯形一腰中点的直线必平分另一腰推论 2 经过三角形一边中点且与另一边平行的直线平分第三边3.定理及推论的应用任意等分线段通过中点的证明，
2、从而转换为梯形或三角形的中位线进行解题，同时作为三角形、梯形中位线定理证明的根据.【重点难点解析】重点：平行线等分线段定理及推论难点：平行线等分线段定理的证明及变式图形的理解例 1 已知线段 AB，求作 AB 的五等分点.分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线 AM，在 AM 上任意截取 5 条相等线段，连结最后一等分的后端点 A5与点 B，再过其他分点作 BA5的平行线，分别交 AB于 C、D、E、F，则 AB 就被这些平行线分成五等分了.作法：(1)如图 4.10-2 作射线 AM；(2)在射线 AM 上截取 AA1A 1A2A 2A2A 3A4A 4A5(3)连结 A5B，
3、分别过 A1、A 2、A 3、A 4作 A5B 的平行线 A1C、A 2D、A 3E、A 4F，分别交 AB于 C、D、E、F，那么 C、D、E、F 就是所求作的线段 AB 的五等分点.例 2 如图 4.10-3， ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，OEAB 交 BC 于E，AD12，求 BE 的长.分析：本题重在考查应用平行线等分线段定理推论解题的能力.解：ABCD 是平行四边形，OAOC，BCADABDC，OEABDCOEAB又AD12BEEC BC AD621例 3 求证：直角梯形斜腰中点到直角腰两端点的距离相等.已知：如图 4.10-4，梯形 ABCD 中，ADBC，ABB
4、C，DEEC.求证 EAEB分析 要证 EAEB，实际上只要证 E 在 AB 的垂直平分线上.故过 E 作 EMBC.由ABC90，得AME90.再由平行线等分线段定理的推论可知 AMMB.这样点 E 在 AB的垂直平分线上.问题得证.证明：作 EMBC，交 AB 于 M.ABBC，AMEABC90在梯形 ABCD 中DEEC，EMBC，AMMBE 在 AB 的垂直平分线上EAEB【难题巧解点拨】例 1 如图 4.10-6，已知ABC，求作 BC 上两点 D、E，使 SADB S ADE S AEC分析 根据等底同高的几个三角形面积相等只需在 BC 上取三等分点 D、E，将等积问题转换为等分线
5、段问题.作法：(1)作射线 BN(2)在 BN 上以任意长顺次截取 BFGH(3)连结 CH(4)过 G、F 点分别作 CH 的平行线 GE、FD，分别交 BC 于 E、D则：D、E 为 BC 的两个三等分点(5)连 AD、AE，得ABD、ADE、AEC证明：略注意点：线段的等分点只能运用等分线段定理采用尺规作图，不能用刻度尺来等分线段.例 2 如果把矩形 ABCD 线对折，设折痕为 GH，再把点 A 叠在折痕线，折痕为 BE，得RtABE，交折痕 GH 于 P，延长 EA 交 BC 于 F，则BEF 为等边三角形(图 4.10-7)证明：G、H 为矩形 ABCD 的边 AB、CD 的中点四边
6、形 AGHD、GBCH 为矩形 ADGHBCP、A 分别为 BE、EF 的中点RtABERtABEAEAB90 AEBBEFPAPE BF BA 为 EF 的垂直平分线21BEFPAE BEBFGHAD PAEDEFAEBBEFDEFAEB+BEF+DEF180BEF60 BEBFBEF 为正三角形【命题趋势分析】本节中考热点为平行线等分线段定理的运用.【典型热点考题】例 1 如图 4.10-5，ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，BE 的延长线交AC 于 F，求证 AF CF.2分析 本题查考平行线等分线段及推论的应用能力.过 D 点作 DGBF 交 AC 于 G
7、是常规辅助线、通过它可将要求的问题转换成平行线等分线段定理及推论的运用.证明：过 D 作 DGBF 交 AC 于 GEFDG，AEDEAFFG又BFDG BDDCFGGCAFFGGC即：AF CF21【同步达纲练习】一、填空题1.在ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，若 DEAC 交 AB 于 E，DFAB 交 AC 于 F，则四边形 AEDF 是 .2.在梯形 ABCD 中，ADBC，E 为 DC 中点，EFAD 交 AB 于 F，则 SAEF S BEF .3.如果一组平行线，在一条线段上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也 .4.在ABC 中，CRt，D 为 AB 的中点，D
