1、数学竞赛中客观型试题的求解策略,解题策略:,1、莫道猜字不禁风，合理预测建奇功 无中生有计无穷，合情猜测理相容,2、有穷无穷紧相连，静点美名天下传,3、代数问题几何攻，数形结合两相通,4、强攻无计弱开路，转换视觉目标注,5、特殊探路把门敲，化繁为简层次高,6、结构类型变换多，辅元引入唱赞歌,7、概念问题不一般，关键环节定义牵,策略一 合理预测法；依据题目中的信息特征，通过对试题条件及结论的深刻分析，先进行初步预测结果，再逐步验证，是解决问题的常用思路。,信息特征：数量特征、结构特征、关系特征、 图形特征、命题特征。,1、莫道猜字不禁风，合理预测建奇功 无中生有计无穷，合情猜测理相容,哲学依据,
2、道德经之道经第一章 天地之始 道可道，非常道。名可名，非常名。 无，名天地之始也。有，名万物之母。 故常无，欲以观其妙。常有，欲以观其徼。此两者同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。,反者，道之动。弱者，道之用。 天下万物生于有，有生于无。,道德经之道经第四十章 虚中生有,译文：发展是道之运动的内在动力，坚守柔弱是道的运动法则的具体运用。天下万物是从有中产生，有又从无中产生。,无中生有是指依据题目的信息特征，通过对试题条件、结论的深刻分析，先预测其结论具有某种特殊性，再根据研究对象的特征，逐步论证，逐步调整。“无”与“有”是相互矛盾而又相互依存的，“有”蕴涵在“无”中，“无”可以创造出“有
3、”。 “无”孕育着不见踪影又无法寻觅，从整体到分散，再由分散聚为整体，包含一切变化。,无中生有合情预测,合理预测法具有探索性、归纳性、仿造性、审美性、类比性、构造性等特点。,评注 牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。 合理的思维策略是解题成功的前提，根据研究对象的特征，创造性做出“言之有理”的预测结果，然后再进行“持之有据”的论证。在探索解法的过程中发现了矛盾，就及时修正预测的结果，逐步找出正确的解法。正所谓“无中生有计无穷，合情预测理相容”。,李白诗黄鹤楼送孟浩然之广陵,“孤帆远影碧空尽”朋友的身影渐渐消失在远方，而心中的情谊随着长江水滚滚流淌。帆影尽而情未尽，言有尽而意无穷
4、。,故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。,诗词与数学意境,向晚意不适，驱车登古原 夕阳无限好，只是近黄昏。 这是对景物的描绘。,风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回。 无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。 这是对心境的的无限感慨,策略二 极端原理法； 通过最大、最小、最远最近等特殊数量或位置的考察，从而发现问题的解题思路（特殊引路，探求一般证题规律）,2、有穷无穷紧相连，静点美名天下传,1、 以退为进投石问路,2、 动静结合破除定势,所谓以退为进就是把一个比较复杂的问题，“退”到最简单、最原始的状态，找出规律，把简单情形作为考察问题的起点，使问题的解决产生一个质的飞跃，使问题
5、进一步深化。从“退”中逐渐创造出“进”的解题条件，以实现“进”的目的。,以退为进投石问路,观察、分析事物不能采用静止、孤立的思考方法，而应从变化、发展、运动的观点来剖析和判断。正确处理运动和静止的辨证关系，巧妙地将动静有机结合，破除思维定势，将问题的本质展现出来，起到化难为易，快速解题的效果。,动静结合破除定势,以退为进投石问路,动静结合破除定势,以退为进投石问路,评注 数学家华罗庚曾经指出：善于“退”，足够地“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个诀窍。“退”是将问题由陌生、复杂转化为熟悉、简单的过程，“退”是手段，“进”是目的，“退”为“进”服务，创造解题起点。,王维诗至使
6、塞上,萧关逢侯骑，都护在燕然。,单车欲问边，属国过居延。,征蓬出汉塞，归雁入胡天。,大漠孤烟直，长河落日圆。,大漠孤烟直,长河落日圆,诗词中包含了数学的美。“大漠”是一张平面，“孤烟直”是直线的形象，“大漠孤烟直”恰当地反映了直线与平面垂直的美，“长河落日圆”正是直线与圆位置 关系的生动画面。,大漠孤烟直，长河落日圆,策略三 合理构造法；通过观察给定条件或结论的结构特征，构造解题模型，是竞赛解题的常用手段，通常合理构造可使问题巧妙解决。,合理构造法分成两种类型： 1、模型性构造：构造函数、方程、图形、数列、不等式、复数等模型； 2、技巧性构造：构造对偶式、“抽屉”、算法。,3、代数问题几何攻，
