1、4.5 双曲面一、单叶双曲面1. 在直角坐标系下, 由方程 1所表示的曲面叫做单叶双曲面, 该方程叫做单叶双曲面的标准方程, 其中 a, b, c 是任意的正常数.2. 单叶双曲面的图形(如图 4-5).(1) 曲面的对称性：单叶双曲面关于三坐标平面、三坐标轴以及坐标原点都对称. 单叶双曲面的对称平面、对称轴与对称中心, 依次叫做单叶双曲面的主平面、主轴与中心.(2) 曲面与坐标轴的交点：单叶双曲面与 z 轴不交, 与 x 轴与 y 轴分别交于点( a, 0, 0)与(0, b, 0), 这四点叫做单叶双曲面的顶点.(3) 被坐标面截得的曲线：单叶双曲面被三坐标面所截得的曲线方程分别为 为 x
2、Oy 坐标面上的腰椭圆, ,分别为 xOz, yOz 坐标面上的双曲线, 这两条双曲线的虚轴都是 z 轴, 虚轴的长都等于 2c.(4) 被坐标面的平行平面所截得的曲线：用平行于 xOy 坐标面的平面 z h 来截割, 得截线方程为单叶双曲面可看成是由椭圆族所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在平面与 xOy 坐标面平行, 两双顶点分别在双曲线、双曲线上.如果用平行于 xOz 坐标面的平面 y k 来截割, 得截线方程为,此曲线当| k|b 时为实轴平行于 z 轴,虚轴平行于 x 轴的双曲线；| k| b 时为两对相交于(0, b, 0)的直线.用平行于 yOz 坐标面的平面来截割, 情况类似.
3、若 a b, 方程即为旋转单叶双曲面.3. 单叶双曲面的参数方程为二、双叶双曲面1. 在直角坐标系下, 由方程 1所表示的图形, 叫做双叶双曲面,该方程叫做双叶双曲面的标准方程, 其中 a, b, c 为正常数.2. 双叶双曲面的图形(如图 4-6):(1) 曲面的对称性：双叶双曲面关于三坐标面、三坐标轴以及坐标原点都对称. 双叶双曲面的对称平面、对称轴与对称中心, 依次叫做双叶双曲面的主平面、主轴与中心.(2) 曲面与坐标轴的交点：双叶双曲面与 x 轴、 y 轴都不相交, 只与 z 轴相交于两点(0, 0,c), 这两点叫做双叶双曲面的顶点(3) 曲面的存在范围：双叶双曲面在两平行平面 z
4、c 之间没有曲面上的点, 曲面分成两叶, 一叶上点的坐标都有 z c, 另一叶上点的坐标都有 z c.(4) 被坐标面所截得的曲线：坐标平面 z0 与曲面不相交, 而坐标面 y0 与 x0 分别截曲面得截线为双曲线 它的实轴都是 z 轴, 实轴长都等于 2c.(5) 被坐标面的平行平面所截得的曲线: 用平行于 xOy 坐标面的平面 z h ( |h| c ) 来截割得截线方程为当 |h| c 时, 截得的图形为一点；当 |h|c 时, 截线为椭圆. 双叶双曲面可看成是由椭圆族所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在平面与 xOy 坐标面平行, 两双顶点分别在双曲线,上.用平行于 x 坐标面或 yO
5、z 坐标面的平面来截割双叶双曲面都得到双曲线.若 a b, 方程即为旋转双叶双曲面.3. 双叶双曲面参数方程为4理解以下结论：设有标准形式Px2+Qy2+Rz21, PQR 0.则有 (1) P, Q, R 均正表示椭球面；(2) P, Q, R 两正一负表示单叶双曲面；(3) P, Q, R 两负一正表示双叶双曲面；(4) P, Q, R 均负表示虚椭球面.它们都有中心, 统称为有心二次曲面.例 1. 给定方程 1 (ABC0), 试问当 取异于 A, B, C 的各种数值时, 它表示怎样的曲面?解：由思考题 2 的结论, 有(1) 当 A 时, P, Q, R 全负, 无图形或表示虚椭球面
6、.例 2. 试求单叶双曲面 + 1 与平面 x2 z30 的交线对 xOy 平面的射影柱面.解：单叶双曲面与平面的交线为从中消去 z 得所求的射影柱面方程为(x12) 220 y260,即 1.例 3. 设动点到(4, 0, 0)的距离等于这点到平面 x1 的距离的两倍,求这动点的轨迹.解：设动点为 P(x, y, z), 依题意有,化简得 1.它是以 x 轴为对称轴的旋转双叶双曲面.例 4. 设直线 l 与 m 为互不垂直的两条异面直线, C 是 l 与 m 公垂线的中点, A、 B 两点分别在直线 l、 m 上滑动, 且 ACB90, 试证直线 AB 的轨迹是一个单叶双曲面.证明：取两异面
7、直线 l、 m 的公垂线为 z 轴, 公垂线的中点 C 为坐标原点, x 轴与两异面直线成等角, 并设两异面直线间的距离为 2a,夹角为 2 90, 则有l: m: A(t1 cos, t1 sin, a), B(t2 cos, t2 sin, a). 由于 ,故有 t1t2cos2 t1t2sin2 a20,t1t2cos2 a2,因为 2 90, 于是 cos2 0, 从而t1t2 . 又直线 AB 方程为由,两式消去参数 u, t1, t2得 AB 的轨迹方程为 1.它是一个单叶双曲面.例 5. 用一族平行平面 z h (h 为参数)截割双叶双曲面 1 得一族双曲线, 求这些双曲线焦点的轨迹.解：所截得的双曲线族方程为,即 所以它的焦点坐标为y=0,z=h.消去参数 h 得焦点的轨迹方程为这是一条在 xOz 坐标面上的双曲线, 其实轴为 x 轴, 虚轴为 z 轴.作业题：1. 已知双曲线的方程为 1, y0, 设有长短轴之比是常数的一族椭圆, 它们的中心在 z 轴上, 它们所在的平面与 z 轴垂直,它们长轴的两个端点在给定的双曲线上, 试求这族椭圆所形成的轨迹.2. 求准线为 且母线平行于 z 轴的柱面方程.3. 给定方程+ + 1 ( abc0).试问 k 取何值 (异于 a2, b2, c2)时, 这方程表示椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面？
