1、代数式的变形的技巧第 1 页 共 6 页代数式的变形的技巧在化简、求值、证明恒等式（不等式） 、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.1配方在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.例 1 设 a、b、c、d 都是整数，且 m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是_.解 mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(a
2、d+bc)2,所以，mn 的形式为(ac+bd) 2+(ad-bc)2或（ac-bd） 2+(ad+bc)2.例 2 设 x、y、z 为实数，且(y-z) 2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求 的值.解 将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 (x-y) 2+(x-z)2+(y-z)2=0 x=y=z,原式=1.2.因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.例 3 如果 a 是 x2-3x+1=0 的根,试求 的值.解 a 为 x2-3x+1=0 的根, a 2-3a+1=0,且 =
3、1.原式说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.代数式的变形的技巧第 2 页 共 6 页3.换元换元使复杂的问题变得简洁明了.例 4 设 a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明 令 p=m-a,q=m-b,r=m-c 则p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0p 3+q3+r3-3pqr=0即 (m-a) 3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0例 5 若 ,试比较 A、B 的大小.解 设 则.2xy 2x-y0,
4、 又 y0,可知 AB.4.设参当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.例 6 若 求 x+y+z 的值.解 令则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例 7 已知 a、b、c 为非负实数，且 a2+b2+c2=1,求 a+b+c 的值.解 设 a+b+c=k则 a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.代数式的变形的技巧第 3 页 共 6 页由条件知即 a 2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,(a 2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.a 2+b2+c2=1
5、,k=a 3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b+c)(a+b)2+c2-(a+b)c-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),k=k(a 2+b2+c2-ab-bc-ac),k(a 2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,k(-ab-bc-ac)=0.若 K=0, 就是 a+b+c=0.若-ab-bc-ac=0,即 (a+b+c) 2-(a2+b2+c2)=0,(a+b+c) 2=1,a+b+c=1综上知 a+b+c=0 或 a+b+c=15.“拆” 、 “并”和通分下面重点介绍分式的变形：（1） 分离分
6、式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.例 8 证明对于任意自然数 n，分数 皆不可约.证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.而 显然 不可通约，故 不可通约，从而 也不可通约.（2） 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.(3)通分 通分是分式中最基本的变形,例 9 的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.例 9 已知代数式的变形的技巧第 4 页 共 6 页求证: .证明 6.其他变形例 10 已知 x(x0，1) 和 1 两个数，如果只许用加法、减法和
7、1 作被除数的除法三种运算（可用括号） ，经过六步算出 x2.那么计算的表达式是_.解 x 2=x(x+1)-x或 x 2=x(x-1)+x例 11 设 a、b、c、d 都是正整数，且 a5=b4,c3=d2,c-a=19,求 d-b.解 由质因数分解的唯一性及 a5=b4,c3=d2,可设 a=x4,c=y2,故19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)解得 x=3. y=10. d-b=y 3-x5=757代数式的变形的技巧第 5 页 共 6 页1.选择题（1）把 相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（ ）（A）2 （B）3 （C）6 （D）7 （E）8（2） 已知 则
8、的值是（ ）.(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3（3）假定 x 和 y 是正数并且成反比，若 x 增加了 p%，则 y 减少了（ ）.（A）p% (B) % (C) % (D) % (E) %2.填空题（1） （x-3） 5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则 a+b+c+d+e+f=_, b+c+d+e=_.(2)若 =_.(3)已知 y1=2x,y2= ,则 y1y1986=_3.若（x-z） 2-4(x-y)(y-z)=0,试求 x+z 与 y 的关系.4.把 写成两个因式的积,使它们的和为 ，求这两个式子.5.若 x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求 的值.6.
9、已知 x,y,z 为互不相等的三个数,求证7.已知 a2+c2=2b2,求证8.设有多项式 f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:如果 f(x)的系数满足 p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.代数式的变形的技巧第 6 页 共 6 页9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.参考答案1.C.C.E2.(1)-32,210 (2) (3)23.略.4.5. 6.略, 7.略.8.p 2-4q-4(m+1)=0, 4q=p 2-4(m+1)=0,f(x)=4x4-4px3+p2-4(m+1)x2+2p(m+1)x+(m+1)2=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x=2x2-px-(m+1)2.9.令 a+b=p,c+d=q,由条件化为pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),展开整理得 cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=0.于是 cp=bq 或 dp=aq,即 c(a+b)=b(c+a)或 d(a+b)=a(c+d).均可得出 ac=bd.