7、数形结合两相通,1、构造图形（几何）模型（数形结合思想）,华罗庚先生对数形结合的论述： 数与形本是相依， 焉能分作两边飞。 数缺形时少直觉， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 割裂分家万事休。,数形结合是极富特点的信息转换，由代数信息向图形信息转换 。,评注 数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数形结合的思想方法是极富创造的信息转化，对数学思维的启发，对思维的集散，简化证明，起到启美的作用。,2、构造方程模型,3、构造函数,诗词欣赏,王维诗山居秋暝 空山新雨后，天气晚来秋。 明月松间照，清泉石上流。 竹喧归浣女，莲动下渔舟。 随意春芳歌，王孙自可留。,对称思想还表现在日
8、常生活中，如阴阳、男女、奇偶和正负。,太极阴阳图,武学：攻 防,进攻中有防守，防守中有进攻,心理学：眼睛长在别人心里（心理战）,武道：阴 阳 此长彼消 中庸之道,阳：热情 刚毅 正直 友谊 爱情 太阳 勇敢,阴：寒冷 阴柔 怯懦 孤独 悲伤 月亮,教学结合，师生共做,以柔克刚，刚柔相济,数学：道,数学：教 学,军事学：声东击西 以静制动，动中窥静,结构对称,数学观念：合作交流,英国大文豪萧伯纳曾说：“如果你有一个苹果，我也有一个苹果，我们交换的话，我们都只有一个苹果；如果你有一种思想，我也有一种思想，我们交换的话，我们都有两种思想。”,数学思想：轮换对称,3、构造对偶式,4、构造递推式,5、构
9、造复数法,6、构造数列,7、构造抽屉,横看成岭侧成峰，远近高低各不同。,不识庐山真面目，只缘身在此山中。,题西林壁,策略四 变换视角；在解题过程中，当思维受到阻碍时，不妨转换到另一个角度、方法、层面来思考问题。,4、强攻无计弱开路，转换视觉目标注,以“迂”为“直”变换视觉,明修栈道，暗度陈仓,反客为主，循序渐进,道德经第五十七章 以正治国 以正治国，以奇用兵，以无事取天下。,哲学依据,孙子兵法之势篇：“凡战者，以正合，以奇胜。故善出奇者，无穷如天地，不竭如江河。终而复始，日月是也；死而复生，四时是也。声不过五，五声之变，不可胜听也；色不过五，五色之变，不可胜观也；味不过五，五声之变，不可胜尝也
10、。战势不过奇正，奇正之变，不可胜穷也。,以“迂”为“直”变换视觉 在解题过程中，当正常的解题思维受到阻碍时，不妨从不同的角度和不同的途径去寻找不同的解法，变换视觉，以“迂”为“直”正难则反，将问题变成可直接解答的，收到出奇制胜的效果，增加知识的纵横面和深广度，又可挖掘知识的内在联系，达到扩大视野和锻炼思维的作用。,反客为主，是处于被主导地位的客，夺取主导地位，代替原来的主，并把原来的主放在客的位置上。反客为主最重要的是能掌握关键性的因素，以积极取代消极，化被动为主动，将复杂、繁琐的运算简单化，进而得到问题求解的目的和效果。,反客为主，循序渐进,评注 “奇出于正，无正不能出奇”，正是常法，奇是变
11、法，奇效出于常规。注重信息的转化，变换思维方向，多角度思考问题，进行独创性地组合，优化解题技巧，展现辨证思维的底蕴和数学智慧的魅力。,策略五 取特殊值法；通过取特殊值可以排除某些选项，简化推理及运算过程，利用一个恰当的特殊值可以取到事半功倍的效果。,对于一些数学问题，我们往往也可以用此思想，从特殊的情况出发,取特殊值探讨出问题的结论,推广到任意情况下，从而达到训练思维的目的。,5、特殊探路把门敲，化繁为简层次高,在数学教学中，重视和灵活使用特殊化策略，对培养思维的主体性、独创性、批判性、变通性等创新思维品质，大有裨益。,策略六 巧设辅助元（换元法）；根据题目条件与结论的结构和内在特征，恰当地引
12、进辅助元素，往往可以化繁为简，化难为易。,6、结构类型变换多，辅元引入唱赞歌,“围魏救赵，避虚击实”“金蝉脱壳，完璧归赵”,6、结构类型变换多，辅元引入唱赞歌,孙子兵法.虚实篇：“兵之法，避虚而击实。” “围魏救赵，避虚击实”是一种简接方法，直接解答问题比较困难，采取代换、转化的策略，抓住问题的关键，化难为易，实现问题的解决。“围”是手段，“救”是目的。,围魏救赵，避虚击实,“金蝉脱壳，完璧归赵”的要点是存形、完势；关键在于一个“脱”字，“脱”不是消极思考，盲目丢弃，而是存其形式，抽其内容，保持问题的不变性。,金蝉脱壳，完璧归赵,策略七 抓住特征，攻其要害 投石问路，以退为进 动静结合，破除定势 收缩分割，围而歼之,新定义、新概念问题： 抓住特例，反复思考， 理解内涵，发散外延,7、概念问题不一般，关键环节定义牵,