8、EAC 交 AC 于 E，则 CE AE.5.已知三条直线 ABCDEF，它们之间的距离分别为 2cm，作一直线 MN 分别与三条平行线交于 30，且与 AB、CD、EF 分别交于 M、N、P，则 MN cm，NP cm.6.如图 4.10-8 所示，F 为 AB 的中点，FGBC，EGCD，则 AG ，AE .7.如图 4.10-9，直线l 过梯形 ABCD 一腰 AB 的中点 E，且平行于 BC，l 与BD，AC、CD 分别交于 F、G、H，那么，BF ，CG ，DH .图 4.10-8 图 4.10-98.直角梯形 ABCD 中，ADBC，A90，EF 是 AB 的垂直平分线，EF 交
9、AB 于 E，交CD 于 F，则 DF .二、选择题1.如图 4.10-10，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于 O，OEAB 交 BC 于 E，则 SBOES ABCD等于( )A.14 B.18 C.116 D.1122.在ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，DEAB 交 AC 于 E，则 DE 等于( )A.BD B.DC C. AC D. AD21213.在 ABCD 中，AD12，两对角线相交于 O，E 是 OC 中点，EFAB 交 BC 于 F，则 CF的长为( )A.3 B.4 C.5 D.64.如图 4.10-11，ABCDEF，AOODDF，OE6，则 BE(
10、)A.9 B.10 C.11 D.125.AD 是ABC 的高，DC BD，M、N 在 AB 上，且 AMMNNB，MEBC 于 E，NFBC21于 F，则 FC( )A. BC B. BD C. BC D. BD32343436.在梯形 ABCD 中，ABDC，DCAB12，E 是 AD 的中点，EFAB 交 BC 于 F，则EFAB( )A. B. C. D.13121437.以线段 a=16,b=13,c=6 为边作梯形，其中 a，c 为梯形两底，这样的梯形( )A.有一个 B.有二个 C.有三个 D.不存在三、解答题1.将已知线段 AB 分成 123 三部分(写出作法).2.如图 4.
11、10-12，直线 x，y 互相垂直，垂足是 O，作出线段 AB 关于直线 x 的对称图形A1B1，关于直线 y 的对称图形 A2B2，证明 A1B1和 A2B2关于 O 点成中心对称.3.如图 4.10-13，已知：在梯形 ABCD 中，ADBC，两腰 AB、DC 分别与两对角线AC、BD 垂直，M、N 分别是梯形两底 AD、BC 的中点，求证：MNBC.4.如图 4.10-14，AD 是ABC 的平分线，E 为 BC 的中点，EFAB 交 AD 于 F，CF 的延长线交 AB 于 G.求证：AGAC5.如图 4.10-15，M、N 分别为 ABCD 中 AB、CD 的中点，求证：BEEFFD
12、.【素质优化训练】如图 4.10-16，直线 l 交线段 AB 于 P，ACl，BDl，垂足分别为 C、D，M 是 AB 的中点，求证：MCMD.【生活实际运用】如图 4.10-17，先把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，恢复原状后，再把点 B 折叠到折痕MN 上(如图)设 EB 的延长线交 AD 于 F.试判断AEF 的形状，并说明理由.【知识探究学习】如图 4.10-18，梯形 ABCD 中，ABCD，BCAB，A60，ABAD，M 是 AB 的中点，则MBC 是等边三角形吗?为什么?参考答案一、1.菱形 2.11 3.相等 4. 5.4 4 6.CG DE 7.DF AG HC 8.CF二、1.B 2.C 3.A 4.A 5.A 6.C 7.D三、1.略 2.略 3.提示：连结 AN、DN，根据直角三角形性质得 ANDN，由等腰三角形三线合一定理得 MNAD 4.E 为 BC 中点，F 为 CG 中点，AGAC 5.证ANCM，DFFE，FEEB【素质优化训练】 提示：过 M 作 MNl，垂足为 N.【生活实际运用】 13，又 PNND，23，而AEBABE，1230，AEB60，又12，ABEF，AEAF.【知识探究学习】 提示：过 M 作 MNAB 交 BC 于 N.
